全国卷数学高考分析及高考预测全国Ⅰ卷理科数学2011高考分析及高考预测 72页

2011-2017 年新课标全国Ⅰ卷理科数学高考分析 及 2018 年高考预测 话说天下大势，合久必分，分久必合，中国高考也是如此．2000 年，教育部决定实施分省 命题．十多年后，由分到合． 2017 年，除了保留北京、天津、上海、江苏、浙江实行自主命题外（山东省语文、数学卷 最后一年使用），大陆其他省区全部使用全国卷． 研究发现，新课标全国卷的试卷结构和题型具有一定的稳定性和连续性．每个题型考查的 知识点、考查方法、考查角度、思维方法等相对固定．掌握了全国卷的各种题型，就把握住了 全国卷命题的灵魂．基于此，笔者潜心研究近 7 年全国高考理科数学Ⅰ卷和高考数学考试说明， 精心分类汇总了全国卷近 7 年所有题型．为了便于读者使用，所有题目分类（共 21 类）列于表 格之中，按年份排序．高考题的小题（填空和选择）的答案都列在表格的第三列，便于同学们 及时解答对照答案，所有解答题的答案直接列在题目之后，方便查看． 一、集合与简易逻辑 1.集合： 7 年 5 考，都是交并补子运算为主，多与解不等式等交汇，新定义运算也有较小的可能，但 是难度较低；基本上是每年的送分题，相信命题小组对集合题进行大幅变动的决心不大． 年份 题目 答案 2017 年 （1）已知集合 A={x|x<1}，B={x| }，则 A． B． C． D． A 2016 年 （1）设集合 ， ，则 （A） （B） （C） （D） D 2014 年 （1）已知集合 A={ | }，B= ，则 = .[-2,-1] .[-1,2） .[-1,1] .[1,2） A 2013 年 （1）已知集合 A=｛x|x2－2x＞0｝，B=｛x| ｝，则 A、A∩B=∅ B、A∪B=R C、B⊆A D、A⊆B 　 B 　　　　　　　 2012 年 （1）已知集合 ,则 中所含 元素的个数为 　 D 2.简易逻辑： { | 0}A B x x= < A B = R { | 1}A B x x= > A B = ∅ 3 1x < 2{ | 4 3 0}A x x x= − + < { | 2 3 0}B x x= − > A B = 3( 3, )2 − − 3( 3, )2 − 3(1, )2 3( ,3)2 x 2 2 3 0x x− − ≥ { }2 2x x− ≤ < A B A B C D 5 5x− < < {1,2,3,4,5}A = , {( , ) , , }B x y x A y A x y A= ∈ ∈ − ∈ B ( )A 3 ( )B 6 ( )C 8 ( )D 10 7 年 1 考（2017 年在复数题中涉及真命题这个概念），只有 2015 年考了一个全称与特称命 题的转化．这个考点包含的小考点较多，并且容易与函数，不等式、数列、三角函数、立体几 何交汇，热点就是“充要条件”；难点：否定与否命题；冷点：全称与特称（2015 考的冷点）， 思想：逆否．要注意，这类题可以分为两大类，一类只涉及形式的变换，比较简单，另一类涉 及命题真假判断，比较复杂． 年份 题目 答案 2015 年 （3）设命题 P： n N， > ，则 P 为 （A） n N, > （B） n N, ≤ （C） n N, ≤ （D） n N, = C 二、复数： 7 年 7 考，每年 1 题，考查四则运算为主，偶尔与其他知识交汇，难度较小．考查代数运算 的同时，主要涉及考查概念有：实部、虚部、共轭复数、复数的模、对应复平面的点坐标等． 年份 题目 答案 2017 年 （3）设有下面四个命题 ：若复数 满足 ，则 ； ：若复数 满足 ，则 ； ：若复数 满足 ，则 ； ：若复数 ，则 . 其中的真命题为 A． B． C． D． B 2016 年 （2）设 ，其中 是实数，则 （A）1 （B） （C） （D）2 B 2015 年 (1)设复数 z 满足 ，则|z|= （A）1 （B） （C） （D）2 A 2014 年 2. = . . . . D 2013 年 2、若复数 z 满足 (3－4i)z＝|4＋3i |，则 z 的虚部为 A、－4 （B） （C）4 （D） D 1p z 1 z ∈R z ∈R 2p z 2z ∈R z ∈R 3p 1 2,z z 1 2z z ∈R 1 2z z= 4p z ∈R z ∈R 1 3,p p 1 4,p p 2 3,p p 2 4,p p ∃ ∈ 2n 2n ¬ ∀ ∈ 2n 2n ∃ ∈ 2n 2n ∀ ∈ 2n 2n ∃ ∈ 2n 2n (1 i) 1 ix y+ = + ,x y i =x y+ 2 3 1+z 1 iz =− 2 3 3 2 (1 ) (1 ) i i + − A 1 i+ B 1 i− C 1 i− + D 1 i− − 4 5 − 4 5 2012 年 （3）下面是关于复数 的四个命题：其中的真命题为 的共轭复数为 的虚部 为 C 2011 年 (1)复数 的共轭复数是 （A） （B） （C） （D） C 三、平面向量： 7 年 7 考，每年 1 题，向量题考的比较基本，突出向量的几何运算或代数运算，不侧重于与 其它知识交汇，难度不大（与全国其它省份比较）．我认为这样有利于考查向量的基本运算，符 合考试说明． 年份 题目 答案 2017 年 （13）已知向量 a，b 的夹角为 60°，| a|=2，| b|=1，则| a +2 b |= ________． 2016 年 (13) 设 向 量 a=(m ， 1) ， b=(1 ， 2) ， 且 |a+b|2=|a|2+|b|2 ， 则 . -2 2015 年 （7）设 D 为 所在平面内一点， ，则 （A） 　 B） （C） 　 （D） A 2014 年 15.已知 A，B，C 是圆 O 上的三点，若 ，则 与 的夹角为 . 2013 年 13、已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c=0， 则t=_____. 2 2012 年 13、已知向量 夹角为 ，且 ；则 2011 年 （10）已知 a 与 b 均为单位向量，其夹角为 ，有下列四个命题 其中的真命题是 Aθ 1 2: 1 0, 3P a b πθ  + > ⇔ ∈   2 2: 1 ,3P a b πθ π + > ⇔ ∈   3 : 1 0, 3P a b πθ  − > ⇔ ∈   4 : 1 ,3P a b πθ π − > ⇔ ∈   2 1z i = − + 1 : 2p z = 2 2 : 2p z i= 3 :p z 1 i+ 4 :p z 1− ( )A 2 3,p p ( )B 1 2,p p ( )C 2 4,p p ( )D 3 4,p p 2 1 2 i i + − 3 5 i− 3 5 i i− i 2 3 m = __________ ABC∆ 3BC CD=  1 4 3 3AD AB AC= − +   1 4 3 3AD AB AC= −   4 1 3 3AD AB AC= +   4 1 3 3AD AB AC= −   1 ( )2AO AB AC= +   AB AC 090 ,a b  45° 1, 2 10a a b= − =   _____b = 3 2 （A） （B） （C） （D） 四、线性规划： 7 年 7 考，每年 1 题，全国卷线性规划题考的比较基本，一般不与其它知识结合，不象部分 省区的高考向量题侧重于与其它知识交汇，如和平面向量、基本不等式、解析几何等交汇．我 觉得这种组合式交汇意义不大，不利于考查基本功．由于线性规划的运算量相对较大，我觉得 难度不宜太大，不过为了避免很多同学解出交点代入的情况估计会加大“形’的考察力度，有 可能通过目标函数的最值作为条件反求可行域内的参数问题，或者利用一些含有几何意义的目 标函数（斜率、距离等）， 如 2015 年新课标 15 题．(还有近年线性规划应用题较少考查，是否 再考？这是我写 5 年高考分析时的预测，果然 2016 年考了线性规划应用题，2017 年不会再考了 吧？果然没考，考了个最基本的)． 年份 题目 答案 2017 年 （14）设 满足约束条件 ，则 的最小值为 ________． -5 2016 年 （16）某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料．生产 一件产品 A 需要甲材料 1.5kg，乙材料 1kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg，乙材料 0.3kg，用 3 个工时，生产一件产品 A 的利润为 2100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元．该企业现有甲材料 150kg，乙 材料 90kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润 之和的最大值为 元． 216000 2015 年 （ 15 ） 若 x,y 满 足 约 束 条 件 则 的 最 大 值 为 . 3 2014 年 9.不等式组 的解集记为 .有下面四个命题： ： ， ： , ： ， ： . 其中真命题是 . ， . ， . ， . ， C 2012 年 (14) 设 满足约束条件： ；则 的取值范 围为 1 4,P P 1 3,P P 2 3,P P 2 4,P P 2 1 2 1 0 x y x y x y + ≤  + ≥ −  − ≤ 3 2z x y= −,x y __________ 1 0 0 4 0 x x y x y − ≥  − ≤  + − ≤ y x 1 2 4 x y x y + ≥  − ≤ D 1p ( , ) , 2 2x y D x y∀ ∈ + ≥ − 2p ( , ) , 2 2x y D x y∃ ∈ + ≥ 3P ( , ) , 2 3x y D x y∀ ∈ + ≤ 4p ( , ) , 2 1x y D x y∃ ∈ + ≤ − A 2p 3P B 1p 4p C 1p 2p D 1p 3P ,x y , 0 1 3 x y x y x y ≥  − ≥ −  + ≤ 2z x y= − [ 3,3]− 2011 年 （13）若变量 满足约束条件 则 的最小 值为 ． -6 五、三角函数： 7 年 13 考，每年至少 1 题，当考 3 个小题时，当年就不再考三角大题了．题目难度较小， 主要考察公式熟练运用、平移、图像性质、化简求值、解三角形等问题（含应用题），基本属于 “送分题”．小心平移（重点+难点+几乎年年考）．2013 年 15 题对化简要求较高，难度较大．2016 年的考法也是比较难的，所以当了压轴题． 年份 题目 答案 2017 年 （9）已知曲线 ，则下面结论正确的是 A．把 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线 向右平移 个单位长度，得到曲线 B．把 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线 向左平移 个单位长度，得到曲线 C．把 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线 向右平移 个单位长度，得到曲线 D．把 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线 向左平移 个单位长度，得到曲线 D 2016 年 (12)已知函数 为 的零点， 为 图像的对称轴，且 在 单调，则 的最大值为 （A）11 （B）9 （C）7 （D）5 B 2015 年 （2） （A） （B） （C） （D） D π 6 π 12 1 2 π 6 1 2 π 12 ,x y 3 2 9, 6 9, x y x y ≤ + ≤  ≤ − ≤ 2z x y= + 1 2 2: cos , : sin(2 )3C y x C y x π= = + 1C 2C 1C 2C 1C 2C 1C 2C ( ) sin( )( 0 ),2 4f x x+ x π πω ϕ ω ϕ= > ≤ = −， ( )f x 4x π= ( )y f x= ( )f x 5( )18 36 π π， ω sin 20 cos10 cos160 sin10− =    3 2 − 3 2 1 2 − 1 2 2015 年 （8）函数 的部分图象如图所示，则 的单调递 减区间为 （A） （B） （C） （D） D 2015 年 （16）在平面四边形 ABCD 中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则 AB 的取 值范围是 . ， 2014 年 6.如图，圆 O 的半径为 1，A 是圆上的定点，P 是 圆上的动点，角 的始边为射线 ，终边为射线 ，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，将点 到直线 的距离表示为 的函数 ，则 = 在[0, ]上的图像大致为 B 2014 年 8.设 ， ，且 ，则 . . . . B 2014 年 16.已知 分别为 的三个内角 的对边， =2，且 ，则 面积的最大值 为 . ( ) cos( )f x xω ϕ= + ( )f x 1 3( , ),4 4k k k Zπ π− + ∈ 1 3(2 ,2 ),4 4k k k Zπ π− + ∈ 1 3( , ),4 4k k k Z− + ∈ 1 3(2 ,2 ),4 4k k k Z− + ∈ ( 6 2− 6 2)+ x OA OP P OA M M OP x ( )f x y ( )f x π (0, )2 πα ∈ (0, )2 πβ ∈ 1 sintan cos βα β += A 3 2 πα β− = B 2 2 πα β− = C 3 2 πα β+ = D 2 2 πα β+ = , ,a b c ABC∆ , ,A B C a (2 )(sin sin ) ( )sinb A B c b C+ − = − ABC∆ 3 2013 年 15、设当x=θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ=______ 2012 年 （9）已知 ，函数 在 上单调递减．则 的取值范围是（ ） A 2011 年 （5）已知角 的顶点与原点重合，始边与 轴的正半轴重合，终边在 直线 上，则 = （A） （B） （C） （D） B 2011 年 1. 设函数 的最小正 周期为 ，且 ，则 （A） 在 单调递减 （B） 在 单调递减 （C） 在 单调递增 （D） 在 单调递增 A 2011 年 （ 16 ） 在 中 ， ， 则 的 最 大 值 为 ． 六、立体几何: 7 年 13 考，一般考三视图和球，主要计算体积和表面积．其中，我认为“点线面”也有可 能出现在小题，但是难度不大，立体几何是否会与其它知识交汇？如：几何概型？有可能．但 是，根据全国卷的命题习惯，交汇可能性不大．但是异面直线所成的角是否可以考（对 2016 年 预测）年年考三视图，是否也太稳定了吧？球体是基本的几何体，是发展空间想象能力的很好 载体，是新课标的热点．（果然 2016 年 11 题考了线线角，虽然没有提到异面直线，但是在发展 空间想象能力和解题思路上与异面直线完全相同） 年份 题目 答案 2017 年 （7）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正 方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为 等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这 些梯形的面积之和为 A．10 B．12 C．14 D．