九年级数学下册第24章圆小专题一旋转变换的证明与计算课时作业新版沪科版 8页

小专题(一)　旋转变换的证明与计算 ‎1.任意一个图形绕旋转中心旋转α(0°<α≤180°),旋转后的图形与原图形的对应线段所在直线的夹角都为α或180°-α.‎ ‎2.当条件比较分散时,可通过旋转变换把分散的条件集中在一个三角形中,其中旋转的角度是构图的关键.通常把图形旋转到特定的位置或特殊的角度,当三角形绕某一顶点旋转90°时,可出现等腰直角三角形,当三角形绕某一顶点旋转60°时,可出现等边三角形.于是可把陌生问题转化为熟悉问题,把复杂问题转化为简单问题.‎ 类型1　利用旋转变换证明 ‎1.如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.‎ ‎(1)在图1中E是OC上一点,F是OB上一点,且OE=OF,请问可以通过平移、旋转、翻折中的哪一种方法,使△OAF变换到△OBE的位置?‎ ‎(2)如图2,若点E,F分别在OC,OB的延长线上,并且OE=OF,试写出线段AF与BE的数量关系,并说明理由.‎ 解:(1)旋转,以点O为旋转中心,逆时针旋转90度,可以使△OAF变换到△OBE的位置.‎ ‎(2)AF=BE.‎ 理由:∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,OA=OB,‎ ‎∴∠AOB=∠BOC=90°,‎ 在△AOF和△BOE中,‎AO=BO,‎‎∠AOF=∠BOE,‎OF=OE,‎ ‎∴△AOF≌△BOE(SAS),∴AF=BE.‎ 类型2　利用旋转求线段长 8‎ ‎2.‎ 如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=45°,△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的,连接BE,CF相交于点D.‎ ‎(1)求证:BE=CF;‎ ‎(2)当四边形ABDF为菱形时,求CD的长.‎ 解:(1)∵△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的,∴AE=AF=AB=AC=2,∠EAF=∠BAC=45°,∴∠BAC+∠CAE=∠EAF+∠CAE,即∠BAE=∠CAF,‎ 在△ABE和△ACF中,‎AB=AC,‎‎∠BAE=∠CAF,‎AE=AF,‎ ‎∴△ABE≌△ACF,∴BE=CF.‎ ‎(2)∵四边形ABDF为菱形,∴DF=AF=2,DF∥AB,∴∠ACF=∠BAC=45°.‎ ‎∵AC=AF,∴∠ACF=∠AFC=45°,∴△ACF为等腰直角三角形,∴CF=‎2‎AF=2‎2‎,‎ ‎∴CD=CF-DF=2‎2‎-2.‎ 类型3　利用旋转求角的度数 ‎3.如图,菱形ABCD是由两个正三角形拼成的,P是△ABD内任意一点,现把△BPD绕点B旋转到△BQC的位置.‎ ‎(1)当四边形BPDQ是平行四边形时,求∠BPD;‎ ‎(2)当△PQD是等腰直角三角形时,求∠BPD;‎ ‎(3)若∠APB=100°,且△PQD是等腰三角形时,求∠BPD.‎ 8‎ 解:(1)连接DQ.当四边形BPDQ是平行四边形时,BQ=PD,由已知,得BQ=BP,∴BP=PD,‎ ‎∵△BQC由△BPD旋转所得,∴△BDP,△BCQ为等腰三角形,∵PD∥BQ,∴∠BDP=∠DBQ,‎ ‎∵∠BDP=∠DBP=∠CBQ,∴∠DBQ=∠CBQ,∵∠DBC=60°=∠DBQ+∠CBQ,∴∠BDP=∠DBP=∠CBQ=30°,∠DPB=180°-(∠BDP+∠DBP)=120°.‎ ‎(2)连接PQ.当DP=DQ,∠PDQ=90°时,由旋转的性质可得BP=BQ,∵∠DBQ+∠CBQ=∠DBC=60°,∠DBP=∠CBQ,∴∠DBP+∠DBQ=∠CBQ+∠DBQ=60°,∴△BPQ为等边三角形,∠BPQ=60°,∴∠BPD=∠BPQ+∠DPQ=60°+45°=105°,当DQ=PQ,∠PQD=90°时,同理得△BPQ为等边三角形,∠BPQ=60°,∴∠BPD=∠BPQ+∠DPQ=60°+45°=105°,当DP=PQ,∠DPQ=90°时,同理得△BPQ为等边三角形,∠BPQ=60°,∴∠BPD=∠BPQ+∠DPQ=60°+90°=150°.综上,∠BPD的度数为105°或150°.