数学理卷·2017届山东省淄博市淄川中学高三下学期第二次月考（2017 11页

淄川中学高三高考模拟检测 数学（理科）试题 满分150分。考试用时120分钟。‎ 第I卷 (共50分)‎ 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题只有一个选项符合题意)‎ ‎(1)已知集合，则 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎(2)已知复数的实部和虚部相等，则 ‎(A) (B) (C)3 (D)2‎ ‎(3)“”是“”的 ‎(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 ‎(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 ‎(4) .某几何体的三视图如图所示，在该几何体的体积是（ ）‎ ‎ ‎ A． B． C. D．‎ ‎(5)函数的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将函数的图象 ‎(A)向左平移个单位长度 (B)向左平移个单位长度 ‎(C)向右平移个单位长度 (D)向右平移个单位长度 ‎(6)甲、乙、丙 3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不 区分站的位置，则不同的站法总数是 ‎(A)210 (B)84 (C)343 (D)336‎ ‎(7)已知变量满足：的最大值为 ‎(A) (B) (C) 2 (D) 4‎ ‎(8)如图，正方形中，是的中点，若，则 ( )‎ A． B．‎ C． D． ‎ ‎(9)已知函数是定义在R上的偶函数，为奇函数，时，，则在区间(8，9)内满足方程的实数x为 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎(10) 已知点是抛物线的焦点，点为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，切点为，若点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的 离心率为 ( )‎ A． B． C． D．‎ 第II卷（非选择题 共100分）‎ 二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）．‎ ‎ (11)设的值为_________．‎ ‎(12)右图是一个算法流程图，则输出的的值 ．‎ ‎(13)设随机变量服从正态分布_______.‎ ‎(14)现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工 件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为__________．‎ ‎ (15)对于函数，若存在区间，则称函数为“同域函数”，区间A为函数的一个“同城区间”.给出下列四个函数：‎ ‎①；②；③；④log.‎ 存在“同域区间”的“同域函数”的序号是__________（请写出所有正确的序号）‎ 三、解答题(本大题共6小题，第16～19每小题12分，第20题13分，第21题14分，共75分)．‎ ‎16．（本小题满分12分）已知函数．(I)求函数的最小正周期和最小值；‎ ‎(II)在中，A，B，C的对边分别为，已知，求a，b的值．‎ ‎17. （本小题满分12分）某公司的两个部门招聘工作人员，应聘者从、两组试题中选择一组参加测试，成绩合格者可签约．甲、乙、丙、丁四人参加应聘考试，其中甲、乙两人选择使用试题，且表示只要成绩合格就签约；丙、丁两人选择使用试题，并约定：两人成绩都合格就一同签约，否则两人都不签约．已知甲、乙考试合格的概率都是，丙、丁考试合格的概率都是，且考试是否合格互不影响．‎ ‎（Ⅰ）求丙、丁未签约的概率；‎ ‎（Ⅱ）记签约人数为，求的分布列和数学期望．‎ ‎18. （本小题满分12分）如图，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，它们所在的平面互相垂直，平面ABCD，且．‎ ‎(I)求证：平面ABCD；‎ ‎(II)若，求二面角的余弦值．‎ ‎19．（本小题满分12分） ‎ 已知数列满足，其.‎ ‎(I)设，求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式；‎ ‎(II)设，数列的前n项和为，是否存在正整数m，使得对于恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，请说明理由．‎ ‎20.（本小题满分13分） 已知左、右焦点分别为的椭圆过点，且椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点．‎ ‎(I)求椭圆C的离心率和标准方程。‎ ‎(II)圆与椭圆C交于A,B两点，R为线段AB上任一点，直线交椭圆C于P，Q两点，若AB为圆的直径，且直线的斜率大于1，求的取值范围．‎ ‎(21) （本小题满分14分） 设(e为自然对数的底数)，．