16 B 2 5 5 − 0ω > ( ) sin( )4f x x πω= + ( , )2 π π ω ( )A 1 5[ , ]2 4 ( )B 1 3[ , ]2 4 ( )C 1(0, ]2 ( )D (0,2] θ x 2y x= cos2θ 4 5 − 3 5 − 3 5 4 5 ( ) sin( ) cos( )( 0, )2f x x x πω ϕ ω ϕ ω ϕ= + + + > < π ( ) ( )f x f x− = ( )f x 0, 2 π     ( )f x 3,4 4 π π     ( )f x 0, 2 π     ( )f x 3,4 4 π π     ABC∆ 60 , 3B AC= = 2AB BC+ 2 7 2017 年 （16）如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心 为 O．D、E、F 为圆 O 上的点，△DBC，△ECA，△FAB 分 别是以 BC，CA，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪 开后，分别以 BC，CA，AB 为折痕折起△DBC，△ECA，△ FAB，使得 D、E、F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的 边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大 值为_______． 2016 年 （6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及 每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是 ，则它的表面积是 （A）17π （B）18π （C）20π （D）28π A 2016 年 (11)平面 过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A， //平面 CB1D1， 平面 ABCD=m， 平面 ABA1B1=n，则 m、n 所成角的正弦值为 (A) (B) (C) (D) A 2015 年 （6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的 数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内 角，下周八尺，高五尺．问:积及为米几何?”其 意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为 一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分 之一)，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已 知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有 A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 　 D.66 斛 B 2015 年 （11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为 r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯 视图如图所示，若该几何体的表面积为 16+20π，则 r= (A)　　1 (B) 　2 (C) 　4 (D) 　8 B 2014 年 12.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画 C 4 15 28 3 π α α α α  3 2 2 2 3 3 1 3 出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为 . . .6 .4 2013 年 6、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器， 容器高 8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注 水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm，如果 不计容器的厚度，则球的体积为 ( ) A、 cm3 B、 cm3 C、 cm3 D、 cm3 A 2013 年 8、某几何体的三视图如图所示，则该几何体 的体积为 . . . . A 2012 年 （7）如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗线画出的是某几何体的三视图，则 此几何体的体积为（ ） B 2012 年 （11）已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， 是边长 为 的正三角形， 为球 的直径，且 ；则此棱锥的体积为（ ） A A 6 2 B 4 2 C D 500 3 π 866 3 π 1372 3 π 2048 3 π A 16 8π+ B 8 8π+ C 16 16π+ D 8 16π+ 1 ( )A 6 ( )B 9 ( )C 12 ( )D 18 S ABC− O ABC∆ 1 SC O 2SC = ( )A 2 6 ( )B 3 6 ( )C 2 3 ( )D 2 2 2011 年 （6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图 所示，则相应的侧视图可以为 D 2011 年 （ 15 ） 已 知 矩 形 的 顶 点 都 在 半 径 为 4 的 球 的 球 面 上 ， 且 ,则棱锥 的体积为 . 七、推理证明： 7 年 1 考，实在是个冷点，而且这 1 考也不是常规的数学考法，倒是很像一道公务员考试的 逻辑推理题，但这是个信号，虽然这个信号在 2015 年并没有连续出现．2003 年全国高考曾经出 过一道把直角三角形的勾股定理类比到四面体的小题，这个题已经是教材的一个例题；上海市 是最喜欢考类比推理的，上海市 2000 年的那道经典的等差数列与等比数列性质的类比题也早已 进入教材习题．这类题目不会考察“理论概念”问题，估计是交汇其他题目命题，难度应该不 大．适当出一道“类比推理”的小题是值得期待的． 另外，2017 年在全国 2 卷数学理科出了推理题，也列在下表中． 年份 题目 答案 2017 全 国 2 理科 （7）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你 们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙 的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根 据以上信息，则（ ） A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 D 2014 年 （13）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 、 、 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 城市； 乙说：我没去过 城市； 丙说：我们三人去过同一城市； 由此可判断乙去过的城市为________． A 八、概率： 7 年 6 考，2013 年没考小题，但是在大题中考了．主要考古典概型和相互独立事件的概率．条 件概率、几何概型没有考过．是不是该考了？（当时写 5 年分析时的预测）果然在 2016 年考了 几何概型，而且在全国 II 中考了条件概率. 年份 题目 答案 2017 年 （2）如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图. 正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的 B ABCD O 6, 2 3AB BC= = O ABCD− 8 3 A B C B C 中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A． B． C． D． 2016 年 （4）某公司的班车在 7:30，8:00，8:30 发车，小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站 乘坐 班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是 （A） （B） （C） （D） B 2015 年 （4）投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试.已知某同学 每次投篮投中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通 过测试的概率为 （A）0.648 （B）0.432 （C）0.36 （D）0.312 A 2014 年 (5).4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周 日都有同学参加公益活动的概率 . . . . D 2012 年 （15）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件 1 或元件 2 正常工 作，且元件 3 正常工作，则部件正常工 作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小 时）均服从正态分布 ，且各 个元件能否正常相互独立，那么该部件的 使用寿命超过 1000 小时的概率为 2011 年 （4）有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学 参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 （A） （B） （C） （D） A 九、统计： 7 年 1 考，只在 2013 年考了一个抽样方法小题．这个考点内容实在太多：频率分布表、直 方图、抽样方法、样本平均数、方差、标准差、散点图、线性回归、回归分析、独立性检验、 正态分布（文科不学）等．统计知识理科考的不多，文科较多． 2013 年 3、为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽 取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三 个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大， 在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 A、简单随机抽样 　　 B、按性别分层抽样 C、按学段分层抽样 　 　D、系统抽样 C 十、数列： 全国Ⅰ理数的数列解答题和三角函数解答题每年只考一个，考解答题时一般不再考小题， 不考解答题时，就考两个小题，下表中列出了 2013 年和 2012 年的数列小题，其它三年没有考 1 4 π 8 1 2 π 4 1 3 1 2 2 3 3 4 A 1 8 B 3 8 C 5 8 D 7 8 2(1000,50 )N 3 8 1 3 1 2 2 3 3 4 小题，而是考的大题．交错考法不一定分奇数年或偶数年．难度上看，一般会有一个比较难的 的小题，如 2013 年的 12 题，2012 年 16 题，2017 年 12 题，它们都是压轴题． 年份 题目 答案 2017 年 4．记 为等差数列 的前 项和．若 ， ，则 的公差 为 A．1 B．2 C．4 D．8 C 2017 年 12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学 的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面 数学问题的答案：已知数列 1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…， 其中第一项是 ，接下来的两项是 ，再接下来的三项是 ，依此类 推．求满足如下条件的最小整数 且该数列的前 项和为 2 的整数幂．那么 该款软件的激活码是 A．440 B．330 C．220 D．110 A 2016 年 （3）已知等差数列 前 9 项的和为 27， ，则 （A）100 （B）99 （C）98 （D）97 C 2016 年 （ 15 ） 设 等 比 数 列 满 足 a1+a3=10 ， a2+a4=5 ， 则 a1a2 … an 的 最 大 值 为 ． 64 2013 年 （7）设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn， ＝－2， ＝0， ＝3，则 ＝ A、3 B、4 C、5 D、6 C 2013 年 （ 12 ） 设 △ AnBnCn 的 三 边 长 分 别 为 an,bn,cn ， △ AnBnCn 的 面 积 为 Sn ， n=1,2,3,… 若 b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝ ，cn＋1＝ ，则( ) A、{Sn}为递减数列 　　　　　　 B、B、{Sn}为递增数列 C、{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列 D、{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列 B 2013 年 14、若数列{ }的前 n 项和为 Sn＝ ，则数列{ }的通项公式是 =______. 2012 年 （ 5 ） 已 知 为 等 比 数 列 ， ， ， 则 （ ） D 2012 年 （16）数列 满足 ，则 的前 项和为 1830 nS { }na n 4 5 24a a+ = 6 48S = { }na { }na 5 6 8a a = − 1 10a a+ = 02 0 12 ,2 0 1 22 ,2 ,2 : 100N N > N { }na 10 =8a 100 =a __________ 1mS − mS 1mS + m na 2 1 3 3na + na na 1( 2)n−− 4 7 2a a+ = ( )A 7 ( )B 5 ( )C 5− ( )D 7− { }na 1 ( 1) 2 1n n na a n+ + − = − { }na 60 十一、框图：7 年 7 考,每年 1 题!考含有循环体的较多，都比较简单，一般与数列求和联系较多， 难度不大. 2017 年 （8）右面程序框图是为了求出满足 的最小 偶数 ，那么在 和 两个空白框中，可以分别填 入 A． 和 B． 和 C． 和 D． 和 D 2016 年 C 2015 年 （9）执行右面的程序框图，如果输入的 ， 则输出的 （A）5 （B）6 （C）7 （D）8 C 3 2 1000n n− > n 1000A > 1n n= + 1000A > 2n n= + 1000A ≤ 1n n= + 1000A ≤ 2n n= + 0.01t = n = 2014 年 7.执行下图的程序框图，若输入的 分别为 1,2,3，则输出的 = . . . . D 2013 年 5、运行如下程序框图，如果输入的 ，则输出 s 属于 .[-3,4] .[-5,2] .[-4,3] .