2017-2018学年广西南宁市第三中学高二上学期第一次月考数学试题 9页

‎2017-2018学年广西南宁市第三中学高二上学期第一次月考数学试题 ‎ 2017.9‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；每小题仅有一个答案是正确的，请选出正确答案。）‎ ‎1．（ ）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎2．在等差数列中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列的公差为（ ）‎ A．1 B．‎2 ‎ C．3 D．4‎ ‎3．在中，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．在等比数列中，前3项之和S3＝168，则公比q的值为（ ）‎ A．1 B．－ C．1或－ D． ‎5．某企业共有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，一般职员90人，现在用分层抽样抽取30人，则样本中各职称人数分别为（ ）‎ ‎ A．5，10，15 B．3，9，‎18 ‎C．3，10，17 D．5，9，16‎ ‎6．等比数列的前n项和为Sn，若an>0，q>1，a3＋a5＝20，a‎2a6＝64，则S5＝（ ）‎ A．31 B．‎36 ‎ C．42 D．48‎ ‎7．在中，已知成等差数列，且，则（ ）‎ ‎ A．2 B． C． D．‎ ‎8．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，则△ABC的形状为（ ）‎ A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 D C B A ‎9．如图:三点在地面同一直线上，，从两点测得点仰角分别是，则点离地面的高度等于（ ）‎ ‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎10．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（ ）‎ A．192 里 B．96 里 C．48 里 D．24 里 ‎11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，c＝2，1＋＝，则C＝（ ）‎ A． B． C．或 D． ‎12．已知,各项均为正数的数列满足 的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知数列的前n项和Sn＝n2－2n，则an＝_____________‎ ‎14．某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：，，…，后得到频率分布直方图（如下图所示），则分数在内的人数是__________．‎ ‎ 第14题图 第16题图 ‎15．等差数列,的前项和分别为,,若,则=__________‎ ‎16．如图，正四面体P-ABC中，D,E分别是AB及PC的中点，则直线AE与PD所成的角的余弦值为__________．‎ ‎三、解答题（本大题共6小题，第17小题10分，其余小题各12分，共70分）‎ ‎17．（本小题满分10分）在锐角三角形ABC中，a,b,c，分别为角A,B,C所对的边，且 ‎（1）求角C的大小；‎ ‎（2）若 ，且三角形ABC的面积为，求的值．‎ ‎18．（本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列的前n项和为，若=110，且成等比数列 ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设数列满足，若数列前n项和为，证明：‎ ‎19．（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，E为AC与BD的交点，PA⊥平面ABCD，M为PA中点，N为BC中点．‎ ‎（1）证明：直线MN∥平面PCD；‎ ‎（2）若点Q为PC中点，∠BAD=120°，PA=，AB=1，求三棱锥A﹣QCD的体积．‎ ‎20．（本小题满分12分）已知具有相关关系的两个变量之间的几组数据如下表所示：‎ x ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ Y ‎3‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎（1）请根据上表数据在网格纸中绘制散点图；‎ ‎（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程，并估计当时，的值；‎ 附：‎ ‎21．