小学数学精讲教案5_3_3 质数与合数（三） 教师版 4页

1. 掌握质数与合数的定义 2. 能够用特殊的偶质数 2 与质数 5 解题 3. 能够利用质数个位数的特点解题 4. 质数、合数综合运用 一、质数与合数 一个数除了 1 和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了 1 和它本身，还有 别的约数，这个数叫做合数. 要特别记住：0 和 1 不是质数，也不是合数. 常用的 100 以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、 67、71、73、79、83、89、97，共计 25 个；除了 2 其余的质数都是奇数；除了 2 和 5，其余的质数个位数字 只能是 1，3，7 或 9. 考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数 2 的特殊性为考点. ⑵ 除了 2 和 5，其余质数个位数字只能是 1，3，7 或 9.这也是很多题解题思路，需要大家注意. 二、判断一个数是否为质数的方法 根据定义如果能够找到一个小于 p 的质数 q(均为整数)，使得 q 能够整除 p，那么 p 就不是质数，所以我 们只要拿所有小于 p 的质数去除 p 就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的 p，我们可以先找一个 大于且接近 p 的平方数 ，再列出所有不大于 K 的质数，用这些质数去除 p，如没有能够除尽的那么 p 就为 质数.例如：149 很接近 ，根据整除的性质 149 不能被 2、3、5、7、11 整除，所以 149 是质数. 模块一、质数合数综合 【例 1】 写出 10 个连续自然数，它们个个都是合数． 【考点】质数合数综合 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】【解析】在寻找质数的过程中，我们可以看出 100 以内最多可以写出 7 个连续的合数：90，91，92，93，94， 95，96．我们把筛选法继续运用下去，把考查的范围扩大一些就行了．用筛选法可以求得在 113 与 127 之间共有 13 个都是合数的连续自然数：114，115，116，117，118，119，120，121，122， 123，124，125，126．同学们可以在这里随意截取 10 个即为答案．可见本题的答案不唯一． 【答案】114，115，116，117，118，119，120，121，122，123 【例 2】 老师可以把本题拓展为找更多个连续的合数：找 200 个连续的自然数它们个个都是合数． 【考点】质数合数综合 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】【解析】如果 10 个连续自然数中，第 1 个是 2 的倍数，第 2 个是 3 的倍数，第 3 个是 4 的倍数 第 10 个 是 11 的倍数，那么这 10 个数就都是合数．又 ，m 3， ，m 11 是 11 个连续整数，故只要 m 是 2，3， ，11 的公倍数，这 10 个连续整数就一定都是合数．设 m 为 2，3，4， ，11 这 10 5-3-3.质数与合数（三） 知识框架 知识点拨 2K 144 12 12= × 例题精讲   2m + +  +   个数的最小公倍数．m 2，m 3，m 4， ，m 11 分别是 2 的倍数，3 的倍数，4 的倍数 11 的倍数，因此 10 个数都是合数．所以我们可以找出 2，3，4 11 的最小公倍数 27720，分别加上 2，3，4 11，得出十个连续自然数 27722，27723，27724 27731，他们分别是 2，3，4 11 的倍 数，均为合数．说明：我们还可以写出 (其中 n！ 1 2 3 n)这 10 个连续合数来．同样， 是 m 个连续的合数．那么 200 个连续的自 然数可以是： 【答案】 【例 3】 四个质数 2、3、5、7 的乘积为 ，经验证 200 到 220 之间仅有一个质数，请问这个质数是 。 【考点】质数合数综合 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，6 年级 【解析】四个质数乘积 ＝210；200 到 220 的质数，因为 210＝ ，所以 ， ， ， ， ， ， ， ， 都是合数，所以只需要判断 中谁是质数即可，209 和 211 中 211 是质数。 【答案】积为 210，质数是 211 【例 4】 有人说：“任何 7 个连续整数中一定有质数．”请你举一个例子，说明这句话是错的． 【考点】质数合数综合 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】【解析】略 【答案】例如连续的 7 个整数：842、843、844、845、846、847、848 分别能被 2、3、4、5、6、7、8 整除， 就是说它们都不是质数．有些同学可能会说这是怎么找出来的，翻质数表还是……，我们注意到 (n+1)!+2，(n+1)!+3，(n+1)!+4，…，(n+1)!+(n+1)这 n 个数分别能被 2、3、4、…、(n+1)整除，它们 是连续的 n 个合数．其中 n!表示从 1 一直乘到 n 的积，即 1×2×3×…×n． 【例 5】 如果一个数不能表示为三个不同合数的和，那么我们称这样的数为智康数，那么最大的智康数是 几？ 【考点】质数合数综合 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】首先我们可以分析出大多数自然数都是智康数，所以核心的思想是找到智康数与其他自然数的“分界 线”。我们知道最小的三个不同合数是 4,6,8，它们的和是 18,则比 18 小的数一定都是智康数，而比 18 大的数中，我们可以分为与 18 的差是“奇数”或者是“偶数”。如果与 18 的差是偶数，那么这类自然 数一定不是智康数，可以写作 4+6+(8+2n),如果与 18 的差是一个奇数，那么可以写作 4+(6+2n)+(8+1) 也不是一个智康数，所以最大的智康数为 17。 【答案】17 【例 6】 将八个不同的合数填入下面的括号中，如果要求相加的两个合数互质，那么 A 最小是几？ A=（ ）+（ ）=（ ）+（ ）=（ ）+（ ）=（ ）+（ ） 【考点】质数合数综合 【难度】3 星 【题型】填空 【解析】【解析】首先列出前几个合数 4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20，21，22，24，25，26，27，28， 因为相加的合数互质，所以不能同时为偶数，要想 A 尽量小，这两个数也不能都同时为奇数，因为 奇合数比较少，找出 8 个来必然很大。所以应该是一奇一偶，经试验得 A=4+25=8+21=9+20=14+15=29， 即 A 的最小值为 29。大部分的题考的都是质数，此题考合数，重在强化合数以及互质的概念。 【答案】A 的最小值为 29 【例 7】 有些自然数能够写成一个质数与一个合数之和的形式，并且在不计加数顺序的情况下，这样的表 示方法至少有 13 种。那么所有这样的自然数中最小的一个是多少． 【考点】质数合数综合 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】【解析】根据题意在不计加数顺序的情况下一个自然数能有 13 种表示成一个质数与一个合数和的形式，说明 这个自然数一定比从 2 开始的第 13 个质数要大。从 2 开始数的 13 个质数分别是：2，3，5，7，11， 13，17，19，23，29，31，37，41。那么这个数一定要比 41 大，为了满足这个自然数能够分别写成 上面质数与另一个合数的和的形式，所求自然数只要是个奇数即可，这样这个奇数与从 3 开始的质 数的差只要都是一个大于 2 的偶数即可满足条件。答案为 47 + + +  +       11! 2,11! 3,11! 4 11! 11+ + + + = × × ×  × (m+1)!+2,(m+1)!+3, ,(m+1)!+m+1 201! 2,201! 3, ,201! 201+ + + 201! 2,201! 3, ,201! 201+ + + 2 3 5 7× × × 2 3 5 7× × × 210 2± 210 3± 210 4± 210 5± 210 6± 210 7± 210 8± 210 9± 210 10± 210 1± 【答案】47 【例 8】 求 1-100 中不能表示成两个合数的乘积再加一个合数的最大数是多少？ 【考点】质数合数综合 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】【解析】考虑最小的合数是 4，先把表示方法简化为 4 合数 合数而合数最简单的表现形式就是大于等于 4 的偶数因此该表示方法进一步表示为 4 (2 n)＋合数即 8n 合数(其中 n＞1 即可) 当该数被 8 整除时， 该数可表示为 4 (2n) 8 ，n＞1,所以大于等于 24 的 8 的倍数都可表示 当该数被 8 除余 1 时，该数可表示为 4 (2n) 9，n＞1,所以大于等于 25 的被 8 除余 1 都可表示 当该数被 8 除余 2 时，该数可表示为 4 (2n) 10，n＞1,所以大于等于 26 的被 8 除余 2 的都可表示 当该数被 8 除余 3 时，该数可表示为 4 (2n) 27，n＞1,所以大于等于 43 的被 8 除余 3 的都可表示 当该数被 8 除余 4 时，该数可表示为 4 (2n) 4，所以大于等于 20 的被 8 除余 4 的都可表示 当该数被 8 除余 5 时，该数可表示为 4 (2n) 21，所以大于等于 37 的被 8 除余 5 的都可表示 当该数被 8 除余 6 时，该数可表示为 4 (2n) 6，所以大于等于 22 的被 8 除余 6 的都可表示 当该数被 8 除余 7 时，该数可表示为 4 (2n) 15，所以大于等于 31 的被 8 除余 7 的都可表示 综上所述，不能表示的最大的数是 经检验，35 的确无论如何也不能表示成合数×合数＋合数的形式，因此我们所求的最大的数就是 35。 【答案】35 模块二、互质 【例 9】 将六个自然数 14，20，33，117，143，175 分组，如果要求每组中的任意两个数都互质，则至少需 要将这些数分成____组。 【考点】互质 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，决赛，第 5 题，10 分 【解析】先将所有数都分解质因数得： 14=2×7 20=2×2×5 33=3×11 117=3×3×13 143=11×13 175=5×5×7 注意到 33，117，143 两两都不互质，所以至少应该分成 3 组，同样 14，20，175 也必须分为 3 组，互相配合就行。 【答案】 组 【例 10】 把 26，33，34，35，63，85，91，143 分成若干组，要求每组中任意两个数的最大公约数是 1，那 么至少要分几组. 【考点】分解质因数 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】要保证每组中的任意 2 个数均互质，需要每组中的每个数字都有独有的质因数才能实现。可以对以 上每个数字进行分解质因数，容易得出最少分 3 组. 【答案】3 【例 11】 把 40，44，45，63，65，78，99，105 这八个数平分成两组，使每组四个数的乘积相等。 【考点】分解质因数 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】 ， ， ， ， ， ， ， ，要使每组四个数的乘积相等，需要每组含有相同的质因数，看质因数 2，第一组含有 40，第二组含有 44，78，再看 ，第一组应有 40，99，65，再看 5 第二组应有 44，78，45， 105，最后看 7，第一组应有 40，99，65，63． 【答案】40，99，65，63 × + × × + × + × + × + × + × + × + × + × + 43 8 35− = 3 340 2 5= × 244 2 11= × 245 5 3= × 263 7 3= × 65 5 13= × 78 2 3 13= × × 299 3 11= × 105 3 5 7= × × 11,13 【例 12】 已知三个合数 A，B，C 两两互质，且 A×B×C=11011×28，那么 A+B+C 的最大值为 【考点】互质 【难度】4 星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，决赛，第 6 题，10 分 【解析】分解质因式：A×B×C=11011×28=11×1001×28= ，由于 A，B，C 两两互质，并且 A+B+C 要最大，则让数尽量的大，则最大为：4、49、1573，则 A+B+C 的最大值为 1626。 【答案】 2 2 22 7 11 13× × × 1626