[-2,5] A 2012 年 （6）如果执行右边的程序框图，输入正整数 和 实 数 ， 输 出 ， 则 （ ） 为 的和 为 的算术平均数 和 分别是 中最大的数和最 小的数 和 分别是 中最小的数和最 大的数 C 2011 年 （3）执行右面的程序框图，如果输入的 N 是 6，那么输出的 p 是 （A）120 （B）720 （C）1440 B　 ( 2)N N ≥ 1 2, ,..., na a a 1 2, ,..., na a a 2 A B+ 1 2, ,..., na a a 1 2, ,..., na a a 1 2, ,..., na a a , ,a b k M A 20 3 B 16 5 C 7 2 D 15 8 [ 1,3]t ∈ − A B C D ,A B ( )A A B+ ( )B ( )C A B ( )D A B （D）5040 十二、圆锥曲线： 7 年 14 考，每年 2 题！太稳定了！太重要了！！全国卷注重考查基础知识和基本概念，综合 一点的小题侧重考查圆锥曲线与直线位置关系，多数题目比较单一． 年份 题目 答案 2017 年 （10）已知 为抛物线 的焦点，过 作两条互相垂直的直线 ， 直线 与 交于 A、B 两点，直线 与 交于 D、E 两点，则|AB|+|DE|的 最小值为 A．16 B．14 C．12 D．10 A 2017 年 （15）已知双曲线 的右顶点为 A，以 A 为圆心，b 为 半 径 做 圆 A ， 圆 A 与 双 曲 线 C 的 一 条 渐 近 线 交 于 M 、 N 两 点 ． 若 ，则 的离心率为________． 2016 年 （5）已知方程 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离 为 4，则 n 的取值范围是 （A）(–1,3) （B）(–1, 3) （C）(0,3) （D）(0, 3) A 2016 年 (10)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A、B 两点，交 C 的准线于 D、E 两点. 已知 ， ，则 C 的焦点到准线的距离为 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 B B 2015 年 （5）已知 是双曲线 C： 上的一点，F1、F2 是 C 上的两个焦点，若 ，则 y0 的取值范围是 （ A ） （ B ） （ C ） （ D ） A 2015 年 （14）一个圆经过椭圆 的三个顶点，且圆心在 轴上，则 该圆的标准方程为 F 2: 4C y x= F 1 2,l l 1l C 2l C 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > 60MAN∠ =  C 2 3 3 2 2 2 2 13 x y m n m n − =+ − | | 4 2AB = | | 2 5DE = 0 0( , )M x y 2 2 12 x y− = 1 2 0MF MF <   3 3( )3 3 − ， 3 3( , )6 6 − 2 2 2 2( , )3 3 − 2 3 2 3( , )3 3 − − 2 2 116 4 x y+ = x 23( )2x − 2 25 4y+ = 2014 年 4.已知 是双曲线 ： 的一个焦点，则点 到 的一条渐近线的距离为 . .3 . . A 2014 年 10.已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ， 是 上一点， 是直线 与 的一个交点，若 ，则 = . . .3 .2 C 2013 年 4、已知双曲线 ： （ ）的离心率为 ，则 的渐近线方程为 . . . . C 2013 年 10、已知椭圆 的右焦点为 F(3,0)，过点 F 的直 线交椭圆于 A、B 两点．若 AB 的中点坐标为(1，－1)，则 E 的方 程为 A、 B、 C、 D、 D 2012 年 （4）设 是椭圆 的左、右焦点， 为直线 上一点， 是底角为 的等腰三角形，则 的离心率 为 C 2012 年 （8）等轴双曲线 的中心在原点，焦点在 轴上， 与抛物线 的准线交于 两点， ；则 的实轴长为（ ） C 2011 年 （7）设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直，l 与 C 交于 A,B 两点， 为 C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为 （A） （B） （C）2 （D）3 B 1 2F F 3 2 ax = 2 1F PF 30 F C 2 2 3 ( 0)x my m m− = > F C A 3 B C 3m D 3m C 2 8y x= F l P l Q PF C 4FP FQ=  | |QF A 7 2 B 5 2 C D C 2 2 2 2 1x y a b − = 0, 0a b> > 5 2 C A 1 4y x= ± B 1 3y x= ± C 1 2y x= ± D y x= ± 2 2 2 2: 1( 0)x yE a ba b + = > > 2 2 145 36 x y+ = 2 2 136 27 x y+ = 2 2 127 18 x y+ = 2 2 118 9 x y+ = 2 2 2 2: 1( 0)x yE a ba b + = > > P ∆ E ( )A 1 2 ( )B 2 3 ( )C 3 4 ( )D 4 5 C x C 2 16y x= ,A B 4 3AB = C ( )A 2 ( )B 2 2 ( )C 4 ( )D 8 AB 2 3 2011 年 （14）在平面直角坐标系 中，椭圆 的中心为原点，焦点 在 轴上，离心率为 ．过 的直线 交于 两点，且 的 周长为 16，那么 的方程为 ． 十三、函数： 7 年 15 考，可见其重要性！主要考查：定义域、最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性、 平移、导数、切线、定积分、零点等，分段函数是重要载体！绝对值函数也是重要载体！函数 已经不是值得学生“恐惧”的了吧？ 年份 题目 答案 2017 年 5 ． 函 数 在 单 调 递 减 ， 且 为 奇 函 数 ． 若 ， 则 满 足 的 的取值范围是 A． B． C． D． D 2017 年 11．设 为正数，且 ，则 A． B． C． D． D 2016 年 D 2016 年 （8）若 ， ，则 （A） （B） （C） （D） C 2015 年 12.设函数 ，其中 ，若存在唯一的整数 ，使得 ，则 的取值范围是 （A） 　　　（B） （C） 　　　（D） D ( )f x ( , )−∞ +∞ ( 11)f = − 21 ( ) 1xf −− ≤ ≤ x [ 2,2]− [ 1,1]− [0,4] [1,3] xOy C 1 2,F F x AC l ,A B 2ABF C 2 16 x + 2 18 y = x y z， ， 2 3 5x y z= = 2 3 5x y z< < 5 2 3z x y< < 3 5 2y z x< < 3 2 5y x z< < 1a b> > 0 1c< < c ca b< c cab ba< log logb aa c b c< log loga bc c< ( ) (2 1)xf x e x ax a= − − + 1a < 0x 0( ) 0f x < a 3[ ,1)2e − 3 3[ , )2 4e − 3 3[ , )2 4e 3[ ,1)2e 2015 年 （13）若函数 为偶函数，则 . 1 2014 年 3.设函数 ， 的定义域都为 R，且 是奇函数， 是偶函数， 则下列结论正确的是 . 是偶函数 .| | 是奇函数 . | |是奇函数 .| |是奇函数 C 2014 年 11.已知函数 = ，若 存在唯一的零点 ，且 ＞0，则 的取值范围为 .（2，+∞） .（-∞，-2） .（1，+∞） .（-∞，-1） B 2013 年 11、已知函数 = ，若| |≥ ，则 的取值范围是 . . .[-2,1] .[-2,0] D 2013 年 16、若函数 = 的图象关于直线 =－2对称，则 的 最大值是______. 16 2012 年 （10） 已知函数 ；则 的图象大致为 B 2012 年 （12）设点 在曲线 上，点 在曲线 上，则 最小值为 B 2011 年 （2）下列函数中，既是偶函数又在 单调递增的函数是 B+∞（0， ） 2( ) ln( )f x x x a x= + + ________a = ( )f x ( )g x ( )f x ( )g x A ( )f x ( )g x B ( )f x ( )g x C ( )f x ( )g x D ( )f x ( )g x ( )f x 3 23 1ax x− + ( )f x 0x 0x a A B C D ( )f x 2 2 , 0 ln( 1), 0 x x x x x − + ≤  + > ( )f x ax a A ( ,0]−∞ B ( ,1]−∞ C D ( )f x 2 2(1 )( )x x ax b− + + x ( )f x 1( ) ln( 1)f x x x = + − ( )y f x= P 1 2 xy e= Q ln(2 )y x= PQ ( )A 1 ln 2− ( )B 2(1 ln 2)− ( )C 1 ln 2+ ( )D 2(1 ln 2)+ （A） (B) （C） (D) 2011 年 （9）由曲线 ，直线 及 轴所围成的图形的面积为 （A） （B）4 （C） （D）6 C 2011 年 (12)函数 的图像与函数 的图像所有交点的横 坐标之和等于 （A）2 (B) 4 (C) 6 (D)8 B 十四、排列组合二项式定理： 7 年 7 考，二项式定理出现较多，这一点很合理，因为排列组合可以在概率统计和分布列中 考查．排列组合考题的难度不大，无需投入过多时间（无底洞），而且排列组合难题无数，只要 处理好分配问题及掌握好分类讨论思想即可！二项式定理“通项问题”出现较多. 年份 题目 答案 2017 年 （6） 展开式中 的系数为 A．15 B．20 C．30 D．35 C 2016 年 (14) 的展开式中，x3 的系数是 .（用数字填写答案） 10 2015 年 （10）（ 的展开式中， 的系数为 （A）10 （B）20 （C）30 （D）60 C 2014 年 13. 的展开式中 的系数为 .(用数字填写答案) -20 2013 年 9.设 m 为正整数， 展开式的二项式系数的最大值为 ， 展开式的二项式系数的最大值为 ，若 13 =7 ，则 A、5 B、6 C、7 D、8 B 2012 年 （2）将名教师，名学生分成个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会 实践活动，每个小组由名教师和名学生组成，不同的安排方 案共有 A 3y x= 1y x= + 2 1y x= − + 2 xy −= y x= 2y x= − y 10 3 16 3 6 2 1(1 )(1 )xx + + 2x 1 1y x = − 2sin ( 2 4)y x xπ= − ≤ ≤ 5(2 )x x+ __________ 2 5( )x x y+ + 5 2x y 8( )( )x y x y− + 2 2x y 2( ) mx y+ a 2 1( ) mx y ++ b a b m 种 种 种 种 2011 年 （8） 的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常 数项为 （A）-40 （B）-20 （C）20 （D）40 D 十五、三角函数大题和数列大题： 在全国Ⅰ卷中每年只考一个，不考的那一个一般用两道或三道小题代替．三角函数大题侧 重于考解三角形，重点考查正、余弦定理，小题中侧重于考查三角函数的图象和性质．数列一 般考求通项、求和．数列应用题已经多年不考了，总体来说数列的地位已经降低，题目难度 小． 年份 题目及答案 2017 年 （17）（本题满分为 12 分） △ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知△ABC 的面积为 （1）求 sinBsinC; （2）若 6cosBcosC=1，a=3，求△ABC 的周长. 解：（1）由题意可得 ， 化简可得 ， 根据正弦定理化简可得： ． （2）由 ， 又 ，所以 由余弦定理 得 2 3sin a A 21 sin2 3sinABC aS bc A A∆ = = 2 22 3 sina bc A= 2 2 22sin 3sin sinCsin sin sinC 3A B A B= ⇒ = ( ) 2sin sinC 1 23 cos cos sin sinC cos cos1 2 3cos cos 6 B A A B B B C A B C π  = ⇒ = − + = − = ⇒ =  = ( )A 12 ( )B 10 ( )C 9 ( )D 8 512ax xx x   + −     21 bcsin2 3sin aA A = 8bc = 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 2 2( ) 3 9b c bc b c bc+ − = + − = 所以 故而三角形的周长为 2016 年 （17）（本题满分为 12 分） 的内角 A，B，C 的对边分别别为 a，b，c，已知 （I）求 ； （II）若 的面积为 ，求 的周长． 解：(I)由正弦定理得： ，…………1 分 ，…………2 分 ∵ ， ， ∴ ，…………3 分 ∴ ， ，…………4 分 ∵ ，…………5 分 ∴ .…………6 分 （II）由余弦定理得： ， ， ，…………8 分 又 ， ∴ ，…………10 分 ∴ ， ， ∴ 周长为 .…………12 分 2015 年 （17）（本小题满分 12 分） 为数列 的前 项和.已知 ， （Ⅰ）求 的通项公式； 33b c+ = 3 33+ ABC∆ 2cos ( cos cos ) .C a B+b A c= C 7,c ABC= ∆ 3 3 2 ABC∆ ( )2cos sin cos sin cos sinC A B B A C⋅ + ⋅ = ( )2cos sin sinC A B C⋅ + = πA B C+ + = ( )0 πA B C ∈、 、 ， ( )sin sin 0A B C+ = > 2cos 1C = 1cos 2C = ( )0 πC ∈ ， π 3C = 2 2 2 2 cosc a b ab C= + − ⋅ 2 2 17 2 2a b ab= + − ⋅ ( )2 3 7a b ab+ − = 1 3 3 3sin2 4 2S ab C ab= ⋅ = = 6ab = ( )2 18 7a b+ − = 5a b+ = ABC△ 5 7a b c+ + = + nS { }na n 0na > 2 2 4 3n n na a S+ = + { }na （Ⅱ）设 ,求数列 的前 项和． 2014 年 17.(本小题满分 12 分)已知数列{ }的前 项和为 ， =1， ， ，其中 为常数. (Ⅰ)证明： ； （Ⅱ）是否存在 ，使得{ }为等差数列？并说明理由. 