江苏省苏州八校联盟2021届高三数学上学期第一次适应性试题（Word版含解析） 20页

江苏省苏州市2021届高三苏州八校联盟第一次适应性检测 数学试题 ‎2020．10‎ 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）‎ ‎1．已知集合A＝，B＝，若1AB，则A B＝‎ A．{1，2，3} B．{1，2，3，4} C．{0，1，2} D．{0，1，2，3}‎ ‎2．命题“(0，1)，”的否定是 A．(0，1)， B．(0，1)，‎ C．(0，1)， D．(0，1)，‎ ‎3．的部分图象大致是 ‎4．函数在x＝1处的切线方程为 A． B． C． D．‎ ‎5．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cos2B＋2sinAsinC＝1，则B的 最大值为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎6．如图直角坐标系中，角(0＜＜)、角()的终边分别交单位圆于A，B两点，若B点的纵坐标为，且满足S△AOB＝，则 20‎ 的值为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知a＞0，b＞0，，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎ ‎ ‎ 第11题 ‎ 第6题 ‎8．函数的值域为 ‎ A．[5，10] B．[，10] C．[7，10] D．[7，]‎ 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）‎ ‎9．下面命题正确的是 A．“a＞1”是“”的充分不必要条件 B．在△ABC中，“sinA＋cosA＝sinB＋cosB”是“A＝B”的充要条件 C．设x，yR，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的必要而不充分条件 D．设a，bR，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件 ‎10．已知函数，是的导函数，则下列结论中正确的是 A．函数的值域与的值域不相同 ‎ B．把函数的图象向右平移个单位长度，就可以得到函数的图象 ‎ C．函数和在区间(，)上都是增函数 D．若是函数的极值点，则是函数的零点 20‎ ‎11．设a＞0，b＞0，称为a，b的调和平均数，称为a，b的加权平均数．如图，C为线段AB上的点，且AC＝a，CB＝b，O为AB中点，以AB为直径作半圆，过点 C作AB的垂线交半圆于D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E，取弧 AB的中点F，连接FC，则 A．OD的长度是a，b的几何平均数 B．DE的长度是a，b的调和平均数 C．CD的长度是a，b的算术平均数 D．FC的长度是a，b的加权平均数 ‎12．关于函数，下列判断正确的是 A．x＝2是的极大值点 B．函数有且只有1个零点 C．存在正实数k，使得成立 ‎ D．对任意两个正实数，，且＞，若，则 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）‎ ‎13．若关于x的不等式ax﹣b＜0的解集是(1，)，则关于x的不等式的解集是 ．‎ ‎14．已知函数，则＝ ；若实数a满足，则a的取值范围是 ．‎ ‎15．如图，在P地正西方向8km的A处和正东方向1km的B 处各有一条正北方向的公路 AC和BD，现计划在AC和 BD路边各修建一个物流中心E和F，为缓解交通压力，‎ 决定修建两条互相垂直的公路PE和PF，设∠EPA＝(‎ ‎)，为了节省建设成本，要使得 PE＋PF的值 最小，则当PE＋PF的值最小时，AE＝ km．‎ ‎ 第15题 ‎16．已知，(，)，且，则的最大值为 ．‎ 四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．‎ 20‎ 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ ‎（1）已知，求的值；‎ ‎（2）求值：．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝2．有以下3个条件：①2ccosA＝b；②2b﹣a＝2ccosA；③a＋b＝2c．‎ 请在以上3个条件中选择一个，求△ABC面积的最大值．‎ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图，A、B是一矩形OEFG边界上不同的两点，且ÐAOB＝45°，OE＝1，EF＝，设∠AOE＝．