高考数学专题复习课件：3-2-3导数与函数的综合问题 37页

【 答案 】 D 命题点 2 　证明不等式 【 例 2 】 (2016· 课标全国 Ⅲ ) 设函数 f ( x ) ＝ α cos 2 x ＋ ( α － 1)(cos x ＋ 1) ，其中 α ＞ 0 ，记 | f ( x )| 的最大值为 A . (1) 求 f ′( x ) ； (2) 求 A ； (3) 证明 | f ′( x )| ≤ 2 A . 【 解析 】 (1) f ′( x ) ＝－ 2 α sin 2 x － ( α － 1)sin x . (2) 当 α ≥ 1 时， | f ( x )| ＝ | α cos 2 x ＋ ( α － 1)(cos x ＋ 1)| ≤ α ＋ 2( α － 1) ＝ 3 α － 2 ＝ f (0) ． 因此 A ＝ 3 α － 2. 当 0 ＜ α ＜ 1 时， 将 f ( x ) 变形为 f ( x ) ＝ 2 α cos 2 x ＋ ( α － 1)cos x － 1. 设 t ＝ cos x ，则 t ∈ [ － 1 ， 1] ， 命题点 3 　不等式恒成立问题 【 例 3 】 (2016· 湖南长沙长郡中学第六次月考 ) 已知函数 f ( x ) ＝ x ln x － ax 2 ＋ a ( a ∈ R) ，其导函数为 f ′( x ) ． (1) 求函数 g ( x ) ＝ f ′( x ) ＋ (2 a － 1) x 的极值； (2) 当 x ＞ 1 时，关于 x 的不等式 f ( x ) ＜ 0 恒成立，求 a 的取值范围． 【 方法规律 】 (1) 利用导数解不等式，一般可构造函数，利用已知条件确定函数单调性解不等式； (2) 证明不等式 f ( x ) ＜ g ( x ) ，可构造函数 F ( x ) ＝ f ( x ) － g ( x ) ，利用导数求 F ( x ) 的值域，得到 F ( x ) ＜ 0 即可； (3) 利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 【 方法规律 】 研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极 ( 最 ) 值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现． 跟踪训练 2 已知函数 f ( x ) ＝ x 2 ＋ x sin x ＋ cos x 的图象与直线 y ＝ b 有两个不同交点，求 b 的取值范围． 【 解析 】 f ′( x ) ＝ x (2 ＋ cos x ) ， 令 f ′( x ) ＝ 0 ，得 x ＝ 0. ∴ 当 x ＞ 0 时， f ′ ( x ) ＞ 0 ， f ( x ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上递增． 当 x ＜ 0 时， f ′ ( x ) ＜ 0 ， f ( x ) 在 ( － ∞ ， 0) 上递减． ∴ f ( x ) 的最小值为 f (0) ＝ 1. ∵ 函数 f ( x ) 在区间 ( － ∞ ， 0) 和 (0 ，＋ ∞ ) 上均单调， ∴ 当 b ＞ 1 时，曲线 y ＝ f ( x ) 与直线 y ＝ b 有且仅有两个不同交点． 综上可知， b 的取值范围是 (1 ，＋ ∞ ) ． 于是，当 x 变化时， f ′ ( x ) ， f ( x ) 的变化情况如下表： x (3 ， 4) 4 (4 ， 6) f ′( x ) ＋ 0 － f ( x ) 单调递增 极大值 42 单调递减 由上表可得， x ＝ 4 时，函数 f ( x ) 取得极大值，也是最大值． 所以，当 x ＝ 4 时，函数 f ( x ) 取得最大值，且最大值等于 42. 答：当销售价格为 4 元 / 千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大． 【 方法规律 】 在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合．用导数求实际问题中的最大 ( 小 ) 值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义可知该极值点就是最值点． 【 解析 】 由 y ′ ＝ x 2 － 39 x － 40 ＝ 0 ， 得 x ＝－ 1 或 x ＝ 40 ， 由于 0 ＜ x ＜ 40 时， y ′ ＜ 0 ； x ＞ 40 时， y ′ ＞ 0. 所以当 x ＝ 40 时， y 有最小值． 【 答案 】 40 即 f ( x ) ＜ g ( x ) 恒成立． (11 分 ) 因此，当 a ＝ 1 时，在区间 [1 ，＋ ∞ ) 上，函数 f ( x ) 的图象在函数 g ( x ) 图象的下方． (12 分 ) 【 温馨提醒 】 (1) 导数法是求解函数单调性、极值、最值、参数等问题的有效方法，应用导数求单调区间关键是求解不等式的解集；最值问题关键在于比较极值与端点函数值的大小；参数问题涉及的有最值恒成立的问题、单调性的逆向应用等，求解时注意分类讨论思想的应用． (2) 对于一些复杂问题，要善于将问题转化，转化成能用熟知的导数研究问题 . ► 方法与技巧 1 ．用导数方法证明不等式 f ( x ) ＞ g ( x ) 时，找到函数 h ( x ) ＝ f ( x ) － g ( x ) 的零点是解题的突破口． 2 ．在讨论方程的根的个数、研究函数图象与 x 轴 ( 或某直线 ) 的交点个数、不等式恒成立等问题时，常常需要求出其中参数的取值范围，这类问题的实质就是函数的单调性与函数的极 ( 最 ) 值的应用． 3 ．在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较． ► 失误与防范 1 ．利用导数解决恒成立问题时，若分离参数后得到 “ a ＜ f ( x ) 恒成立 ” ，要根据 f ( x ) 的值确定 a 的范围中端点能否取到． 2 ．利用导数解决实际生活中的优化问题，要注意问题的实际意义 .