‎ ‎(3)连接AP.由旋转的性质可得BP=BQ,同理得△BPQ为等边三角形,则∠PQB=∠PBQ=∠BPQ=60°,‎ ‎∵BD=AB,BQ=BP,∠PBQ=∠ABD=60°,‎ ‎∴△BQD≌△BPA,则∠BQD=∠BPA=100°,‎ ‎∴∠PQD=∠BQD-∠PQB=40°.当PQ=PD时,∠DPQ=180°-2∠PQD=100°,∠BPD=∠BPQ+∠DPQ=60°+100°=160°;当PQ=DQ时,∠DPQ=‎1‎‎2‎(180°-40°)=70°,∠BPD=∠BPQ+∠DPQ=60°+70°=130°;当PD=DQ时,∠DPQ=∠PQD=40°,由∠BPD=∠BPQ+∠DPQ=60°+40°=100°.综上,∠BPD的度数为100°或130°或160°.‎ 类型4　利用旋转求面积 ‎4.(德阳中考)如图,将△ABC沿BC翻折得到△DBC,再将△DBC绕点C逆时针旋转60°得到△FEC,延长BD交EF于点H,已知∠ABC=30°,∠BAC=90°,AC=1,则四边形CDHF的面积为 ‎3‎‎3‎　. ‎ ‎5.(青海中考)请认真阅读下面的数学小探究系列,完成所提出的问题:‎ 8‎ ‎(1)探究1:如图1,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,BC=a,将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD,连接CD.求证:△BCD的面积为‎1‎‎2‎a2.‎ ‎(2)探究2:如图2,在一般的Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=a,将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD,连接CD.请用含a的式子表示△BCD的面积,并说明理由.‎ ‎(3)探究3:如图3,在等腰三角形ABC中,AB=AC,BC=a,将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD,连接CD.试探究用含a的式子表示△BCD的面积,要有探究过程.‎ 解:(1)如题图1,过点D作DE⊥CB交CB的延长线于点E,∴∠BED=∠ACB=90°,由旋转知AB=BD,∠ABD=90°,∴∠ABC+∠DBE=90°,‎ ‎∵∠A+∠ABC=90°,∴∠A=∠DBE,在△ABC和△BDE中,‎‎∠ACB=∠BED,‎‎∠A=∠DBE,‎AB=BD,‎ ‎∴△ABC≌△BDE(AAS),∴BC=DE=a,‎ ‎∴S△BCD=‎1‎‎2‎BC·DE=‎1‎‎2‎a2.‎ ‎(2)△BCD的面积为‎1‎‎2‎a2.‎ 理由:如题图2,过点D作BC的垂线,与CB的延长线交于点E.∴∠BED=∠ACB=90°,由旋转知AB=BD,∠ABD=90°,∴∠ABC+∠DBE=90°.‎ ‎∵∠A+∠ABC=90°,∴∠A=∠DBE.在△ABC和△BDE中,‎∠ACB=∠BED,‎‎∠A=∠DBE,‎AB=BD,‎∴△ABC≌△BDE(AAS),∴BC=DE=a.∴S△BCD=‎1‎‎2‎BC·DE=‎1‎‎2‎a2.‎ ‎(3)如题图3,过点A作AF⊥BC于点F,过点D作DE⊥CB交CB的延长线于点E,∴∠AFB=∠E=90°,BF=‎1‎‎2‎BC=‎1‎‎2‎a,∴∠FAB+∠ABF=90°.‎ ‎∵∠ABD=90°,∴∠ABF+∠DBE=90°,‎ ‎∴∠FAB=∠EBD.∵线段BD是由线段AB旋转得到的,∴AB=BD.‎ 8‎ 在△AFB和△BED中,‎‎∠AFB=∠E,‎‎∠FAB=∠EBD,‎AB=BD,‎ ‎∴△AFB≌△BED(AAS),∴BF=DE=‎1‎‎2‎a.‎ ‎∵S△BCD=‎1‎‎2‎BC·DE=‎1‎‎2‎·a·‎1‎‎2‎a=‎1‎‎4‎a2.‎ 类型5　利用旋转求点的坐标 ‎6.(牡丹江中考)如图,矩形ABCD的边BC在x轴上,点A在第二象限,点D在第一象限,AB=2‎3‎,OD=4,将矩形ABCD绕点O旋转,使点D落在x轴上,则点C的对应点的坐标是(C)‎ A.(-‎3‎,1)‎ B.(-1,‎3‎)‎ C.(-1,‎3‎)或(1,-‎3‎)‎ D.(-‎3‎,1)或(1,-‎3‎)‎ 类型6　与旋转有关的探究题 ‎7.将矩形ABCD绕点A顺时针旋转a(0°