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- 2021-06-25 发布
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湖南省2020届高三数学理一轮复习典型题专项训练
导数及其应用
一、选择、填空题
1、(常德市2019届高三上学期检测)函数的部分图象大致为
2、(衡阳八中2019届高三上学期第二次月考)函数的导函数的图象如图所示,则函数的图象可能是( )
3、(怀化市2019届高三统一模拟(二))已知函数,若方程在区间上恰有两个不相等的实根,则实数a的取值范围为
A. B. C. D.
4、(邵阳市2019届高三10月大联考)已知函数的导函数为,若,,则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
5、(五市十校教研教改共同体2019届高三12月联考)设是奇函数的导函数,当时,,则使得成立的的取值范围是( )
A. B. C. D.
6、(湘潭市2019届高三下学期第二次模拟)已知是函数的极值点,则( )
A. B. 1 C. D. 2
7、(湘潭市2019届高三下学期第二次模拟)已知函数的图像在点处的切线与直线垂直,若数列的前项和为,则__________.
8、(长郡中学2019届高三第六次月考)已知是函数的导函数,且对任意实数都有 (e是自然对数的底数),,若不等式 的解集中恰有两个整数,则实数k的取值范围是
A. B. C. D.
9、(株洲市2019届高三教学质量统一检测(一))如图,边长为1正方形ABCD,射线从出发,绕着点 顺时针方向旋转至,在旋转的过程中,记,所经过的在正方形ABCD内的区域(阴影部分)的面积为,则函数的图像是 ( )
10、(湖南师大附中2019届高三月考试卷(六))设函数f(x)的导数为f′(x),
且f(x)=x3+f′x2-x,f(x),则f′(1)=__ __
11、(湖南湖北八市十二校(湖南师范大学附属中学、衡阳八中等)2019届高三第二次调研联考)
已知函数,要使函数的零点个数最多,则k的取值范围是
A. B.
C. D.
12、(衡阳县2018届高三12月联考)若曲线在轴的交点处的切线经过点,则数列的前项和 .
13、(长郡中学2018届高三下学期第一次模拟)曲线y=e﹣2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为( )
A. B. C. D.1
参考答案:
1、A 2、D
3、
4、A 5、C 6、B 7、
8、
9、D 10、0 11、B 12、 13、A
二、解答题
1、(常德市2019届高三上学期检测)已知函数.
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)若为曲线上两点,
求证:.
2、(衡阳八中2019届高三上学期第二次月考)已知,,
(Ⅰ)若,求的极值;
(Ⅱ)若函数的两个零点为,记,证明:.
3、(怀化市2019届高三统一模拟(二))已知函数。
(1)当a=1且时,求函数的单调区间;
(2)当时,若函数的两个极值点分别为、,证明。
4、(三湘名校教育联盟2019届高三第一次大联考) 设函数,曲线在点(0, )处的切线方程为:.
(1)求的值;
(2)若当时,,求的取值范围.
5、(邵阳市2019届高三10月大联考)已知函数,其中.
(1)讨论函数的单调性;
(2)已知,,是函数图象上的两点,证明:存在,使得.
6、(五市十校教研教改共同体2019届高三12月联考)已知函数.
(1)当时,求证:恒成立;
(2)若关于的方程至少有两个不相等的实数根,求实数的最小值.
7、(湘潭市2019届高三下学期第二次模拟)设函数,.
(1)证明:.
(2)若恒成立,求的取值范围;
(3)证明:当时,.
8、(益阳市2019届高三上学期期末考试)已知函数.
(1)当x>l时,比较与的大小;
(2)若有两个极值点,求证: .
9、(永州市2019届高三上学期第二次模拟)已知函数(其中,为自然对数的底数,).
(1)若,求函数的单调区间;
(2)证明:当时,函数有两个零点,且.
10、(岳阳市2019届高三教学质量检测(一模))设函数。
当a= l时,求函数的图象在点(1,)处的切线方程;
若函数存在两个极值点、 (<),
①求实数a的范围;
②证明:>.
11、(长郡中学2019届高三第六次月考)设函数.
若直线和函数的图象相切,求的值;
当>0时,若存在正实数,使对任意都有恒成立,求的取值范围.
12、(雅礼中学2019届高三第五次月考)已知函数为自然对数的底数)
(1)若函数在(,1)上有零点,求实数a的取值范围
(2)当x≥1时,不等式≤恒成立,求实数a的取值范围
13、(株洲市2019届高三教学质量统一检测(一))已知函数,其中为大于零的常数
(Ⅰ)讨论的单调区间;
(Ⅱ)若存在两个极值点 ,且不等式 恒成立,求实数的取值范围.
14、(湖南师大附中2019届高三月考试卷(六))设函数f(x)=-aln x-,a∈R.