解：(Ⅰ)由题设 ， ，两式相减 ，由于 ，所以 ……6 分 （Ⅱ）由题设 =1， ，可得 ，由(Ⅰ)知 假设{ }为等差数列，则 成等差数列，∴ ，解得 ； 证明 时，{ }为等差数列：由 知 数列奇数项构成的数列 是首项为 1，公差为 4 的等差数列 令 则 ，∴ 1 1 n n n b a a + = { }nb n na n nS 1a 0na ≠ 1 1n n na a Sλ+ = − λ 2n na a λ+ − = λ na 1 1n n na a Sλ+ = − 1 2 1 1n n na a Sλ+ + += − ( )1 2 1n n n na a a aλ+ + +− = 0na ≠ 2n na a λ+ − = 1a 1 2 1 1a a Sλ= − 2 1 1a λ= − 3 1a λ= + na 1 2 3, ,a a a 1 3 22a a a+ = 4λ = 4λ = na 2 4n na a+ − = { }2 1ma − 2 1 4 3ma m− = − 2 1,n m= − 1 2 nm += 2 1na n= − ( 2 1)n m= − 数列偶数项构成的数列 是首项为 3，公差为 4 的等差数列 令 则 ，∴ ∴ （ ）， 因此，存在存在 ，使得{ }为等差数列. ………12 分 2013 年 17、（本小题满分12分） 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°， AB= 3，BC=1，P为△ABC内一点， ∠BPC＝90° (1)若 PB= 1 2，求 PA； (2)若∠APB＝150°，求 tan∠PBA 解：（Ⅰ）由已知得，∠PBC= ，∴∠PBA=30o，在△PBA 中，由余弦定理 得 = = ，∴PA= ； （Ⅱ）设∠PBA= ，由已知得，PB= ，在△PBA 中，由正弦定理得， ，化简得， ， ∴ = ，∴ = . 2012 年 （17）（本小题满分 12 分） 已 知 分 别 为 三 个 内 角 的 对 边 ， （1）求 （2）若 ， 的面积为 ；求 ． 解：（1）由正弦定理得： { }2ma 2 4 1ma m= − 2 ,n m= 2 nm = 2 1na n= − ( 2 )n m= 2 1na n= − *n N∈ 1 2n na a+ − = 4λ = na o60 2PA o1 13 2 3 cos304 2 + − × × 7 4 7 2 α sinα o o 3 sin sin150 sin(30 ) α α= − 3 cos 4sinα α= tanα 3 4 tan PBA∠ 3 4 , ,a b c ABC∆ , ,A B C cos 3 sin 0a C a C b c+ − − = A 2a = ABC∆ 3 ,b c cos 3 sin 0 sin cos 3sin sin sin sin a C a C b c A C A C B C + − − = ⇔ − = + （2） 解得： 2011 年 （17）（本小题满分 12 分） 等比数列 的各项均为正数，且 求数列 的通项公式. 设 求数列 的前项和. 解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为 q，由 得 所以 ．有条 件可知 a>0,故 ． 由 得 ， 所 以 ． 故 数 列 {an} 的 通 项 式 为 an= ． （Ⅱ ） 故 所以数列 的前 n 项和为 . 十六、立体几何大题： 7 年 7 考，每年 1 题．第 1 问多为证明垂直问题，第 2 问多为求三种角的某种三角函数值.特 点：证明与计算中一般要用到初中平面几何的重要定理． sin cos 3sin sin sin( ) sin 13sin cos 1 sin( 30 ) 2 30 30 60 A C A C A C C A A A A A ° ° ° ° ⇔ + = + + ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = 1 sin 3 42S bc A bc= = ⇔ = 2 2 2 2 cos 4a b c bc A b c= + − ⇔ + = 2b c= = { }na 2 1 2 3 2 62 3 1, 9 .a a a a a+ = = { }na 3 1 3 2 3log log ...... log ,n nb a a a= + + + 1 nb       2 3 2 69a a a= 3 2 3 49a a= 2 1 9q = 1 3q = 1 22 3 1a a+ = 1 22 3 1a a q+ = 1 1 3a = 1 3n 1 1 1 1 1 1 ( 1)log log ... log (1 2 ... ) 2n n nb a a a n += + + + = − + + + = − 1 2 1 12( )( 1) 1nb n n n n = − = − −+ + 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2... 2((1 ) ( ) ... ( ))2 2 3 1 1n n b b b n n n + + + = − − + − + + − = −+ + 1{ } nb 2 1 n n − + 年份 题目及答案 2017 年 18.（12 分） 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB//CD，且 . （1）证明：平面 PAB⊥平面 PAD； （2）若 PA=PD=AB=DC， ，求二面角 A-PB-C 的余弦值. （1）证明： , 又 ,PA、PD 都在平面 PAD 内， 故而可得 ． 又 AB 在平面 PAB 内，故而平面 PAB⊥平面 PAD． （2）解： 不妨设 ， 以 AD 中点 O 为原点，OA 为 x 轴，OP 为 z 轴建立平面直角坐标系． 故而可得各点坐标： ， 因此可得 ， 假设平面 的法向量 ，平面 的法向量 ， 故而可得 ，即 ， 同理可得 ，即 ． 因此法向量的夹角余弦值： ． 90BAP CDP∠ = ∠ =  90APD∠ =  / / ,AB CD CD PD AB PD⊥ ∴ ⊥ ,AB PA PA PD P∴ ⊥ ∩ = AB PAD⊥ 2PA PD AB CD a= = = = ( ) ( ) ( ) ( )0,0, 2 , 2 ,0,0 , 2 ,2 ,0 , 2 ,2 ,0P a A a B a a C a a− ( ) ( ) ( )2 ,0, 2 , 2 ,2 , 2 , 2 ,2 , 2PA a a PB a a a PC a a a= − = − = − −   PAB ( )1 , ,1n x y= PBC ( )2 , ,1n m n= 1 1 2 2 0 1 2 2 2 0 0 n PA ax a x n PB ax ay a y  ⋅ = − = ⇒ = ⋅ = − − = ⇒ =     ( )1 1,0,1n = 2 2 2 2 2 0 0 22 2 2 0 2 n PC am an a m n PB am an a n  ⋅ = − + − = ⇒ = ⋅ = + − = ⇒ =     2 20, ,12n  =      1 2 1 3cos , 332 2 n n< >= = ⋅   所以所求二面角的余弦值为 ． 2016 年 （18）（本题满分为 12 分） 如图，在已 A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中， 面 ABEF 为正方形， AF=2FD， ， 且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是 ． （I）证明平面 ABEF 平面 EFDC； （II）求二面角 E-BC-A 的余弦值. (I)证明:∵ 为正方形， ∴ .…………1 分 ∵ ， ∴ .…………2 分 又∵ ， ∴ 面 .…………3 分 又 面 ， ∴平面 平面 .…………4 分 （II） 由⑴知 …………5 分 ∵ 平面 平面 ∴ 平面 3 3 − 90AFD∠ =  60 ⊥ ABEF AF EF⊥ 90AFD∠ = ° AF DF⊥ =DF EF F AF ⊥ EFDC AF ⊂ ABEF ABEF ⊥ EFDC 60DFE CEF∠ = ∠ = ° AB EF∥ AB ⊄ EFDC EF ⊂ EFDC AB∥ ABCD F E D C B A 平面 ∵面 面 ∴ ∴ ∴四边形 为等腰梯形…………6 分 以 为原点，如图建立坐标系，设 …………7 分 ， ， …………8 分 设面 法向量为 . ，即 …………9 分 设面 法向量为 .即 …………10 分 设二面角 的大小为 . …………11 分 二面角 的余弦值为 …………12 分 2015 年 （ 18 ） 如 图 ，，四 边 形 ABCD 为 菱 形 ， ∠ ABC=120 °，E ，F 是平面 ABCD 同一侧的两 点，BE⊥平面 ABCD，DF⊥平面 ABCD，BE=2DF， AE⊥EC． AB ⊂ ABCD ABCD  EFDC CD= AB CD∥ CD EF∥ EFDC E FD a= ( ) ( )0 0 0 0 2 0E B a， ， ， ， ( )30 2 2 02 2 aC a A a a       ， ， ， ， ( )0 2 0EB a= ， ， 322 2 aBC a a  = −     ， ， ( )2 0 0AB a= − ， ， BEC ( )m x y z= ， ， 0 0 m EB m BC  ⋅ = ⋅ =     1 1 1 1 2 0 32 02 2 a y a x ay a z ⋅ = ⋅ − + ⋅ = 1 1 13 0 1x y z= = = −， ， ( )3 0 1m = − ， ， ABC ( )2 2 2n x y z= ， ， =0 0 n BC n AB  ⋅ ⋅ =     2 2 2 2 32 02 2 2 0 a x ay az ax  − + =  = 2 2 20 3 4x y z= = =， ， ( )0 3 4n = ， ， E BC A− − θ 4 2 19cos 193 1 3 16 m n m n θ ⋅ −= = = − + ⋅ +⋅     ∴ E BC A− − 2 19 19 − （1）证明：平面 AEC⊥平面 AFC； （2）求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值． 2014 年 19. (本小题满分 12 分)如图三棱柱 中，侧面 为菱形， . (Ⅰ) 证明： ； （Ⅱ）若 ， ，AB=BC 求二面角 的余弦值. 解：(Ⅰ)连结 ，交 于 O，连结 AO．因 为侧面 为菱形，所以 ，且 O 为 与 的中点．又 ，所以 1 1 1ABC A B C− 1 1BB C C 1AB B C⊥ 1AC AB= 1AC AB⊥ o 1 60CBB∠ = 1 1 1A A B C− − 1BC 1B C 1 1BB C C 1B C 1BC⊥ 1B C 1BC 1AB B C⊥ 1B C ⊥ 平面 ，故 又 ，故 ………6 分 （Ⅱ）因为 且 O 为 的中点，所以 AO=CO 又因为 AB=BC，所以 ，故 OA⊥OB，从而 OA，OB， 两两互相垂直． 以 O 为坐标原 点，OB 的方向为 x 轴正方向，OB 为单位长，建立如图所示空间直角坐标系 O- ． 因为 ，所以 为等边三角形．又 AB=BC，则 ， ， ， ， 设 是平面的法向量，则 ，即 ， 所以可取 设 是平面的法向量，则 ，同理可取 ，则 ，所以二面角 的余弦值为 . 2013 年 18、（本小题满分 12 分） 如图，三棱柱 ABC-A1B1C1 中，CA=CB，AB=A A1，∠BA A1=60°. （Ⅰ）证明 AB⊥A1C; （Ⅱ）若平面 ABC⊥平面 AA1B1B，AB=CB=2，求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的 正弦值． 解:（Ⅰ）取AB中点E，连结CE， ， ， ∵AB= ， = ，∴ 是正三角形， ∴ ⊥AB， ∵CA=CB， ∴CE⊥AB， ∵ =E，∴AB⊥面 ， ∴AB⊥ ； ……6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 EC⊥AB， ⊥AB， ABO 1B C AO⊥ 1B O CO= 1AC AB= 1AC AB⊥ 1B C BOA BOC∆ ≅ ∆ 1OB xyz 0 1 60CBB∠ = 1CBB∆ 30,0, 3A       ( )1,0,0B 1 30, ,03B       30, ,03C  −    1 3 30, ,3 3AB  = −     1 1 31,0, ,3A B AB  = = −      1 1 31, ,03B C BC  = = − −      ( ), ,n x y z= 1 1 1 0 0 n AB n A B  = =       3 3 03 3 3 03 y z x z  − =  − = ( )1, 3, 3n = m 1 1 1 1 0 0 m A B n B C  = =       ( )1, 3, 3m = − 1cos , 7 n mn m n m = =       1 1 1A A B C− − 1 7 1A B 1A E 1AA 1BAA∠ 060 1BAA∆ 1A E 1CE A E∩ 1CEA 1AC 1EA 又∵面 ABC⊥面 ，面 ABC∩面 =AB ，∴ EC ⊥ 面 ，∴ EC ⊥ ，∴EA，EC， 两两相互垂直，以 E 为坐标原点， 的方向为 轴正方向，| |为单位长度，建立如图所示空间直 角坐标系 ， 有 题 设 知 A(1,0,0), (0, ,0),C(0,0, ),B( － 1,0,0), 则 = （ 1,0 ， ）, = =(－1,0, ), =(0,－ , ), ……9 分 设 = 是平面 的法向量， 则 ，即 ，可取 =（ ，1，-1）， ∴ = ， ∴直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为 . ……12 分 2012 年 （19）（本小题满分 12 分） 如 图 ， 直 三 棱 柱 中 ， ， 是棱 的中点， （1）证明： （2）求二面角 的大小． 解 : （ 1 ） 在 中 ， 得 ： 同理： 得： 面 （2） 面 1 1ABB A 1 1ABB A 1 1ABB A 1EA 1EA EA x EA O xyz− 1A 3 3 BC 3 1BB 1AA 3 1AC 3 3 n ( , , )x y z 1 1CBB C 1 0 0 BC BB  • = • =   n n 3 0 3 0 x z x y  + = + = n 3 1cos , ACn 1 1 | AC AC •   n | n || 10 5 10 5 1 1 1ABC A B C− 1 1 2AC BC AA= = D 1AA BDDC ⊥1 BCDC ⊥1 11 CBDA −− Rt DAC∆ AD AC= 45ADC °∠ = 1 1 145 90A DC CDC° °∠ = ⇒ ∠ = 1 1 1,DC DC DC BD DC⊥ ⊥ ⇒ ⊥ 1BCD DC BC⇒ ⊥ 1 1,DC BC CC BC BC⊥ ⊥ ⇒ ⊥ 1 1ACC A BC AC⇒ ⊥ 取 的中点 ，过点 作 于点 ，连接 ，面 面 面 得：点 与点 重合 且 是二面角 的平面角 设 ，则 ， 既二面角 的大小为 . 2011 年 (18)(本小题满分 12 分) 如图，四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边 形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面 ABCD. (Ⅰ)证明：PA⊥BD； (Ⅱ)若 PD=AD，求二面角 A-PB-C 的余弦值． 解：（Ⅰ）因为 , 由余弦定理得 从而 BD2+AD2= AB2，故 BD AD 又 PD 底面 ABCD，可得 BD PD 所以 BD 平面 PAD. 故 PA BD （Ⅱ）如图，以 D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线 DA 为 轴的正半轴建 立空间直角坐标系 D- ，则 , , , ． 