山西省晋中市2020届高三下学期一模考试（普通招生考试模拟）数学（理）试题 Word版含解析 27页

www.ks5u.com ‎2020年普通高等学校招生统一模拟考试 数学（理科）‎ ‎（本试卷考试时间120分钟，满分150分）‎ ‎★祝考试顺利★‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置．‎ ‎2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效．‎ ‎3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案用0.5毫米及以上黑色笔迹签字笔写在答题卡上．‎ ‎4．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回．‎ 参考公式：锥体的体积公式：（其中为锥体的底面积，为锥体的高）．‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求解一元二次不等式解得集合，求解的定义域解得集合，再求集合交和补运算，则问题得解.‎ ‎【详解】因为集合或，‎ ‎，‎ 集合，‎ 所以．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查一元二次不等式的求解，集合的交运算和补运算，属综合基础题.‎ - 27 -‎ ‎2.若复数（，为虚数单位）是纯虚数，则的值为（ ）‎ A. B. 0 C. 1 D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的混合运算化简，令其实部为零，虚部不为零，即可求得结果.‎ ‎【详解】因为，‎ 由题意知 解得．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查复数的混合运算，涉及由复数的类型求参数值，属综合基础题.‎ ‎3.若，，且，则向量的夹角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量垂直则数量积为零，求得，再根据夹角公式求得结果.‎ ‎【详解】根据题意，由于向量，，且，‎ ‎，，‎ 故，又向量夹角的范围为，‎ 故可知向量的夹角为.‎ 故选：B．‎ - 27 -‎ ‎【点睛】本题考查向量垂直的转化，以及由数量积求向量的夹角，属综合基础题.‎ ‎4.若，则下列不等式恒成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式性质，正切函数、幂函数、对数函数的性质，结合特值，进行判断即可.‎ ‎【详解】若，则，所以A错误；‎ 若，取，，，所以B错误；‎ 对于C选项，由于对数函数在上单调递增，‎ ‎，当时，，C选项中的不等式不恒成立，故错误；‎ 若，且幂函数在上单调递增，所以，所以D正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查正切函数、对数函数、幂函数的单调性，以及不等式的性质，属综合基础题.‎ ‎5.给定下列四个命题，其中真命题是（ ）‎ A. 垂直于同一直线的两条直线相互平行 B. 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行 C. 垂直于同一平面的两个平面相互平行 D. 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据空间中直线与直线、平面与平面，直线与平面的位置关系，结合判定定理和性质定理，对选项进行逐一分析即可判断.‎ ‎【详解】正方体同一顶点的三条棱两两垂直，则垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A - 27 -‎ 错误；‎ 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，‎ 两直线可以相交，也可以成为异面直线，故B错误；‎ 正方体的前面和侧面都垂直于底面，这两个平面不平行，C错误 对：利用反证法简单证明如下：‎ 若两个平面垂直，假设一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面垂直.‎ 因为，且平面的交线，‎ 故可得，‎ 这与题设与不垂直相互矛盾，故假设不成立，原命题成立.‎ 即选项正确.‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查空间中直线与直线、平面与平面，直线与平面的位置关系，属综合基础题.‎ ‎6.已知抛物线的焦点在轴上，顶点在坐标原点，且经过点，若点到该抛物线焦点的距离为3，则等于（ ）‎ A. B. C. 4 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线定义，求得，再结合抛物线方程，求得点的坐标，利用两点之间的距离公式，即可求得结果.‎ ‎【详解】因为抛物线过点，故可得该抛物线开口向上，‎ 设其方程为，‎ 由抛物线定义知，，所以，‎ 则抛物线方程为，‎ 因为点在此抛物线上，所以，‎ - 27 -‎ 于是，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的定义，以及抛物线上一点坐标的求解，属基础题.‎ ‎7.已知函数的最小正周期为，若将其图象沿轴向右平移个单位，所得图象关于对称，则实数的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用降幂扩角公式化简，再根据其周期求得，结合图象的左右平移求得平移后的解析式，利用是函数的对称轴，求得关于的方程，即可求得的最小值.‎ ‎【详解】容易知 又其周期为，可得，故．‎ 将其图象向右平移个单位可得图象，‎ 根据其图象关于对称，‎ 可得，，‎ 则，，又，‎ 故当时，取得最小正值为.‎ 所以实数的最小值为．‎ 故选：B．