高三数学总复习学案41 11页

学案41　空间几何体的表面积与体积 导学目标： 1.了解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积的计算公式.2.了解球、柱、锥、台的体积的计算公式.3.培养学生的空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力，会利用所学公式进行必要的计算.4.提高认识图、理解图、应用图的能力．‎ 自主梳理 ‎1．多面体的表面积 ‎(1)设直棱柱高为h，底面多边形的周长为c，则S直棱柱侧＝______.‎ ‎(2)设正n棱锥底面边长为a，底面周长为c，斜高为h′，则S正棱锥侧＝____________＝____________.‎ ‎(3)设正n棱台下底面边长为a，周长为c，上底面边长为a′，周长为c′，斜高为h′，则 S正棱台侧＝__________＝____________.‎ ‎(4)设球的半径为R，则S球＝____________.‎ ‎2．几何体的体积公式 ‎(1)柱体的体积V柱体＝______(其中S为柱体的底面面积，h为高)．‎ 特别地，底面半径是r，高是h的圆柱体的体积V圆柱＝πr2h.‎ ‎(2)锥体的体积V锥体＝________(其中S为锥体的底面面积，h为高)．‎ 特别地，底面半径是r，高是h的圆锥的体积V圆锥＝πr2h.‎ ‎(3)台体的体积V台体＝______________(其中S′，S分别是台体上、下底面的面积，h为高)．‎ 特别地，上、下底面的半径分别是r′、r，高是h的圆台的体积V圆台＝πh(r2＋rr′＋r′2)．‎ ‎(4)球的体积V球＝__________(其中R为球的半径)．‎ 自我检测 ‎1．已知两平行平面α，β间的距离为3，P∈α，边长为1的正三角形ABC在平面β内，则三棱锥P—ABC的体积为(　　)‎ A. B. C. D. ‎2．(2011·唐山月考)‎ 从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得到一个正三棱锥A—BCD，则它的表面积与正方体表面积的比为(　　)‎ A.∶3 B.∶2‎ C.∶6 D.∶6‎ ‎3．设三棱柱ABC—A1B‎1C1的体积为V，P，Q分别是侧棱AA1，CC1上的点，且PA＝QC1，则四棱锥B—APQC的体积为(　　)‎ A.V B.V C.V D.V ‎4．(2011·平顶山月考)下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是(　　)‎ A．9π B．10π C．11π D．12π ‎5．(2011·陕西)某几何体的三视图如下，则它的体积是(　　)‎ A．8－ B．8－ C．8－2π D. 探究点一　多面体的表面积及体积 例1　三棱柱的底面是边长为4的正三角形，侧棱长为3，一条侧棱与底面相邻两边都成60°角，求此棱柱的侧面积与体积．‎ 变式迁移1　(2011·烟台月考)已知三棱柱ABC—A1B‎1C1的侧棱与底面边长都等于2，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则三棱柱的侧面面积为________．‎ 探究点二　旋转体的表面积及体积 例2　‎ 如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积(其中∠BAC＝30°)及其体积．‎ 变式迁移2　直三棱柱ABC—A1B‎1C1的各顶点都在同一球面上．若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝120°，则此球的表面积等于________．‎ 探究点三　侧面展开图中的最值问题 例3　如图所示，长方体ABCD－A1B‎1C1D1中，AB＝a，BC＝b，CC1＝c，并且a>b>c>0.求沿着长方体的表面自A到C1的最短线路的长．‎ 变式迁移3　‎ ‎(2011·杭州月考)如图所示，在直三棱柱ABC－A1B‎1C1中，底面为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝ .P是BC1上一动点，则CP＋PA1的最小值是________．‎ ‎1．有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素．‎ ‎2．当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用“割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台)，或化离散为集中，给解题提供便利．(1)几何体的“分割”：几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之．(2)几何体的“补形”‎ ‎：与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等．另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法，由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体补成锥体研究体积． ‎ ‎(满分：75分)‎ 一、选择题(每小题5分，共25分)‎ ‎1．(2011·安徽)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)‎ A．48 B．32＋8 C．48＋8 D．80‎ ‎2．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是，则这个三棱柱的体积是(　　)‎ A．96 B．‎16‎ C．24 D．48 ‎3．已知正方体ABCD—A1B‎1C1D1的棱长为a，长为定值的线段EF在棱AB上移动(EFb>c>0，∴ab>ac>bc>0. ‎ 故最短线路的长为.‎ 变式迁移3　5 解析　将△BCC1沿BC1线折到面A‎1C1B上，如图所示．‎ 连接A‎1C即为CP＋PA1的最小值，过点C作CD垂直A‎1C1延长线交于D，△BCC1为等腰直角三角形，‎ ‎∴CD＝1，C1D＝1，A1D＝A‎1C1＋C1D＝7.‎ ‎∴A‎1C＝＝ ＝5 .‎ 课后练习区 ‎1．C　[‎ 由三视图知该几何体的直观图如图所示，该几何体的下底面是边长为4的正方形；上底面是长为4、宽为2的矩形；两个梯形侧面垂直于底面，上底长为2，下底长为4，高为4；另两个侧面是矩形，宽为4，长为＝.所以S表＝42＋2×4＋×(2＋4)×4×2＋4××2＝48＋8.]‎ ‎2．D　[由πR3＝，∴R＝2.∴正三棱柱的高h＝4.设其底面边长为a，则·a＝2，∴a＝4.‎ ‎∴V＝×(4)2×4＝48.]‎ ‎3．D　4.B ‎5．C　[将三视图还原成几何体的直观图如图所示．‎ 它的四个面的面积分别为8,6,10,6，故最大的面积应为10.‎ ‎6．6 解析　取底面中心为O，AF中点为M，连接PO、OM、PM、AO，则PO⊥OM，‎ OM⊥AF，PM⊥AF，‎ ‎∵OA＝OP＝2，∴OM＝，‎ PM＝＝.‎ ‎∴S侧＝6××2×＝6.‎ ‎7.π 解析　围成圆锥筒的母线长为‎4 cm，‎ 设圆锥的底面半径为r，则2πr＝·2π×4，‎ ‎∴r＝1，∴圆锥的高h＝＝.‎ ‎∴V圆锥＝·πr2·h＝π(cm3)．‎ ‎8．2πR2‎ 解析　方法一　设圆柱的轴与球的半径的夹角为α，则圆柱高为2Rcos α，圆柱底面半径为Rsin α，∴S圆柱侧＝2π·Rsin α·2Rcos α＝2πR2sin 2α.当sin 2α＝1时，S圆柱侧最大为2πR2，此时，S球表－S圆柱侧＝4πR2－2πR2＝2πR2.‎ 方法二　设圆柱底面半径为r，则其高为2.‎ ‎∴S圆柱侧＝2πr·2，‎ S′圆柱侧＝4π－.‎ 令S′圆柱侧＝0，得r＝R.‎ 当00；‎ 当R