设平面 PAB 的法向量为 n=（x,y,z），则 由 得 ,因此 可取 设平面 PBC 的法向量为 ， 1 1A B O O OH BD⊥ H 1 1,C O C H 1 1 1 1 1 1 1AC B C C O A B= ⇒ ⊥ 1 1 1A B C ⊥ 1A BD 1C O⇒ ⊥ 1A BD 1OH BD C H BD⊥ ⇒ ⊥ H D 1C DO∠ 11 CBDA −− AC a= 1 2 2 aC O = 1 1 12 2 30C D a C O C DO °= = ⇒ ∠ = 11 CBDA −− 30° 60 , 2DAB AB AD∠ = ° = 3BD AD= ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ x xyz ( )1,0,0A ( )0 3,0B ， ( )1, 3,0C − ( )0,0,1P ( 1, 3,0), (0, 3, 1), ( 1,0,0)AB PB BC= − = − = −   0 0 n AB n PB  = =       3 0 3 0 x y y z − + = − = ( 3,1, 3)n = m 同理得 （0，-1， ） ,所以 故二面角 A-PB-C 的余弦值为 . 十七、概率统计大题： 7 年 7 考，每年 1 题．第 1 问多为统计问题，第 2 问多为分布列、期望计算问题；特点：实 际生活背景在加强．冷点：回归分析，独立性检验．但 2015 年课标全国Ⅰ已经非常灵活地考了 回归分析，独立性检验在 2010 年课标卷考过，估计近年不会再考回归分析，可能会在求分布列 上设计应用情景．有人说，理科的概率分布列应该属于创新行列．我不这么认为，概率与分布 列不是追求创新，而是追求与实际的完美结合．概率不是新颖，而是力求联系实际，与实际问 题相吻合．但苦于找不到合适的案例，所以有时会事与愿违，但命题人员的初衷却是如此，概 率的初衷不是创新，而是应用，目标是贴近生活、背景公平、控制难度． 年份 题目及答案 2017 年 （19）（本小题满分 12 分） 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件， 并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的 尺寸服从正态分布 ． （1）假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 之 外的零件数，求 及 的数学期望； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 之外的零件，就认为这条生 产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得 ， ，其 中 为抽取的第 个零件的尺寸， ． 用样本平均数 作为 的估计值 ，用样本标准差 作为 的估计值 ，利用估计值判断 是否需对当天的生产过程进行检查？剔除 之外的数据，用剩下的数据估计 和 （精确到 0.01）． 附：若随机变量 服从正态分布 ，则 ， 2( , )N µ σ ( 3 , 3 )µ σ µ σ− + ( 1)P X ≥ X ( 3 , 3 )µ σ µ σ− + 16 1 1 9.9716 i i x x = = =∑ 16 16 2 2 2 2 1 1 1 1( ) ( 16 ) 0.21216 16i i i i s x x x x = = = − = − ≈∑ ∑ ix i 1,2, ,16i = ⋅⋅⋅ x µ ˆµ s σ ˆσ ˆ ˆ ˆ ˆ( 3 , 3 )µ σ µ σ− + µ σ Z 2( , )N µ σ ( 3 3 ) 0.997 4P Zµ σ µ σ− < < + = m = 3− 4 2 7cos , 72 7 m n −= = −  2 7 7 − ， ． 解：（1）由题可知尺寸落在 之内的概率为 ，落在 之外 的概率为 ． ， ． 由题可知 ， ． （2）（i）尺寸落在 之外的概率为 ，由正态分布知尺寸落在 之外为小概率事件，因此上述监控生产过程的方法合理． （ii） ， 需对当天的生产过程检查． 因此剔除 ． 剔除数据之后 的估计值为： 剩下样本数据的方差为 所以 的估计值为为 2016 年 （19）（本小题满分 12 分） 某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时， 可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年 使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图： 160.997 4 0.959 2= 0.008 0.09≈ ( )3 3µ σ µ σ− +， 0.9974 ( )3 3µ σ µ σ− +， 0.0026 ( ) ( )00 16 160 C 1 0.9974 0.9974 0.9592P X = = − ≈ ( ) ( )1 1 0 1 0.9592 0.0408P X P X≥ = − = ≈ − = ( )~ 16 0.0026X B ， ( ) 16 0.0026 0.0416E X∴ = × = ( )3 3µ σ µ σ− +， 0.0026 ( )3 3µ σ µ σ− +， 3 9.97 3 0.212 9.334µ σ− = − × = 3 9.97 3 0.212 10.606µ σ+ = + × = ( ) ( )3 3 9.334 10.606µ σ µ σ− + =， ， ( )9.22 9.334 10.606∉ ， ∴ 9.22 µ 9.97 16 9.22 10.0215 × − ≈ i 16 2 2 2 i=1 =16 0.212 +16 9.97 1591.134x × × ≈∑ 2 21 1591.134-9.22 -15 10.02 0.00815 × ≈（ ） σ 0.008 0.09≈ 以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记 表 示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数， 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数. （I）求 的分布列； （II）若要求 ，确定 的最小值； （III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 与 之中选其一，应选用 哪个？ 19．(I)由题意每台机器更换的易损零件数为 8，9，10，11 的概率分别为 ， ， ， .…………1 分 两台机器甲乙需要同时购买的易损零件个数 的情况可由下面的表格得到 8 9 10 11 8 16 17 18 19 9 17 18 19 20 10 18 19 20 21 11 19 20 21 22 所以 …………2 分 且结合表格容易得 …………7 分 所以 的分布列为 16 17 18 19 20 21 22 …………8 分 （II）由分布列知 ， ， 所以 的最小值为 19.…………10 分 （III） 购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备 件不足时额外购买的费用 当 时，费用的期望为 当 时，费用的期望为 所以应选用 …………12 分 X n X ( ) 0.5P X n≤ ≥ n 19n = 20n = 0.2 0.4 0.2 0.2 X X 16,17,18,19,20,21,22X = ( )16 0.2 0.2 0.04P X = = × = ( )17 0.2 0.4 0.4 0.2 0.16P X = = × + × = ( )18 0.2 0.2 0.2 0.2 0.4 0.4 0.24P X = = × + × + × = ( )19 0.2 0.2 0.2 0.2 0.4 0.2P X = = × + × + × 0.2 0.4 0.24+ × = ( )20 0.4 0.2 0.2 0.4 0.2 0.2 0.2P X = = × + × + × = ( )21 0.2 0.2 0.2 0.2 0.08P x = = × + × = ( )22 0.2 0.2 0.04P x = = × = X X P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 ( 18) 0.04 0.16 0.24 0.44 0.5P X ≤ = + + = < ( 19) 0.04 0.16 0.24 0.24 0.5P X ≤ = + + + ≥ n 19n = 19 200 500 0.2 1000 0.08 1500 0.04 4040× + × + × + × = 20n = 20 200 500 0.08 1000 0.04 4080× + × + × = 19n = 2015 年 （19）（本小题满分 12 分） 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 （单位：千元） 对年销售量 y（单位：t）和年利润 z（单位：千元）的影响，对近 8 年的年宣传费 和年销售量 （i=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些 统计量的值． 46. 6 56 3 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中 ， . （Ⅰ）根据散点图判断， 与 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年 宣传费 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 的回归方程； （Ⅲ）已知这种产品的年利率 与 的关系为 ．根据（Ⅱ）的结果回答 下列问题： （i） 年宣传费 时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii） 年宣传费 为何值时，年利率的预报值最大？ 附：对于一组数据 ， ，…， ,其回归线 的斜率和截 距的最小二乘估计分别为： x 1x 1y x y ω 8 2 1 ( )i i x x = −∑ 8 2 1 ( )i i ω ω = −∑ 8 1 ( )( )i i i x x y y = − −∑ 8 1 ( )( )i i i y yω ω = − −∑ i ixω = 8 1 1 8 i i ω ω = = ∑ y a bx= + y c d x= + x x z ,x y 0.2z y x= − 49x = x 1 1( , )u v 2 2( , )u v ( , )n nu v v uα β= + 2014 年 18. (本小题满分 12 分)从某企业的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的一项质量 指标值，由测量结果得如下频率分布直方图： (Ⅰ)求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差 （同一组数据用该区 间的中点值作代表）； （Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值 服从正态分布 ， 其中 近似为样本平均数 ， 近似为样本方差 . x 2s Z 2( , )N µ δ µ x 2δ 2s (i)利用该正态分布，求 ； （ii）某用户从该企业购买了 100 件这种产品，记 表示这 100 件产品中质量指标值 为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求 . 附： ≈12.2. 若 ～ ，则 =0.6826， =0.9544. 解：(Ⅰ) 抽取产品质量指标值的样本平均数 和样本方差 分别为 …………6 分 （Ⅱ）（ⅰ）由(Ⅰ)知 ～ ，从而 ………………9 分 （ⅱ）由（ⅰ）知，一件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的概率为 0.6826 依题意知 ，所以 ………12 分 2013 年 19、（本小题满分 12 分） 一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取 4 件作检验， 这 4 件产品中优质品的件数记为 n．如果 n=3，再从这批产品中任取 4 件作检验， 若都为优质品，则这批产品通过检验；如果 n=4，再从这批产品中任取 1 件作检 验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检 验． 假设这批产品的优质品率为 50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件 产品是否为优质品相互独立 （1）求这批产品通过检验的概率； （2）已知每件产品检验费用为 100 元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批 产品作质量检验所需的费用记为 X（单位：元），求 X 的分布列及数学期望． 解：(1)设第一次取出的 4 件产品中恰有 3 件优质品为事件A1，第一次取出的 4 件产 品全是优质品为事件 A2，第二次取出的 4 件产品都是优质品为事件 B1，第二次取出 的 1 件产品是优质品为事件 B2，这批产品通过检验为事件 A，依题意有 A＝(A1B1)∪ (A2B2)，且 A1B1 与 A2B2 互斥，所以 P(A)＝P(A1B1)＋P(A2B2) (187.8 212.2)P Z< < X EX 150 Z 2( , )N µ δ ( )P Zµ δ µ δ− < < + ( 2 2 )P Zµ δ µ δ− < < + x 2s 170 0.02 180 0.09 190 0.22 200 0.33 210 0.24 220 0.08 230 0.02 200 x = × + × + × + × + × + × + × = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 22 2 2 2 30 0.02 20 0.09 10 0.22 0 0.33 10 0.24 20 0.08 30 0.02 s = − × + − × + − × + × + × + × + × 150= Z (200,150)N (187.8 212.2)P Z< < = (200 12.2 200 12.2) 0.6826P Z− < < + = (100,0.6826)X B 100 0.6826 68.26EX = × = ＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B2|A2) ＝ . (2)X 可能的取值为 400,500,800，并且 P(X＝400)＝ ，P(X＝500)＝ ，P(X＝800)＝ . 所以 X 的分布列为 X 400 500 800 P EX＝ ＝506.25. 2012 年 18.