‎ - 27 -‎ ‎【点睛】本题考查降幂扩角公式的应用，求函数图像平移后的解析式，以及余弦型三角函数的性质，属综合中档题.‎ ‎8.酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上为醉酒驾车．某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了，若在停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，要想安全驾驶，那么他至少经过（ ）‎ A. 2小时 B. 4小时 C. 6小时 D. 8小时 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 列出函数模型，根据题意，列出不等式，求解即可.‎ ‎【详解】因为，故喝酒后驾驶员血液中酒精含量为.‎ 不妨设喝酒后经过的时间为，小时后血液中酒精含量为，‎ 故可得.‎ 根据题意，若想安全驾驶，则，‎ 即可得，‎ 即，‎ 因为，又，，，‎ 根据选项可知，取整数，‎ 所以，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查指数函数模型的应用，解决问题的关键是要建立正确的函数模型，属中档题.‎ ‎9.已知为正整数，，，且，则当函数取得最大值时，（ ）‎ - 27 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正切的差角公式，结合已知条件求得参数；再利用辅助角公式化简，根据其最值，求得即可.‎ ‎【详解】由条件知，则由，‎ 得，‎ 即，‎ 解得或（舍去），‎ 则．‎ 因为，‎ 所以．‎ 则当，即时，‎ 函数取得最大值，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查正切的差角公式的应用，对数运算，以及三角恒等变换，涉及正弦型函数取得最值时自变量的求解，属综合中档题.‎ ‎10.某同学次测评成绩的数据如茎叶图所示，总体的中位数为，若要使该总体的标准差最小，则的值是（ ）‎ - 27 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题，中位数为12，求得，再求得平均数，利用总体标准差最小和基本不等式求得x，y的值，即可求得答案.‎ ‎【详解】由题，因为中位数为12，所以 ‎ 数据的平均数为： ‎ 要使该总体的标准最小，即方差最小，所以 ‎ ‎ 当且紧当，取等号，即时，总体标准差最小 此时 故选A ‎【点睛】本题考查了茎叶图，熟悉茎叶图，清楚中位数、标准差的求法是解题的关键，属于中档题型.‎ ‎11.已知双曲线与圆相交于四点，如图所示，点是双曲线的左焦点，且，则双曲线的离心率为（ ）‎ - 27 -‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设双曲线的右焦点为，连接，由四边形是平行四边形，结合双曲线的定义，即可求得，再在中，由勾股定理，即可求得等量关系，结合离心率的求解公式，则问题得解.‎ ‎【详解】设双曲线的右焦点为，连接,作图如下：‎ 根据对称性知是平行四边形，所以有，‎ 又点在双曲线上，所以，‎ 因为，所以，‎ 即，‎ 而在三角形中，，，，‎ 所以三角形为直角三角形，且．‎ 在三角形中，，，，，‎ 所以，即，‎ 所以双曲线的离心率.‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，本题的难点在于求得的等量关系，属中档题.‎ - 27 -‎ ‎12.函数，，若存在，其中且，使得，则的最大值为（ ）‎ A. 8 B. 9 C. 10 D. 11‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，将问题转化为 ，有根，结合的值域，将问题进一步转化为根据集合之间的关系，求参数范围即可.‎ ‎【详解】令，‎ 则 ‎ ‎ ‎ ，‎ 因为，容易知二次函数对称轴为，‎ 所以，‎ 即，‎ 所以，‎ 由知，‎ 集合．‎ 因为且，‎ 所以，，‎ 所以，即，又．‎ - 27 -‎ 所以的最大值为10．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查由集合之间的关系求参数范围，函数思想的应用，涉及二次函数值域的求解，属综合压轴题.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.某篮球运动员罚篮命中率为0.75，在一次罚篮训练中连续投篮50次，表示投进的次数，则_______．‎ ‎【答案】37.5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，服从二项分布，根据二项分布数学期望的计算公式即可容易求得结果.‎ ‎【详解】根据题意可知：满足二项分布，即可，‎ 故．‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查二项分布数学期望的求解，属基础题.‎ ‎14.已知函数是奇函数，当时，（且），且，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数奇偶性，结合已知函数值和函数解析式，利用对数运算，即可求得结果.‎ ‎【详解】因为，且为奇函数，‎ 故可得，‎ 则；‎ 又当时，‎ 故可得，‎ - 27 -‎ 即，故可得或(舍)‎ 即.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数奇偶性求参数值，涉及对数运算，属综合基础题.‎ ‎15.现有一副斜边长为10的直角三角板，将它们斜边重合，若将其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥，如图所示，已知，，则三棱锥的外接球的表面积为______；该三棱锥体积的最大值为_______．