‎ ‎(I)记，讨论函单调性；‎ ‎(II)令，若函数G(x)有两个零点．‎ ‎(i)求参数a的取值范围；‎ ‎(ii)设的两个零点，证明．‎ 一、每小题5分，共50分。1-5 C A A B B 6-10 D D B A C 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分， 25分. ‎ ‎ 11.80； 12.17 13. 2 14. ； ； 15.①②③‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分. ‎ ‎ (16)（本小题满分12分）‎ 解: (Ⅰ)‎ ‎ ，……………………………………4分 所以的最小正周期,最小值为.……………………………… 6分 ‎(Ⅱ)因为所以.‎ 又所以，得.…………………… 8分 因为，由正弦定理得，………………………………… ……10分 由余弦定理得，，‎ 又，所以.……………………………………………………………12分 ‎18．解:（Ⅰ）分别记事件甲、乙、丙、丁考试合格为．由题意知 相互独立，且，．记事件“丙、丁未签约为”，‎ 由事件的独立性和互斥性得：‎ ‎ …………………………3分 ‎ ………………………4分 ‎（Ⅱ）的所有可能取值为． ……………………………………5分 ‎ ‎ ； ‎ ‎；‎ ‎ ；‎ ‎ ；‎ ‎.‎ 所以，的分布列是：‎ ‎………………………………11分 的数学期望.…………12分 ‎（18）（本小题满分12分）‎ ‎(Ⅰ)证明：如图，过点作于，连接，‎ ‎∴．‎ ‎∵平面⊥平面，平面，‎ 平面平面，‎ ‎∴⊥平面，‎ 又∵⊥平面，，‎ ‎∴，.‎ ‎∴四边形为平行四边形．‎ ‎∴. ‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴平面. …………………………………………………5分 ‎（Ⅱ）解：连接，由（Ⅰ），得为中点，‎ 又，△为等边三角形，‎ ‎∴，由平面⊥平面得，平面.‎ 分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 则 ,…………………………………………6‎ 由得.所以有：‎ ‎.‎ 设平面的法向量为,‎ 由 ,得 ,令，得．…………………8‎ 设平面的法向量为,‎ 由 ,得 ,令，得．……………10‎ ‎.‎ 又∵二面角是钝二面角，‎ ‎∴二面角的余弦值是．…………………………………………………12分 ‎ (19) （本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）证明：∵=‎ ‎=，∴数列是公差为2的等差数列，‎ 又，∴．故，解得．…….6‎ ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得，∴……..7‎ ‎∴数列的前项和为 ‎=…………………………………………………………………………………………………9‎ 使得对于恒成立，只要，即，‎ 解得或，而，故最小值为3．……………………………………………………………12‎ ‎(20)（本小题满分13分）‎ ‎(Ⅰ)解:∵椭圆过点，∴，①…………………..1‎ ‎∵椭圆关于直线对称的图形过坐标原点，∴，‎ ‎∵，∴，②……………………………………….3‎ 由①②得，，‎ ‎∴椭圆的离心率，标准方程为.………………………………5分 ‎(Ⅱ)因为为圆的直径，所以点为线段的中点，‎ 设，，则，，又，‎ 所以，则，故，则直线的方程为，即.……………8分 代入椭圆的方程并整理得，‎ 则，故直线的斜率.‎ 设，由，得，‎ 设，，则有，.‎ 又，，‎ 所以=，‎ 因为，所以，‎ 即的取值范围是.………………………………13分 （21） ‎（本小题满分14分）‎ ‎ 解：（Ⅰ），‎ ‎，所以 当时，，减；‎ 当时，，增． ……………………………3分 ‎（Ⅱ）由已知，，‎ ‎．‎ ‎①当时，，有唯一零点； ‎ ‎②当时，，所以 当时，，减；‎ 当时，，增．‎ 所以，‎ 因，所以当时，有唯一零点；‎ 当时，，则，所以，‎ 所以，‎ 因为，‎ 所以，，，且，当，时，使，‎ 取，则，从而可知 当时，有唯一零点，‎ 即当时，函数有两个零点． ……………………………6分 ‎③当时，，由，得，或．‎ ‎ 若，即时，，所以是单调减函数，至多有一个零点； ‎ 若，即时，，注意到，都是增函数，所以 当时，，是单调减函数；‎ 当时，，是单调增函数；‎ 当时，，是单调减函数．‎ 又因为，所以 至多有一个零点； ……………………………9分 若，即时，同理可得 当时，，是单调减函数；‎ 当时，，是单调增函数；‎ 当时，，是单调减函数．‎ 又因为，所以至多有一个零点．‎ 综上，若函数有两个零点，则参数的取值范围是．………………………11分 由知，函数有两个零点，则参数的取值范围是．‎ ‎，是的两个零点，则有 ‎，‎ 因，则，且，，，，，‎ 由（Ⅰ）知，当时，是减函数；当时，是增函数．‎ 令，，‎ 再令，，‎ ‎，‎ 所以，又，所以 时，恒成立，即 恒成立，‎ 令，即，有，即 ‎，‎ 因为，所以，又，必有，‎ 又当时，是增函数，所以，即 ‎． ……………‎