（本小题满分 12 分） 某花店每天以每枝 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 元的价 格出售， 如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理． （1）若花店一天购进 枝玫瑰花，求当天的利润 (单位：元)关于当天需求量 （单位：枝， ）的函数解析式． （2）花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表： 以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率． （i）若花店一天购进 枝玫瑰花， 表示当天的利润（单位：元），求 的分 布列、数学期望及方差； （ii）若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花，你认为应购进 16 枝还是 17 枝？请说明理由． 解：（1）当 时， ， 当 时， ， 得： （2）（i） 可取 ， ， 的分布列为 4 1 1 1 3 16 16 16 2 64 × + × = 4 1 111 16 16 16 − − = 1 16 1 4 11 16 1 16 1 4 11 1 1400 +500 +80016 16 4 × × × 5 10 16 y n n N∈ 16 X X 16n ≥ 16 (10 5) 80y = × − = 15n ≤ 5 5(16 ) 10 80y n n n= − − = − 10 80( 15)( )80 ( 16) n ny n Nn − ≤= ∈ ≥ X 60 70 80 ( 60) 0.1, ( 70) 0.2, ( 80) 0.7P X P X P X= = = = = = X X 60 70 80 （ii）购进 17 枝时，当天的利润为 得：应购进 17 枝. 2011 年 （19）（本小题满分 12 分） 某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指 标值大于或等于 102 的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为 A 配方和 B 配方） 做试验，各生产了 100 件这种产品，并测试了每件产品的质量指标值，得到下面试 验结果： （Ⅰ）分别估计用 A 配方，B 配方生产的产品的优质品率； （Ⅱ）已知用 B 配方生成的一件产品的利润 y(单位：元)与其质量指标值 t 的关系式 为 从用 B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为 X（单位：元），求 X 的分布列 及数学期望.（以实验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标 值落入相应组的概率） 解：（Ⅰ）由实验结果知，用 A 配方生产的产品中优质的平率为 ，所以用 P 0.1 0.2 0.7 60 0.1 70 0.2 80 0.7 76EX = × + × + × = 2 2 216 0.1 6 0.2 4 0.7 44DX = × + × + × = (14 5 3 5) 0.1 (15 5 2 5) 0.2 (16 5 1 5) 0.16 17 5 0.54 76.4y = × − × × + × − × × + × − × × + × × = 76.4 76> 22 8 =0.3100 + A 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.3． 由实验结果知，用 B 配方生产的产品中优质品的频率为 ，所以用 B 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.42 （ Ⅱ ） 用 B 配 方 生 产 的 100 件 产 品 中 ， 其 质 量 指 标 值 落 入 区 间 的频率分别为 0.04，,054,0.42，因此 P(X=-2)=0.04, P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42, 即 X 的分布列为 X -2 2 4 P 0.04 0.54 0.42 所以 X 的数学期望值 EX=2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68 十八、函数与导数大题： 函数与导数大题 6 年 6 考，每年 1 题．第 1 问一般考查导数的几何意义，第 2 问考查利用 导数讨论函数性质．函数载体上：无论文科理科，基本放弃纯 3 次函数，对数函数很受“器重”！ 指数函数也较多出现！两种函数也会同时出现！（2014 年全国Ⅰ卷）．全国Ⅰ卷第 2 问：2015 年讨论函数零点，2014 年证明不等式，2013 年、2012 年、2011 年都是不等式恒成立问题．但 是，无论怎么考，讨论单调性永远是考查的重点，而且紧紧围绕分类整合思想的考查．在考查 分离参数还是考查不分离参数上，命题者会大做文章！分离（分参）还是不分离（部参），的确 是一个问题！！一般说来，主要考查不分离问题（部参）．另外，函数与方程的转化也不容忽视， 如函数零点的讨论．函数题设问灵活，多数考生做到此题，时间紧，若能分类整合，抢一点分 就很好了．还有，灵活性问题：有些情况下函数性质是不用导数就可以“看出”的，如增函数+ 增函数=增函数，复合函数单调性，显然成立的不等式，放缩法等等，总之，导数是很重要，但 是有些解题环节，不要“吊死”在导数上，不要过于按部就班！还有，数形结合有时也是可以 较快得到答案的，虽然应为表达不严谨不得满分，但是在时间紧的情况下可以适当使用．导数 题强调用，用就是导数的应用，即用导数来研究函数的单调性与极值．主要包括：导数的几何 意义、导数与函数的单调性、极值、用导数解决不等式问题、恒成立问题、分离参数以及式子 的变形与调整、构造函数等等．在命题的载体上，即使用何种函数上，命题者的函数是如何构 32 10 0.42100 + = [ ) [ ) [ ]90,94 , 94,102 , 102,110 造出来的？首先确定是多项式函数、还是指对函数、分式函数、根式函数，指对函数是单独的 指数函数、对数函数，还是指对函数组合在一起，一个省份往往是指数函数、对数函数交替出 现．在很大程度上是先有的导函数，再有是原函数．再把原函数适当调整，这样就出现了式子 的调整与变形．调整变形是最难的一个环节！！分离参数是从方法的需要，式子的调整是在原 函数的基础上适当变形所致. 2016 年的函数载体和 2013 年的函数载体相同，都是一次函数与指数函数的积与一个二次 函数的积，它们的导数有相同的结构，我在考前曾经改变了一个导数为 的题目，和 高考题的导数 完全类似. 想不到 2017 年继续延续了 2016 的考法：两个因式都含有 ，且都含有参数，2018 年是不 是要考 了？比如编一个导数为 或导数数为 . 值得一提的是 2017 年（作为山东卷的关门题，还是给下一步的导数命题提供了一个新的思 路，留下了一些回忆）山东的考法，学习了 2016 全国的考法，却比全国卷更上一层， 这个导数为 . 总之，导数题命题关键是如何构造一个导数，使这个导数的讨论层次体现选拔性，达到压轴 的目的． 年份 题目及答案 2017 年 （21）（本小题满分 12 分） 已知函数 ． （1）讨论 的单调性； （2）若 有两个零点，求 的取值范围． 解：（1）由于 故 当 时， ， ．从而 恒成立． 在 上单调递减 当 时，令 ，从而 ，得 ． 单调减 极小值 单调增 综上，当 时， 在 上单调递减； 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增 （2）由（1）知， 当 时， 在 上单调减，故 在 上至多一个零点，不满足条件． ( 1)( )xx e a− − ( 1)( 2 )xx e a− + xe ln x ( ) ( 1)(ln )f x x x a′ = − − ( ) ( 2)(ln )xf x e x a′ = − − ( ) ( )( sin )f x x a x x′ = − − ( ) ( )2e 2 ex xf x a a x= + − − ( )f x ( )f x a ( ) ( )2e 2 ex xf x a a x= + − − ( ) ( ) ( )( )22 e 2 e 1 e 1 2e 1x x x xf x a a a′ = + − − = − + ① 0a ≤ e 1 0xa − < 2e 1 0x + > ( ) 0f x′ < ( )f x R ② 0a > ( ) 0f x′ = e 1 0xa − = lnx a= − x ( )ln a−∞ −， ln a− ( )ln a− + ∞， ( )f x′ − 0 + ( )f x 0a ≤ ( )f x R 0a > ( )f x ( , ln )a−∞ − ( ln , )a− +∞ 0a ≤ ( )f x R ( )f x R 当 时， ． 令 ． 令 ，则 ．从而 在 上单调 增，而 ．故当 时， ．当 时 ．当 时 若 ，则 ，故 恒成立，从而 无零点， 不满足条件． 若 ，则 ，故 仅有一个实根 ，不满足 条件． 若 ，则 ，注意到 ． ． 故 在 上有一个实根，而又 ． 且 ． 故 在 上有一个实根． 又 在 上单调减，在 单调增，故 在 上至多两 个实根． 又 在 及 上均至少有一个实数根，故 在 上恰有两个实根． 综上， ． 2016 年 （21）（本小题满分 12 分） 已知函数 有两个零点. (I)求 的取值范围； (II)设 是 的两个零点，证明： . 21．(I)解:因为 所以 0a > ( )min 1ln 1 lnf f a aa = − = − + ( ) 11 lng a aa = − + ( ) ( )11 ln 0g a a aa = − + > ( ) 2 1 1' 0g a a a = + > ( )g a ( )0 + ∞， ( )1 0g = 0 1a< < ( ) 0g a < 1a = ( ) 0g a = 1a > ( ) 0g a > 1a > ( )min 11 ln 0f a g aa = − + = > ( ) 0f x > ( )f x 1a = min 11 ln 0f aa = − + = ( ) 0f x = ln 0x a= − = 0 1a< < min 11 ln 0f aa = − + < ln 0a− > ( ) 2 21 1 0e e e a af − = + + − > ( )f x ( )1 ln a− −， 3 1ln 1 ln ln aa a  − > = −   3 3ln 1 ln 13 3ln( 1) e e 2 ln 1a af a aa a    − −           − = ⋅ + − − −          ( )3 3 3 31 3 2 ln 1 1 ln 1 0a aa a a a        = − ⋅ − + − − − = − − − >               ( )f x 3ln ln 1a a   − −     ， ( )f x ( )ln a−∞ −， ( )ln a− + ∞， ( )f x R ( )f x ( )1 ln a− −， 3ln ln 1a a   − −     ， ( )f x R 0 1a< < 2( ) ( 2) ( 1)xf x x e a x= − + − a 1 2,x x ( )f x 1 2 2x x+ < ( ) ( )2( ) 2 1xf x x e a x= − + − ( ) ( ) ( ) ( )( )' 1 2 1 1 2x xf x x e a x x e a= − + − = − + ① 若 ，那么 ， 只有唯一的零点 ， 不合题意； ② 若 ，那么 ， 所以当 时， ， 单调递增 当 时， ， 单调递减 即： 极小值 故 在 上至多一个零点，在 上至多一个零点 由于 ， ，则 ， 根据零点存在性定理， 在 上有且仅有一个零点，从而在 上只有 一个零点. 而当 时，考虑 其中 ，(罗比达法则,高等数学内容) 当 时， ，所以 ，所以在 上只有一个 零点. ③若 ，由 得 或 1） 当 即 时， ， 单调递增， 至多一个零点， 不合题意. 2） 当 即 时，注意到 时，总有 ，只研究 时 当 时， ， 单调递增， 至多一个零点，不合题意. 3）当 即 时，仍然是注意到 时，总有 ，只研究 时 0a = ( ) ( )0 2 0 2xf x x e x= ⇔ − = ⇔ = ( )f x 2x = 0a > 2 0x xe a e+ > > 1x > ( )' 0f x > ( )f x 1x < ( )' 0f x < ( )f x x ( ),1−∞ 1 ( )1,+∞ ( )'f x − 0 + ( )f x   ( )f x ( )1,+∞ ( ),1−∞ ( )2 0f a= > ( )1 0f e= − < ( ) ( )2 1 0f f < ( )f x ( )1,2 ( )1,+∞ 1x < ( ) ( )2lim ( ) lim[ 2 1 ]x x x f x x e a x→−∞ →−∞ = − + − 2 ( 2) 1lim lim lim 0( )x x xx x x x x e e e− − −→−∞ →−∞ →−∞ ′− −= = =′ − x → −∞ ( )21a x − → +∞ ( )f x → +∞ ( ),1−∞ 0a < ( ) 0f x′ = 1x = ln( 2 )x a= − ln( 2 ) 1a− = 2 ea = − ( ) 0f x′ ≥ ( )f x ( )f x ln( 2 ) 1a− < 02 e a− < < 1x ≤ ( ) 0f x < 1x > 1x > ( ) 0f x′ > ( )f x ( )f x ln( 2 ) 1a− > 2 ea < − 1x ≤ ( ) 0f x < 1x > 而当 时， 由负变正， 先减后增， 至多一个零点，不合题 意. 综上所述， 的取值范围为 ． （ II ） 证 法 一 ： 不 妨 设 ， 由 （ 1 ） 知 ， ， ， 而 在 上单调递减，所以 ， 注意到 ，因此只要证 . 而 ， ， 所以 考 虑 函 数 ， 其 中 ， 则 ， 所以 单调递减，所以 ，从而 ， 所以 . 证法二：由已知得： ，不难发现 ， ， 故可整理得： 设 ，则 那么 ，当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增． 设 ，构造代数式： 设 ， 1x > ( )f x′ ( )f x ( )f x a ( )0,+∞ 1 2x x< 1 ( ,1)x ∈ −∞ 2 (1, )x ∈ +∞ 22 ( ,1)x− ∈ −∞ ( )f x ( ,1)−∞ 1 2 1 2 1 22 2 ( ) (2 )x x x x f x f x+ < ⇔ < − ⇔ > − 1( ) 0f x = 2(2 ) 0f x− < ( )2 22 2 2 2(2 ) 1xf x x e a x−− = − + − ( ) ( )2 2 2 2 2( ) 2 1 0xf x x e a x= − + − = ( )2 22 2 2 2(2 ) 2x xf x x e x e−− = − − − ( )2( ) 2x xg x xe x e−= − − − 1x > 2( ) ( 1)( ) (1) 0x xg x x e e g−′ ′= − − < = ( )( 1)g x x > ( ) (1) 0g x g< = 2(2 ) 0f x− < 1 2 2x x+ < ( ) ( )1 2 0f x f x= = 1 1x ≠ 2 1x ≠ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 1 x xx e x ea x x − −− = = − − ( ) ( ) ( )2 2 1 xx eg x x −= − ( ) ( )1 2g x g x= ( ) ( ) ( ) 2 3 2 1' 1 xxg x e x − += − 1x < ( )' 0g x < ( )g x 1x > ( )' 0g x > ( )g x 0m > ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 11 1 11 m m m mm m m mg m g m e e e em m m m + − −− − − + − + − − = − = + +  ( ) 21 11 mmh m em −= ++ 0m > 则 ，故 单调递增，有 ． 