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）容易知中点为外接球球心，则为外接球直径，从而求得半径，利用表面积公式，即可求得结果；‎ ‎（2）体积最大时，即平面平面，求得点到平面距离，利用棱锥体积公式即可求得结果.‎ ‎【详解】（1）因为，，‎ 且，，‎ 所以，，．‎ 因为，‎ 所以三棱锥的外接球的直径为，‎ 所以球的半径，‎ - 27 -‎ 故球的表面积为．‎ ‎（2）当点到平面距离最大时三棱锥的体积最大，‎ 此时平面平面，‎ 过点作，‎ 因为平面，平面平面，且交于，‎ 故可得平面，‎ 则点到平面的距离为，‎ 又在中，，‎ 所以．‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的求解，以及棱锥体积的求解，涉及面面垂直推证线面垂直，属综合中档题.‎ ‎16.在中，内角所对应的边分别为，且，若的面积，则面积的最小值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦的倍角公式，结合正弦定理将边化角，即可求得，结合面积公式，求得 - 27 -‎ 等量关系；再由余弦定理，以及基本不等式求得的最小值，即可求得面积的最小值.‎ ‎【详解】由，得，‎ 由正弦定理得，‎ 所以，，‎ 则，‎ 所以，‎ 由余弦定理得，即，‎ 所以，当且仅当时等号成立，‎ 故，‎ 所以面积的最小值为．‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查正弦的倍角公式、利用正弦定理进行边角转化，涉及余弦定理，面积公式，以及基本不等式求最值，属综合压轴题.‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎17.2020年新年伊始，新型冠状病毒来势汹汹，疫情使得各地学生在寒假结束之后无法返校，教育部就此提出了线上教学和远程教学，停课不停学的要求也得到了家长们的赞同．各地学校开展各式各样的线上教学，某地学校为了加强学生爱国教育，拟开设国学课，为了了解学生喜欢国学是否与性别有关，该学校对100名学生进行了问卷调查，得到如下列联表：‎ 喜欢国学 不喜欢国学 合计 男生 ‎20‎ ‎50‎ 女生 ‎10‎ 合计 ‎100‎ - 27 -‎ ‎（1）请将上述列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系？‎ ‎（2）针对问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢国学的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立国学宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，设这两人中女生人数为，求的分布列和数学期望．‎ 参考数据：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎，．‎ ‎【答案】（1）列联表见解析；能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系．（2）分布列见解析；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据总数为100，结合已知数据即可补充完整列联表；根据公式，求得的观测值，结合参考数据，即可容易判断；‎ ‎（2）求得分层抽样的抽样比，计算出人中男生和女生人数，利用概率计算公式即可求得分布列，结合分布列求得.‎ ‎【详解】（1）补充完整的列联表如下：‎ 喜欢国学 不喜欢国学 合计 男生 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 女生 ‎40‎ ‎10‎ ‎50‎ 合计 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ - 27 -‎ 计算得，‎ 所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系．‎ ‎（2）喜欢国学的共60人，按分层抽样抽取6人，则每人被抽到的概率均为，‎ 从而需抽取男生2人，女生4人，‎ 故的所有可能取值为0，1，2．‎ ‎，，，‎ 故分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 数学期望．‎ ‎【点睛】本题考查的计算，离散型随机变量的分布列和数学期望，涉及分层抽样，属综合中档题.‎ ‎18.已知三棱锥中，为等腰直角三角形，，平面，且，且，分别为的中点．‎ ‎（1）求证：直线平面；‎ ‎（2）求锐二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ - 27 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设的中点为，连接，通过证明四边形为平行四边形，即可由线线平行推证线面平行；‎ ‎（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得两个平面的法向量，由法向量的夹角与二面角平面角的关系，即可容易求得结果.‎ ‎【详解】（1）设的中点为，连接，‎ 则，，‎ 又且，‎ 且，‎ 四边形为平行四边形，‎ ‎，又平面，平面，‎ 平面．即证.‎ ‎（2）因为，且平面，‎ 又平面，‎ 故可得，‎ 故以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系 如下图所示：‎ - 27 -‎ 令，‎ 则，，，，，，‎ ‎，，，‎ ‎，，‎ ‎，．‎ ‎，平面，‎ 平面的一个法向量为．‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则由，即 令，则，，，‎ ‎，‎ 由图知二面角为锐角，‎ 二面角的余弦值为．