‎ ‎（1）写出△AOB的面积关于的函数关系式；‎ ‎（2）求（1）中函数的值域．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，则称为“局部奇函数”．‎ ‎（1）已知二次函数(aR)，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；‎ ‎（2）若为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取 20‎ 值范围．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 在非直角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．‎ ‎（1）若a＋c＝2b，求角B的最大值；‎ ‎（2）若a＋c＝mb(m＞1)．‎ ‎（i）证明：；（可能运用的公式有）‎ ‎（ii）是否存在函数，使得对于一切满足条件的m，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的，并证明之；若不存在，请给出一个理由．‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知函数，，其中e＝2.71828…为自然对数的底数．‎ ‎（1）设，恒成立，求a的最大值；‎ 20‎ ‎（2）设a＞0，讨论函数在[0，]上的零点个数．（参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10）‎ 江苏省苏州市2021届高三苏州八校联盟第一次适应性检测 数学试题 ‎2020．10‎ 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）‎ ‎1．已知集合A＝，B＝，若1AB，则A B＝‎ A．{1，2，3} B．{1，2，3，4} C．{0，1，2} D．{0，1，2，3}‎ 答案：D 解析：∵若1AB，∴B＝{1，3}，‎ 又∵A＝＝{0，1，2}，∴AB＝{0，1，2，3}，故选D．‎ ‎2．命题“(0，1)，”的否定是 A．(0，1)， B．(0，1)，‎ C．(0，1)， D．(0，1)，‎ 答案：B 解析：全称量词命题的否定，首先全称量词变存在量词，同时否定结论，故选B．‎ ‎3．的部分图象大致是 20‎ 答案：A 解析：首先可判断函数是奇函数，其次可判断x≠0，当x＞0时，＞0，综上，选A．‎ ‎4．函数在x＝1处的切线方程为 A． B． C． D．‎ 答案：C 解析：设切线斜率为k，首先求得切点是(1，2)，，故k＝4，根据点斜式得，y﹣2＝4(x﹣1)，即，故选C．‎ ‎5．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cos2B＋2sinAsinC＝1，则B的 最大值为 ‎ A． B． C． D．‎ 答案：C 解析：由cos2B＋2sinAsinC＝1，得sinAsinC＝sin2B，即ac＝b2，‎ ‎ ∴cosB＝，则B的最大值为，故选C．‎ ‎6．如图直角坐标系中，角(0＜＜)、角()的终边分别交单位圆于A，B两点，若B点的纵坐标为，且满足S△AOB＝，则的值为 20‎ ‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ 答案：B 解析：∵，且，故，又0＜＜，‎ ‎∴0＜＜，即∠AOB(0，)，根据S△AOB＝，得sin∠AOB＝，‎ ‎，故选B．‎ ‎7．已知a＞0，b＞0，，则 ‎ A． B． C． D．‎ 答案：C 解析：∵a＞0，b＞0，，故0＜a＜1，0＜b＜1，‎ ‎∴，，故，故选C．‎ ‎8．函数的值域为 ‎ A．[5，10] B．[，10] C．[7，10] D．[7，]‎ 答案：D 解析：∵，‎ ‎ ∴，∵0≤≤1，故49≤≤50，‎ 又≥0，∴7≤≤，故选D．‎ 20‎ 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）‎ ‎9．下面命题正确的是 A．“a＞1”是“”的充分不必要条件 B．在△ABC中，“sinA＋cosA＝sinB＋cosB”是“A＝B”的充要条件 C．设x，yR，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的必要而不充分条件 D．