因此，对于任意的 ， ． 由 可知 、 不可能在 的同一个单调区间上，不妨设 ，则 必有 令 ，则有 而 ， ， 在 上 单 调 递 增 ， 因 此 ： 整理得： ． 2015 年 （21）（本小题满分 12 分） 已知函数 ． (Ⅰ)当 为何值时， 轴为曲线 的切线； （Ⅱ）用 表示 中的最小值，设函数 ， 讨论 零点的个数． 解：（Ⅰ）设曲线 与 轴相切于点 ，则 ， ，即 ，解得 . 因此，当 时， 轴是曲线 的切线. ……5 分 （Ⅱ）当 时， ，从而 ， ∴ 在（1，+∞）无零点. 当 =1 时，若 ，则 ， ,故 =1 是 的零点；若 ，则 ， ( ) ( ) 2 2 2 2' 0 1 mmh m e m = > + ( )h m ( ) ( )0 0h m h> = 0m > ( ) ( )1 1g m g m+ > − ( ) ( )1 2g x g x= 1x 2x ( )g x 1 2x x< 1 21x x< < 11 0m x= − > ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 21 1 1 1 2g x g x g x g x g x+ − > − − ⇔ − > =       12 1x− > 2 1x > ( )g x ( )1,+∞ ( ) ( )1 2 1 22 2g x g x x x− > ⇔ − > 1 2 2x x+ < 3 1( ) , ( ) ln4f x x ax g x x= + + = − a x ( )y f x= min{ , }m n ,m n }{( ) min ( ), ( ) ( 0)h x f x g x x= > ( )h x ( )y f x= x 0( ,0)x 0( ) 0f x = 0( ) 0f x′ = 3 0 0 2 0 1 04 3 0 x ax x a  + + =  + = 0 1 3,2 4x a= = 3 4a = x ( )y f x= (1, )x∈ +∞ ( ) ln 0g x x= − < ( ) min{ ( ), ( )} ( ) 0h x f x g x g x= ≤ < ( )h x x 5 4a ≥ − 5(1) 04f a= + ≥ (1) min{ (1), (1)} (1) 0h f g g= = = x ( )h x 5 4a < − 5(1) 04f a= + < ,故 =1 不是 的零点. 当 时， ，所以只需考虑 在（0,1）的零点个数. (ⅰ)若 或 ，则 在（0,1）无零点，故 在（0,1）单 调，而 ， ，所以当 时， 在（0，1）有一个零点； 当 0 时， 在（0，1）无零点. (ⅱ)若 ，则 在（0， ）单调递减，在（ ，1）单调递 增，故当 = 时， 取的最小值，最小值为 = . ① 若 ＞0，即 ＜ ＜0， 在（0,1）无零点. ② 若 =0，即 ，则 在（0,1）有唯一零点； ③ 若 ＜0，即 ，由于 ， ，所以当 时， 在（0,1）有两个零点；当 时， 在（0,1） 有一个零点.…10 分 综上，当 或 时， 由一个零点；当 或 时， 有 两个零点；当 时， 有三个零点. ……12 分 2014 年 21. (本小题满分 12 分)设函数 ，曲线 在点（1， 处的切线为 . (Ⅰ)求 ； （Ⅱ）证明： . 解：(Ⅰ) 函数 的定义域为 ， 由题意可得 ，故 ……………6 分 (1) min{ (1), (1)} (1) 0h f g f= = < x ( )h x (0,1)x∈ ( ) ln 0g x x= − > ( )f x 3a ≤ − 0a ≥ 2( ) 3f x x a′ = + ( )f x 1(0) 4f = 5(1) 4f a= + 3a ≤ − ( )f x a ≥ ( )f x 3 0a− < < ( )f x 3 a− 3 a− x 3 a− ( )f x ( )3 af − 2 1 3 3 4 a a− + ( )3 af − 3 4 − a ( )f x ( )3 af − 3 4a = − ( )f x ( )3 af − 33 4a− < < − 1(0) 4f = 5(1) 4f a= + 5 3 4 4a− < < − ( )f x 53 4a− < ≤ − ( )f x 3 4a > − 5 4a < − ( )h x 3 4a = − 5 4a = − ( )h x 5 3 4 4a− < < − ( )h x 1 ( ) ln x x bef x ae x x − = + ( )y f x= (1)f ( 1) 2y e x= − + ,a b ( ) 1f x > ( )f x ( )0,+∞ 1 1 2( ) lnx x x xa b bf x ae x e e ex x x − −′ = + − + (1) 2, (1)f f e′= = 1, 2a b= = （Ⅱ）由(Ⅰ)知， ，从而 等价于 设函数 ，则 ，所以当 时， ， 当 时， ，故 在 单调递减，在 单调递增，从而 在 的最小值为  . ……………8 分 设函数 ，则 ，所以当 时， ，当 时， ，故 在 单调递增，在 单调递减，从而 在 的最小值为 . 综上：当 时， ，即 . ……………12 分 2013 年 （21）（本小题满分共 12 分） 已知函数 ＝ ， ＝ ，若曲线 和曲线 都过点 P(0，2)，且在点 P 处有相同的切线 （Ⅰ）求 ， ， ， 的值 （Ⅱ）若 ≥－2 时， ≤ ，求 的取值范围． 解：（Ⅰ）由已知得 ， 而 = ， = ，∴ =4， =2， =2， =2；……4 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知， ， ， 设函数 = = （ ）， = = ， 有题设可得 ≥0，即 ， 12( ) ln x x ef x e x x − = + ( ) 1f x > 2ln xx x xe e −> − ( ) lng x x x= ( ) lng x x x′ = + 10,x e  ∈   ( ) 0g x′ < 1 ,x e  ∈ +∞   ( ) 0g x′ > ( )g x 10, e      1 ,e  +∞   ( )g x ( )0,+∞ 1 1( )g e e = − 2( ) xh x xe e −= − ( )( ) 1xh x e x−′ = − ( )0,1x∈ ( ) 0h x′ > ( )1,x∈ +∞ ( ) 0h x′ < ( )h x ( )0,1 ( )1,+∞ ( )h x ( )g x ( )0,+∞ 1(1)h e = − 0x > ( ) ( )g x h x> ( ) 1f x > ( )f x 2x ax b+ + ( )g x ( )xe cx d+ ( )y f x= ( )y g x= 4 2y x= + a b c d x ( )f x ( )kg x k (0) 2, (0) 2, (0) 4, (0) 4f g f g′ ′= = = = ( )f x′ 2x b+ ( )g x′ ( )xe cx d c+ + a b c d 2( ) 4 2f x x x= + + ( ) 2 ( 1)xg x e x= + ( )F x ( ) ( )kg x f x− 22 ( 1) 4 2xke x x x+ − − − 2x ≥ − ( )F x′ 2 ( 2) 2 4xke x x+ − − 2( 2)( 1)xx ke+ − (0)F 1k ≥ 令 =0 得， = ， =－2， （1）若 ，则－2＜ ≤0，∴当 时， ＜0，当 时， ＞0，即 在 单调递减，在 单调递增，故 在 = 取最小值 ，而 = = ≥0， ∴当 ≥－2 时， ≥0，即 ≤ 恒成立， (2)若 ，则 = ， ∴当 ≥－2 时， ≥0，∴ 在(－2,+∞)单调递增，而 =0， ∴当 ≥－2 时， ≥0，即 ≤ 恒成立， (3)若 ，则 = = ＜0， ∴当 ≥－2 时， ≤ 不可能恒成立， 综上所述， 的取值范围为[1, ]. 2012 年 （21）（本小题满分 12 分） 已知函数 满足满足 ； （1）求 的解析式及单调区间； （2）若 ，求 的最大值． 解：（1） 令 得： 得： 在 上单调递增 得： 的解析式为 ( )F x′ 1x ln k− 2x 21 k e≤ < 1x 1( 2, )x x∈ − ( )F x 1( , )x x∈ +∞ ( )F x ( )F x 1( 2, )x− 1( , )x +∞ ( )F x x 1x 1( )F x 1( )F x 2 1 1 12 2 4 2x x x+ − − − 1 1( 2)x x− + x ( )F x ( )f x ( )kg x 2k e= ( )F x′ 2 22 ( 2)( )xe x e e+ − x ( )F x′ ( )F x ( 2)F − x ( )F x ( )f x ( )kg x 2k e> ( 2)F − 22 2ke−− + 2 22 ( )e k e−− − x ( )f x ( )kg x k 2e ( )f x 1 21( ) (1) (0) 2 xf x f e f x x−′= − + ( )f x 21( ) 2f x x ax b≥ + + ( 1)a b+ 1 2 11( ) (1) (0) ( ) (1) (0)2 x xf x f e f x x f x f e f x− −′ ′ ′= − + ⇒ = − + 1x = (0) 1f = 1 2 11( ) (1) (0) (1) 1 (1)2 xf x f e x x f f e f e− −′ ′ ′= − + ⇒ = = ⇔ = 21( ) ( ) ( ) 12 x xf x e x x g x f x e x′= − + ⇒ = = − + ( ) 1 0 ( )xg x e y g x′ = + > ⇒ = x R∈ ( ) 0 (0) 0, ( ) 0 (0) 0f x f x f x f x′ ′ ′ ′> = ⇔ > < = ⇔ < ( )f x 21( ) 2 xf x e x x= − + 且单调递增区间为 ，单调递减区间为 （2） 得 ①当 时， 在 上单调递增 时， 与 矛盾 ②当 时， 得：当 时， 令 ；则 当 时， 当 时， 的最大值为 2011 年 （21）（本小题满分 12 分） 已 知 函 数 ， 曲 线 在 点 处 的 切 线 方 程 为 ． （Ⅰ）求 、 的值； （Ⅱ）如果当 ，且 时， ，求 的取值范围． （21）解：（Ⅰ） 由于直线 的斜率为 ，且过点 ，故 即 解得 ， ． (0, )+∞ ( ,0)−∞ 21( ) ( ) ( 1) 02 xf x x ax b h x e a x b≥ + + ⇔ = − + − ≥ ( ) ( 1)xh x e a′ = − + 1 0a + ≤ ( ) 0 ( )h x y h x′ > ⇒ = x R∈ x → −∞ ( )h x → −∞ ( ) 0h x ≥ 1 0a + > ( ) 0 ln( 1), ( ) 0 ln( 1)h x x a h x x a′ ′> ⇔ > + < ⇔ < + ln( 1)x a= + min( ) ( 1) ( 1)ln( 1) 0h x a a a b= + − + + − ≥ 2 2( 1) ( 1) ( 1) ln( 1)( 1 0)a b a a a a+ ≤ + − + + + > 2 2( ) ln ( 0)F x x x x x= − > ( ) (1 2ln )F x x x′ = − ( ) 0 0 , ( ) 0F x x e F x x e′ ′> ⇔ < < < ⇔ > x e= max( ) 2 eF x = 1,a e b e= − = ( 1)a b+ 2 e ln( ) 1 a x bf x x x = ++ ( )y f x= (1, (1))f 2 3 0x y+ − = a b 0x > 1x ≠ ln( ) 1 x kf x x x > +− k 2 2 1( ln ) '( ) ( 1) x x bxf x x x α + − = −+ 2 3 0x y+ − = 1 2 − (1,1) (1) 1, 1'(1) ,2 f f = = − 1, 1 ,2 2 b a b = − = − 1a = 1b = （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，所以 ． 考虑函数 ，则 ． (i)设 ，由 知，当 时， ．而 ， 故当 时， ，可得 ； 当 x （1，+ ）时，h（x）<0，可得 h（x）>0 从而当 x>0,且 x 1 时，f（x）-（ + ）>0，即 f（x）> + . （ii ）设 00, 故 h’ （x）>0,而 h（1）=0，故当 x （1， ）时，h（x）>0，可得 h（x）<0, 与题设矛盾． （iii ）设 k 1. 此时 h’ （x ）>0, 而 h （1 ）=0 ，故当 x （1 ，+ ）时，h （x）>0，可得 h（x）<0,与题设矛盾． 综合得，k 的取值范围为（- ，0] 十九、解析几何大题： 7 年 7 考，每年 1 题．特点：全国Ⅰ卷中，载体用过圆、抛物线和椭圆！不侧重两类圆锥 曲线的整合，只侧重于直线与圆锥曲线的联系．圆锥曲线一定过方法关、运算关．其实近几年 的圆锥曲线题目更侧重于运算．方法还是比较常规的．为什么这样呢？这与命题人的苦衷有关 系，因为圆锥曲线是压轴题，压轴题不能简单，简单了肯定不行．但太难、或是思维量太大又 怕把很多人拒之门外，所以又不敢出思维量太大的题目，最后就只剩下运算了，谁有能耐谁就 能算出来，没有能耐就算不出来，但不能说题目难． 年份 题目及答案 2017 年 20. （12分）已知椭圆 ： ，四点 ， ， ， ln 1 1 x x x ++ 2 2 ln 1 ( 1)( 1)( ) ( ) (2ln )1 1 x k k xf x xx x x x − −− + = +− − ( ) 2lnh x x= + 2( 1)( 1)k x x − − ( 0)x > 2 2 ( 1)( 1) 2'( ) k x xh x x − + += 0k ≤ 2 2 2 ( 1) ( 1)'( ) k x xh x x + − −= 1x ≠ '( ) 0h x < (1) 0h = (0,1)x∈ ( ) 0h x > 2 1 ( ) 01 h xx >− ∈ ∞ 21 1 x− ≠ 1 ln −x x x k 1 ln −x x x k ∈ k−1 1 ∈ k−1 1 21 1 x− ≥ ∈ ∞ 21 1 x− ∞ C 2 2 2 2 1x y a b + = ( )0a b> > ( )1 1 1P ， ( )2 0 1P ， 3 31 2P  −    ， 中恰有三点在椭圆 上． （1）求 的方程； （2）设直线 不经过 点且与 相交于 、 两点，若直线 与直线 的斜率的和为 ， 证明： 过定点． 解：（1）根据椭圆对称性，必过 、 又 横坐标为 1，椭圆必不过 ，所以过 三点 将 代入椭圆方程得 ，解得 ， ∴椭圆 的方程为： ． （2） 当斜率不存在时，设 得 ，此时 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足题意． 