(1)若函数f(x)在区间(e=2.718 28…为自然对数的底数)上有唯一的零点,求实数a的取值范围;
(2)若在[1,e](e=2.718 28…为自然对数的底数)上存在一点x0,使得f<--x0-成立,求实数a的取值范围.
15、(湖南湖北八市十二校(湖南师范大学附属中学、衡阳八中等)2019届高三第二次调研联考)
知函数.
(1)当=1时,求的单调区间;[
(2)设函数,若=2是的唯一极值点,求.
参考答案:
1、解:(Ⅰ) ;.....2分
当 时, , 在 上单调递增;
当 时,令 ,得 ,令 ,得 ;
所以,当 时, 的单调递增区间为,无单调递减区间;
当 时, 的单调递增区间为,
的单调递减区间为 ............5分
(Ⅱ)要证
即证 即证 ;
即证; ............7分
令,构造函数,
则,
所以 在上单调递增; ............9分
,即成立,所以成立,........11分
所以 成立. ............12分
2、解:(Ⅰ)
令得:
当时,,即在上单调递增,
当时,,即在上单调递减,
,不存在.
(Ⅱ)函数的两个零点为,不妨设,
,
即
又,,
,
.
令,则
在上单调递减,故,
,即,
又,.
3、
4、
5、(1)解:因为,
所以.
当时,恒成立,所以在上单调递减.
当时,令,得.
当时,,在上单调递减.
当时,,在上单调递增.
(2)证明:,.
令,
则,
,
令,则,
当时,,单调递减;当时,,单调递增.
故当时,,即.
从而,,
又,,
所以,.
因为函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线,所以存在,
使得,即存在使得.
6、解:(1)证明:当时,,,
令,所以当时,,单调递增;
当时,,单调递减.
故,所以.
(2)至少有两个根,
记,所以,
记,所以,
令舍)
所以当,,单调递减,时,,
单调递增,所以的最小值为
,
又,所以时,,
又当时,,因此必存在唯一的
,使得.
因此时,,单调递増,,,单调递减,时,,单调递増,画出的大致图象,如图所示
因此当时,与至少有两个交点,
所以的最小值为.
7、(1)证明:令函数,,
,
所以为单调递增函数,,
故.
(2),即为,
令,即恒成立,
,
令,即,得.
当,即时,在上单调递增,
,
所以当时,在上恒成立;
当,即时,在上单调递增,在上单调递减,
所以,
所以不恒成立.
综上所述:的取值范围为.
(3)证明:由(1)知,
令,,,
,即,
故有,
,
…
,
上述各式相加可得.
因为,
,,
所以.
8、
9、(1)
令得或
所以函数的单调递增区间为,,单调递减区间为
(2)当时,恒成立,
所以在递减,在递增
则为函数极小值点
又因为对于恒成立
对于恒成立
对于恒成立
所以当时,有一个零点,当时,有一个零点
即,
且,
所以
下面再证明即证
由得
又在上递减,于是只需证明,
即证明
将代入得
令
则
因为为上的减函数,且
所以在上恒成立
于是为上的减函数,即
所以,即成立
综上所述,
10、
11、
12、
13、【解析】
(Ⅰ) -----------------------------------1分
(1)当时,在在上单调递增 --------------------------2分
(2)当时,设方程的两根为
则
在上单调递增,上单调递减 ------------------------------5分
(Ⅱ)由((Ⅰ))可知,且
由
所以 -----------------------------------6分
设
令
当时,
故在上单调递减,所以
综上所述,时,恒成立。-----------------------------------12分
14、【解析】(1)f′(x)=x-=,其中x∈[1,e],
①当a≤1时,f′(x)≥0恒成立,f(x)单调递增,又∵f(1)=0,∴函数f(x)在区间[1,e]上有唯一的零点,符合题意.
②当a≥e2时,f′(x)≤0恒成立,f(x)单调递减,又∵f(1)=0,∴函数f(x)在区间[1,e]上有唯一的零点,符合题意.3分
③当10,f(x)单调递增,
∴当f(e)<0时符合题意,即-a-<0,
∴a>时,函数f(x)在区间[1,]上有唯一的零点;
∴a的取值范围是.6分
(2)在[1,e]上存在一点x0,使得f<--x0-成立,等价于x0+-aln x0+<0在[1,e]上有解,即函数g(x)=x+-aln x+在上的最小值小于零.
g′=1---==,8分
①当a+1≥e时,即a≥e-1时,g在上单调递减,所以g的最小值为g,由g=e+-a<0可得a>,∵>e-1,∴a>;
②当a+1≤1时,即a≤0时,g在上单调递增,所以g的最小值为g
,由g=1+1+a<0可得a<-2;10分
③当12,所以g<0不成立.
综上所述:可得所求a的取值范围是(-∞,-2)∪.12分
15、
2