设a，bR，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件 答案：AD 解析：选项A，a＞1，故A正确；‎ ‎ 选项B，sinA＋cosA＝sinB＋cosBA＝B或A＋B＝，故B错误；‎ ‎ 选项C，“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件，故C错误；‎ ‎ 选项D，∵a≠0时，ab≠0不一定成立，而ab≠0，则a≠0一定成立，故D正确．‎ ‎ 综上，选AD．‎ ‎10．已知函数，是的导函数，则下列结论中正确的是 A．函数的值域与的值域不相同 ‎ B．把函数的图象向右平移个单位长度，就可以得到函数的图象 ‎ C．函数和在区间(，)上都是增函数 D．若是函数的极值点，则是函数的零点 答案：CD 解析：，，‎ 所以函数的值域与的值域相同，A错误，‎ 把函数的图象向右平移个单位长度，得到，并不是函数的图象，故B错误；‎ ‎ 选项C，D都正确，故选CD．‎ 20‎ ‎11．设a＞0，b＞0，称为a，b的调和平均数，称为a，b的加权平均数．如图，C为线段AB上的点，且AC＝a，CB＝b，O为AB中点，以AB为直径作半圆，过点 C作AB的垂线交半圆于D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E，取弧 AB的中点F，连接FC，则 ‎ ‎ A．OD的长度是a，b的几何平均数 B．DE的长度是a，b的调和平均数 C．CD的长度是a，b的算术平均数 D．FC的长度是a，b的加权平均数 答案：BD 解析：OD的长度是a，b的算术平均数，CD的长度是a，b的算术平均数，DE的长度是a，b的调和平均数，FC的长度是a，b的加权平均数，故选BD．‎ ‎12．关于函数，下列判断正确的是 A．x＝2是的极大值点 B．函数有且只有1个零点 C．存在正实数k，使得成立 ‎ D．对任意两个正实数，，且＞，若，则 答案：BD 解析：，，‎ 选项A，x＝2是的极小值点，故A错误；‎ 选项B，，，y在(0，)上单调递减，当x＝1时，y＞0，当x＝2时，y＜0，故函数有且只有1个零点，B正确；‎ 选项C，由，当，，，知C错误；‎ 20‎ 选项D，，欲证，‎ 则证，即证，显然成立，故D正确，故选BD．‎ 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）‎ ‎13．若关于x的不等式ax﹣b＜0的解集是(1，)，则关于x的不等式的解集是 ．‎ 答案：(﹣1，2)‎ 解析：∵不等式ax﹣b＜0的解集是(1，)，‎ ‎ ∴a＜0，，‎ ‎∵，‎ ‎∴﹣1＜x＜2，解集为(﹣1，2)．‎ ‎14．已知函数，则＝ ；若实数a满足，则a的取值范围是 ．‎ 答案：2；(，﹣1]‎ 解析：，‎ ‎，∴，解得a≤﹣1．‎ ‎15．如图，在P地正西方向8km的A处和正东方向1km的B处各有一条正北方向的公路 AC和BD，现计划在AC和BD路边各修建一个物流中心E和F，为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路PE和PF，设∠EPA＝()，为了节省建设成本，要使得 PE＋PF的值最小，则当PE＋PF的值最小时，AE＝ km．‎ 20‎ ‎ ‎ 答案：4‎ 解析：由PE＋PF＝，由权方和知，‎ ‎ 故AE＝8tan＝4．‎ ‎16．已知，(，)，且，则的最大值为 ．‎ 答案：﹣4‎ 解析：由已知齐次化得，‎ ‎ 故．‎ 四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ ‎（1）已知，求的值；‎ ‎（2）求值：．‎ 解：（1）由可得：且，‎ ‎ 所以，‎ ‎ 即.‎ ‎（2） 因为 20‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝2．有以下3个条件：①2ccosA＝b；②2b﹣a＝2ccosA；③a＋b＝2c．‎ 请在以上3个条件中选择一个，求△ABC面积的最大值．‎ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．‎ 解：若选择①‎ ‎ 由正弦定理可将化为：‎ ‎ 又，所以 ‎ 所以 即，‎ ‎，‎ ‎ 所以（当时取到等号）‎ ‎ 所以面积的最大值为2.‎ 若选择②‎ 由正弦定理可将化为：‎ ‎ 又，所以 所以 即，‎ 又，‎ 又由余弦定理可得：‎ ‎（当且仅当时取等号）‎ ‎ 所以面积的最大值为. ‎ 20‎ 若选择③‎ 因为，所以 ‎（当且仅当时取等号）‎ 又由余弦定理得：‎ ‎（当且仅当时取等号）‎ ‎（当且仅当时取等号）‎ ‎ 所以面积的最大值为.‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图，A、B是一矩形OEFG边界上不同的两点，且ÐAOB＝45°，OE＝1，EF＝，设∠AOE＝．‎ ‎（1）写出△AOB的面积关于的函数关系式；‎ ‎（2）求（1）中函数的值域．‎ 解：（1）∵OE=1，EF=‎ ‎∴∠EOF=60°‎ 当∈[，15°]时，△AOB的两顶点A、B在E、F上，‎ 且AE=tan ,BE=tan(45°+ )‎ ‎∴f()=S△AOB=[tan(45°+ )－tan ]‎ 20‎ ‎==‎ 当∈（15°,45°]时，A点在EF上，B点在FG上，且OA=，OB=‎ ‎∴=S△AOB=OA·OB·sin45°=··sin45°‎ ‎=‎ 综上得：f()= ‎ ‎（2）由（1）得：当∈[0，]时 f()= ∈[,－1]‎ 且当=0时，f()min=；=时，f()max=－1；‎ 当∈时,－≤2 －≤，f（）=∈[－,]‎ 且当=时，f() min=－；当=时，f() max=‎ 所以f() ∈[,]．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，则称为“局部奇函数”．‎ ‎（1）已知二次函数(aR)，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；‎ ‎（2）若为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．‎ 20‎ 解：（1）当时，‎ 方程即有解，‎ 所以为“局部奇函数”． ‎ ‎（2）当时，可化为 ‎．‎ 设，则， ‎ 从而在有解即可保证为“局部奇函数”． ‎ 令，‎ ‎1° 当，在有解，‎ 由，即，解得； ‎ ‎2° 当时，在有解等价于 解得．‎ ‎（说明：也可转化为大根大于等于2求解）‎ 综上，所求实数m的取值范围为．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 在非直角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．‎ ‎（1）若a＋c＝2b，求角B的最大值；‎ ‎（2）若a＋c＝mb(m＞1)．‎ ‎（i）证明：；（可能运用的公式有）‎ ‎（ii）是否存在函数，使得对于一切满足条件的m，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的，并证明之；若不存在，请给出一个理由．‎ 解：（1）因为，‎ ‎ 所以由余弦定理可得：‎ ‎ （当且仅当时取等号）‎ ‎ 又，‎ ‎ 所以角B的最大值为.‎ 20‎ ‎ （2）（i）由及正弦定理得，‎ 所以 ‎（或者由可得上式）‎ 因为，所以有，‎ 展开整理得，‎ 故，‎ ‎ （ii）由及半角正切公式可得 ‎，‎ 对其展开整理得 即，‎ 即，即 与原三角式作比较可知存在且．‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知函数，，其中e＝2.71828…为自然对数的底数．‎ ‎（1）设，恒成立，求a的最大值；‎ ‎（2）设a＞0，讨论函数在[0，]上的零点个数．（参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10）‎ 解：（1）设函数，‎ 所以，令得，（a>0）‎ 20‎ ‎ 且当时，；当时，‎ ‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎ 所以 ‎ 因为要使得恒成立，只要恒成立 ‎ 即 ①‎ ‎ 设，且 ‎ ，在上单调递减 ‎ 又，，‎ ‎ 且图象连续不断，所以满足①的的最大值为3. ‎ ‎（2），‎ ‎ 设，则，‎ ‎ 因为，所以在内必存在唯一的实数，使得 ‎ 所以为增函数 ‎ ，，为减函数 ‎（说明单调性同样给分）‎ ‎ 下面先证明：.‎ ‎ 因为，所以，‎ ‎（法一）当时，有，（不证明不扣分）‎ ‎，‎ 20‎ 下证，即证，即证.‎ ‎.‎ ‎（法二）当时，有，（不证明不扣分）‎ ‎，‎ 下证，令，则 即证，即证 令，则 为单调递增函数 当时，‎ ‎.‎ ‎（法三）欲证，即证 因为，所以只需证，‎ 即证，‎ 即证 即证，又 只需证，即证 即证 20‎ 又，所以显然成立.‎ ‎.‎ 接下来，求函数在上的零点个数 ‎，且函数在上单调递减 在上有唯一零点，即函数在上的零点个数为1‎ 最后，求函数在上的零点个数 ‎，且函数在上单调递增 ‎ 当时，，所以函数在上没有零点，‎ ‎ 即函数在上的零点个数为0‎ ‎ 当时，，所以函数在上有唯一零点，‎ ‎ 即函数在上的零点个数为1‎ 综上所述：当时，在上的零点个数为1 ；‎ ‎ 当时，在上的零点个数为2 .‎ 20‎