‎ ‎【点睛】本题考查由线线平行推证线面平行，用向量法求二面角的余弦值，属综合中档题.‎ ‎19.已知等差数列前项和为，，．‎ ‎（1）求数列的通项公式及前项和；‎ ‎（2）设，求前项和．‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ - 27 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用等差数列的基本量，列方程即可求得首项和公差，再利用公式求通项公式和前项和即可；‎ ‎（2）根据（1）中所求即可求得，对分类讨论，结合等差数列的前项和公式，即可容易求得结果.‎ ‎【详解】（1）由得．‎ 又因为，所以，‎ 则，解得；‎ 故，‎ ‎．‎ ‎（2）．‎ 当为偶数时：‎ ‎．‎ 当为奇数时：‎ - 27 -‎ ‎．‎ 综上得．‎ ‎【点睛】本题考查数列通项公式和前项和基本量求解，涉及并项求和，属综合中档题.‎ ‎20.设椭圆长轴长为4，右焦点到左顶点的距离为3．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设过原点的直线交椭圆于两点（不在坐标轴上），连接并延长交椭圆于点，若，求四边形面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，列出的方程组，求解即可求得结果；‎ ‎（2）设出直线方程，联立椭圆方程，结合韦达定理，用参数表示的面积；根据向量关系，求得，再利用对勾函数单调性求面积关于参数的函数的最大值即可.‎ ‎【详解】（1）由题意可得，‎ 所以椭圆方程为．‎ ‎（2）由（1）知，‎ - 27 -‎ 设直线的方程为，‎ 联立得．‎ 设，，‎ 则，．‎ 因为，‎ 故可得四边形为平行四边形，则，‎ 又，‎ 故．‎ 设，，‎ 则，‎ 令，故可得，‎ 当时，恒成立，故在单调递增，‎ 故在上单调递减，‎ 所以当，即时，‎ 四边形的面积取得最大值．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程的求解，椭圆中四边形面积的最值的求解，属综合中档题.‎ ‎21.已知函数．‎ ‎（1）求在点处的切线方程；‎ ‎（2）（i）若恒成立，求的取值范围；‎ - 27 -‎ ‎（i i）当时，证明．‎ ‎【答案】（1）；（2）（i）；（i i）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对函数求导，求得，利用导数的几何意义，即可求得切线方程；‎ ‎（2）（i）将问题转化为恒成立，对参数进行分类讨论，根据函数单调性，即可容易求参数的范围；‎ ‎（i i）当时，；结合（i）中所求，可得，再利用不等式进行适度放缩，结合裂项求和，即可容易证明.‎ ‎【详解】（1）因为，‎ 故可得，‎ ‎，，‎ 所以在点处的切线方程为：，‎ 即．‎ ‎（2）（i）因为恒成立，‎ 恒成立，即恒成立．‎ 令，则，‎ ‎①当时，，所以满足；‎ ‎②当时，，在上单调递减，‎ 因为时，，所以不满足；‎ ‎③当时，时，，单调递增；‎ - 27 -‎ 时，，单调递减；‎ ‎，解得．‎ 所以的取值范围为．‎ ‎（i i）时，，所以．‎ 由（i）知：，即，所以．‎ 令，得，即，所以．‎ 即证.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数几何意义求切线方程，由恒成立问题求参数范围，利用导数证明不等式，涉及不等式放缩以及裂项求和求数列的前项和，属压轴题.‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎【选修4—4：坐标系与参数方程】‎ ‎22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（参数）．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；‎ - 27 -‎ ‎（2）已知曲线的极坐标方程为，点是曲线与的交点，点是曲线与的交点，且均异于极点，求的值．‎ ‎【答案】（1）；；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用，消参即可求得的普通方程；利用，即可求得曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）联立以及的极坐标方程，即可容易求得两点在极坐标系下的坐标，再求两点之间的距离即可.‎ ‎【详解】（1）曲线的参数方程为（为参数）．‎ 转换为普通方程为．‎ 曲线的极坐标方程为．‎ 转换为直角坐标方程为：．‎ ‎（2）曲线的参数方程为（为参数）．‎ 转换为极坐标方程为：．‎ 联立与 解得：，．‎ 整理得．‎ ‎【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程之间的相互转化，以及利用极坐标求两点之间的距离，属综合基础题.‎ ‎【选修4—5：不等式选讲】‎ - 27 -‎ ‎23.已知关于的函数．‎ ‎（1）若存在使得不等式成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若的解集包含，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用绝对值三角不等式求得的最小值，再解绝对值不等式即可；‎ ‎（2）当时，将问题转化为恒成立，即可容易求得参数的范围.‎ ‎【详解】（1）对，，‎ 当且仅当时，等号成立，‎ 故原条件等价于，‎ 即，解得，‎ 故实数的取值范围是．‎ ‎（2）当时，‎ ‎，‎ 所以，即，则，‎ 又的解集包含，‎ 所以在上恒成立，‎ 所以当时，，‎ - 27 -‎ 因为，，‎ 因此的取值范围为．‎ ‎【点睛】本题考查利用绝对值三角不等式求函数的最值，绝对值不等式的求解，属综合中档题.‎ - 27 -‎ - 27 -‎