（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos ‎2C－cos ‎2A＝2sin·sin.‎ ‎（1）求角A的值；‎ ‎（2）若a＝且b≥a，求2b－c的取值范围．‎ ‎22．（本小题满分12分）已知数列的前项和，数列为等差数列，且满足 ‎（1）分别求数列、的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足，是数列的前项和，若存在正实数，使不等式对于一切的恒成立，求的取值范围．‎ 高二月考（一）数学参考答案 ‎1．A【解析】．‎ ‎2．B【解析】∵a1＋a5＝‎2a3＝10，∴a3＝5，则公差d＝a4－a3＝2，故选B．‎ ‎4．D【解析】根据已知条件得,两式相除，得 ‎5．B【解析】有分层抽样各层抽样比不变，各层人数分别为3，9，18‎ ‎6．A【解析】　由等比数列的性质，得a‎3a5＝a‎2a6＝64，于是由且an>0，q>1，得a3＝4，a5＝16，所以解得所以S5＝＝31，故选A．‎ ‎7．A【解析】由题，则，根据正弦定理变形可知，所以，故选择A．‎ ‎8．B【解析】∵cos2＝，∴＝，即1＋cosB＝． 由余弦定理得1＋＝．整理得c2＝a2＋b2，即△ABC为直角三角形．‎ ‎9．A 。‎ ‎10．B【解析】设等比数列{an}的首项为a1，公比为q＝，依题意有＝378，解得a1＝192，则a2＝192×＝96，即第二天走了96 里，故选B．‎ ‎11．D【解析】：∵1＋＝1＋＝，∴＝＝＝，得cosA＝，A＝．又a＝2，c＝2，由正弦定理，得sinC＝＝＝，∵c＜a，∴C＜A＝，C＝．‎ ‎12．D【解析】解析:∵,又.∴又 .又==,∴.同理得.又 ‎。‎ ‎13．【解析】当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－3；当n＝1时，a1＝S1＝－1，所以an＝2n－3(n∈N*)‎ ‎14．【解析】由频率分布直方图得,分数在内的频率为：‎ ‎ ，分数在内的人数为： ，故答案为30．‎ ‎15、等差数列,的前项和分别为,,若,则=‎ ‎16．【解析】连接CD，取CD中点为O，连接AO,OE，则有,则，或其补角即为所求；设正四面体的棱长为2，‎ 则，，‎ ‎．‎ 在中，由余弦定理可得：‎ ‎．故答案为．‎ ‎17．解：(1)由a＝2csinA及正弦定理得，sinA＝2sinCsinA．‎ ‎∵sinA≠0，∴sinC＝．∵△ABC是锐角三角形，∴C＝．‎ ‎(2)∵C＝，△ABC面积为，∴absin＝，即ab＝6．①‎ ‎∵c＝，∴由余弦定理得a2＋b2－2abcos＝7，即a2＋b2－ab＝7．②‎ 由②变形得(a＋b)2＝3ab＋7．③ ③得(a＋b)2＝25，故a＋b＝5．‎ ‎18．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）由题意知： 解得，故数列； ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ‎ 则 又在递增，,故 ‎19．【解答】解：（1）取PD中点R，连结MR，CR，‎ ‎∵M是PA的中点，R是PD的中点，∴MR=AD，MR∥AD，‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，N为BC的中点，∴NC=，NC∥AD．‎ ‎∴NC∥MR，NC=MR，∴四边形MNCR为平行四边形，‎ ‎∴MN∥CR，又CR⊂平面PCD，MN⊄平面PCD，∴MN∥平面PCD．‎ ‎（2）∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，‎ ‎∴AC=AD=CD=1，∴．‎ ‎∵Q是PC的中点，∴Q到平面ABCD的距离h=PA=．‎ ‎∴．‎ ‎20．（1）散点图如图所示：‎ ‎（2）依题意，，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，∴；[来源:Z_xx_k.Com]‎ ‎∴回归直线方程为，故当时，．‎ ‎21．【答案】（Ⅰ）A＝或. （Ⅱ）[，2)‎ ‎【解析】解：(1)由已知得2sin‎2A－2sin‎2C＝2(cos‎2C－sin‎2C)，化简得sin A＝，由,故A＝或.‎ ‎(2)由题知，若b≥a，则A＝，又a＝，‎ 所以由正弦定理可得＝＝＝2，得b＝2sin B，c＝2sin C，‎ 故2b－c＝4sin B－2sin C＝4sin B－2sin＝3sin B－cos B＝2sin.‎ 因为b≥a，所以≤B＜，≤B－＜，‎ 所以2sin∈[，2)．即2b－c的取值范围为[，2).‎ ‎22．试题解析：（1） ‎ ‎]‎ 时满足上式，故 ‎∵∴∴∴‎ ‎(2) ,‎ ‎ ①‎ ‎ ② ‎ ‎①-②得，‎ 即 ‎ 令