当斜率存在时，设 联立 ，整理得 则 ，此时 ，存在 使得 成立． ∴直线 的方程为 ，即 当 ， 时，上式恒成立，所以 过定点 ． （2）的解法 2：由题意可得直线 P2A 与直线 P2B 的斜率一定存在， 4 31 2P       ， C C l 2P C A B 2P A 2P B 1− l 3P 4P 4P 1P 2 3 4P P P， ， ( )2 3 30 1 1 2P P  −    ， ， ， 2 2 2 1 1 3 1 4 1 b a b  =   + = 2 4a = 2 1b = C 2 2 14 x y+ = ① ( ) ( ): t A Al x A t y B t y= −， ， ， ， 2 2 1 1 2 1A A P A P B y yk k t t t − − − −+ = + = = − 2t = l ② ( )1l y kx m m= + ≠∶ ( ) ( )1 1 2 2A x y B x y， ， ， 2 24 4 0 y kx m x y = +  + − = ( )2 2 21 4 8 4 4 0k x kmx m+ + + − = 1 2 2 8 ,1 4 kmx x k −+ = + 2 1 2 2 4 4 1 4 mx x k −⋅ = + 2 2 1 2 1 2 1 1 P A P B y yk k x x − −+ = + ( ) ( )2 1 2 1 2 1 1 2 x kx m x x kx m x x x + − + + −= 2 2 2 2 2 8 8 8 8 1 4 4 4 1 4 km k km km k m k − − + += − + ( ) ( )( ) 8 1 1 14 1 1 k m mm m −= = − ≠+ − ， 2 1m k∴ = − − 64k∆ = − k 0∆ > l 2 1y kx k= − − ( 2) ( 1) 0k x y− + + = 2x = 1y = − l ( )2 1−， 不妨设直线 P2A 为： ,P2B 为： . 联立 ， 假设 ， 此时可得： ， 此时可求得直线的斜率为： ， 化简可得 ，此时满足 ． ○1 当 时，AB 两点重合，不合题意． ○2 当 时，直线方程为： ， 即 ， 当 时， ，因此直线恒过定点 ． 2016 年 (20)（本小题满分 12 分） 设圆 的圆心为 A，直线 l 过点 B（1,0）且与 x 轴不重合， 交圆 A 于 C，D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E. （I）证明 为定值，并写出点E的轨迹方程； （II）设点 E 的轨迹为曲线 C1 ，直线 交 C1 于 M,N 两点，过 B 且与 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q 两点，求四边形 MPNQ 面积 的取值范围. (I) 圆 A 整理为 ， 1y kx= + ( )1 1y k x= − + ( )2 22 2 1 4 1 8 0 14 y kx k x kxx y = + ⇒ + + = + = ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 22 2 8 1 1 4 18 1 4, , ,4 1 4 1 4 1 1 4 1 1 k kk kA Bk k k k  + − + − −     + + + + + +    ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 4 1 1 4 4 14 1 1 8 1 8 4 14 1 1 AB k k kky yk kx x k kk − + −− ++ +−= = +− −− ++ + ( )2 1 1 2ABk k = − + 1 2k ≠ − 1 2k = − 1 2k ≠ − ( ) 2 2 2 2 1 8 1 4 4 1 4 11 2 k ky x k kk − = − + + + + + ( ) ( ) 2 2 4 4 1 1 2 k k x y k + − + = − + 2x = 1y = − ( )2, 1− 2 2 2 15 0x y x+ + − = l EA EB+ l l ( )2 21 16x y+ + = 5 4 3 2 1 1 2 3 4 y 14 12 10 8 6 4 2 2 4 x E D A B C A 坐标 ，…………1 分 如图， ，则 ，…………2 分 由 ， 则 …………3 分 所以由椭圆的定义得 E 的轨迹为方程为 ，( ).…………4 分 （II）由题意 ，设 ，……5 分 因为 ，设 ，…………6 分 联立 得 ，…………7 分 所以 ；…8 分 圆心 到 距离 ，…………9 分 所以 ，…………10 分 …………11 分 因为 ，所以 ，所以 ，所以 ， 所以 ，所以 所以四边形 MPNQ 面积的取值范围是 …………12 分 ( )1,0− BE AC ∥ C EBD=∠ ∠ ,AC AD D C= =则∠ ∠ EBD D∴ =∠ ∠ ， EB ED= 4AE EB AE ED AD∴ + = + = = 2 2 14 3 x y+ = 0y ≠ 2 2 1 : 14 3 x yC + = : 1l x my= + PQ l⊥ ( ): 1PQ y m x= − − 1l C与椭圆 2 2 1 14 3 x my x y = + + = ( )2 23 4 6 9 0m y my+ + − = ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 36 36 3 4 12 1 | | 1 | | 1 3 4 3 4M N m m m MN m y y m m m + + + = + − = + =+ + A PQ ( ) 2 2 | 1 1 | | 2 | 1 1 m md m m − − −= = + + 2 2 2 2 2 2 4 4 3 4| | 2 | | 2 16 1 1 m mPQ AQ d m m += − = − =+ + ( )2 2 2 2 2 2 2 12 11 1 4 3 4 24 1 1| | | | 24 12 2 3 4 1 3 4 3 1 MPNQ m m mS MN PQ m m m m + + +∴ = ⋅ = ⋅ ⋅ = =+ + + + + 2 1 1m + ≥ 2 10 11m < ≤+ 2 13 3 41m < + ≤+ 2 1 1 1 14 331m < ≤ ++ 2 1 1 3 12 331m < ≤ ++ MPNQS )12,8 3∈  [12,8 3). 5 4 3 2 1 1 2 3 4 y 12 10 8 6 4 2 2 4 x Q P N M A B 2015 年 （20）（本小题满分 12 分） 在直角坐标系 中，曲线 C： 与直线 交与 两点， （Ⅰ）当 时，分别求 C 在点 和 处的切线方程； （Ⅱ） 轴上是否存在点 P，使得当 变动时，总有 ？说明理 由． 解：（Ⅰ）由题设可得 ， ，或 ， . ∵ ，故 在 = 处的到数值为 ，C 在 处的切线方程 为 ，即 . 故 在 =- 处的到数值为- ，C 在 处的切线方程为 ，即 . 故所求切线方程为 或 . ……5 分 （Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下： 设 P（0，b）为复合题意得点， ， ，直线 PM，PN 的斜率分别 为 . 将 代入 C 得方程整理得 . ∴ . ∴ = = . 当 时，有 =0，则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补， 故∠OPM=∠OPN，所以 符合题意. ……12 分 2014 年 20. (本小题满分 12 分) 已知点 （0，-2），椭圆 ： 的离心 xOy 2 4 xy = : ( 0)l y kx a a= + > ,M N 0k = M N y k OPM OPN∠ = ∠ (2 , )M a a ( 2 2, )N a− ( 2 2, )M a− (2 , )N a a 1 2y x′ = 2 4 xy = x 2 2a a (2 2 , )a a ( 2 )y a a x a− = − 0ax y a− − = 2 4 xy = x 2 2a a ( 2 2 , )a a− ( 2 )y a a x a− = − + 0ax y a+ + = 0ax y a− − = 0ax y a+ + = 1 1( , )M x y 2 2( , )N x y 1 2,k k y kx a= + 2 4 4 0x kx a− − = 1 2 1 24 , 4x x k x x a+ = = − 1 2 1 2 1 2 y b y bk k x x − −+ = + 1 2 1 2 1 2 2 ( )( )kx x a b x x x x + − + ( )k a b a + b a= − 1 2k k+ (0, )P a− A E 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 率为 ， 是椭圆的焦点，直线 的斜率为 ， 为坐标原点. (Ⅰ)求 的方程；（Ⅱ）设过点 的直线 与 相交于 两点，当 的面积 最大时，求 的方程. 解：(Ⅰ) 设 ，由条件知 ，得  又 ， 所以 a=2， ,故 的方程 . ……….6 分 （Ⅱ）依题意当 轴不合题意，故设直线 l： ，设 将 代入 ，得 ， 当 ，即 时， 从而   又点 O 到直线 PQ 的距离 ，所以 OPQ 的面积 ， 设 ，则 ， ， 当且仅当 ， 等号成立，且满足 ，所以当 OPQ 的面积最大时， 的方程为： 或 . …………………12 分 2013 年 (20)(本小题满分 12 分) 已知圆 : ,圆 : ,动圆 与 外切并且与圆 内 切，圆心 的轨迹为曲线 C. （Ⅰ）求 C 的方程； （Ⅱ） 是与圆 ,圆 都相切的一条直线， 与曲线 C 交于 A，B 两点，当圆 P 3 2 F AF 2 3 3 O E A l E ,P Q OPQ∆ l ( ),0F c 2 2 3 3c = 3c = 3 2 c a = 2 2 2 1b a c= − = E 2 2 14 x y+ = l x⊥ 2y kx= − ( ) ( )1 1 2 2, , ,P x y Q x y 2y kx= − 2 2 14 x y+ = ( )2 21 4 16 12 0k x kx+ − + = 216(4 3) 0k∆ = − > 2 3 4k > 2 1,2 2 8 2 4 3 1 4 k kx k ± −= + 2 2 2 1 2 2 4 1 4 31 1 4 k kPQ k x x k + −= + − = +  2 2 1 d k = + ∆ 2 2 1 4 4 3 2 1 4OPQ kS d PQ k∆ −= = + 24 3k t− = 0t > 2 4 4 144OPQ tS t t t ∆ = = ≤+ + 2t = 7 2k = ± 0∆ > ∆ l 7 22y x= − 7 22y x= − − M 2 2( 1) 1x y+ + = N 2 2( 1) 9x y− + = P M N P l P M l 的半径最长时，求|AB|. 解：由已知得圆 的圆心为 （-1，0）,半径 =1，圆 的圆心为 (1,0),半 径 =3.设动圆 的圆心为 （ ， ），半径为R. （Ⅰ）∵圆 与圆 外切且与圆 内切，∴|PM|+|PN|= = =4，由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左右焦点，场半轴长为2，短半轴长为 的椭圆(左顶点除外)，其方程为 . （Ⅱ）对于曲线C上任意一点 （ ， ），由于|PM|-|PN|= ≤2，∴R≤2, 当且仅当圆P的圆心为（2，0）时，R=2. ∴当圆P的半径最长时，其方程为 ， 当 的倾斜角为 时，则 与 轴重合，可得|AB|= . 当 的倾斜角不为 时，由 ≠R知 不平行 轴，设 与 轴的交点为Q，则 = ，可求得Q（-4，0），∴设 ： ，由 于圆M相切得 ，解 得 . 当 = 时，将 代入 并整理得 ， 解得 = ，∴|AB|= = . 当 =－ 时，由图形的对称性可知|AB|= ， 综上，|AB|= 或|AB|= . 2012 年 （20）（本小题满分 12 分） 设抛物线 的焦点为 ，准线为 ， ，已知以 为圆心， 为半径的圆 交 于 两点； M M 1r N N 2r P P x y P M N 1 2( ) ( )R r r R+ + − 1 2r r+ 3 2 2 1( 2)4 3 x y x+ = ≠ − P x y 2 2R − 2 2( 2) 4x y− + = l 090 l y 2 3 l 090 1r l x l x | | | | QP QM 1 R r l ( 4)y k x= + l 2 | 3 | 1 1 k k = + 2 4k = ± k 2 4 2 24y x= + 2 2 1( 2)4 3 x y x+ = ≠ − 27 8 8 0x x+ − = 1,2x 4 6 2 7 − ± 2 1 21 | |k x x+ − 18 7 k 2 4 18 7 18 7 2 3 2: 2 ( 0)C x py p= > F l A C∈ F FA F l ,B D （1）若 ， 的面积为 ；求 的值及圆 的方程； （2）若 三点在同一直线 上，直线 与 平行，且 与 只有一个公 共点，求坐标原点到 距离的比值． 解：（1）由对称性知： 是等腰直角 ，斜边 点 到准线 的距离 圆 的方程为 （2）由对称性设 ，则 点 关于点 对称得： 得： ，直线 切点 直线 坐标原点到 距离的比值为 ． 2011 年 （20）（本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0,-1)，B 点在直线 y = -3 上，M 点满足 MB//OA， MA•AB = MB•BA，M 点的轨迹为曲线 C． （Ⅰ）求 C 的方程； （Ⅱ）P 为 C 上的动点，l 为 C 在 P 点处得切线，求 O 点到 l 距离的最小值． 解：(Ⅰ)设 M(x,y),由已知得 B(x,-3),A(0,-1).所以 =（-x,-1-y）, =(0,-3-y), =(x,-2).再由题意得知（ + ）• =0, 090=∠BFD ABD∆ 24 p F , ,A B F m n m n C ,m n BFD∆ ∆ 2BD p= A l 2d FA FB p= = = 14 2 4 2 22ABDS BD d p∆ = ⇔ × × = ⇔ = F 2 2( 1) 8x y+ − = 2 0 0 0( , )( 0)2 xA x xp > (0, )2 pF ,A B F 2 2 2 20 0 0 0( , ) 32 2 2 x x pB x p p x pp p − − ⇒ − = − ⇔ = 3( 3 , )2 pA p 3 32 2: 3 02 23 p p p pm y x x y p − = + ⇔ − + = 2 2 3 32 2 3 3 x xx py y y x pp p ′= ⇔ = ⇒ = = ⇒ = ⇒ 3( , )3 6 p pP 3 3 3: ( ) 3 06 3 3 6 p pn y x x y p− = − ⇔ − − = ,m n 3 3: 32 6 p p = MA MB AB MA MB AB 即（-x,-4-2y）• (x,-2)=0.所以曲线 C 的方程式为 y= x -2. (Ⅱ)设 P(x ,y )为曲线 C：y= x -2 上一点，因为 y = x,所以 的斜率为 x ， 因此直线 的方程为 ，即 ． 则 O 点到 的距离 .又 ，所以 当 =0 时取等号，所以 O 点到 距离的最小值为 2. 二十、坐标系与参数方程大题： 7 年 7 考，而且是作为 2 个选做大题之一出现的，主要考查两个方面：一是极坐标方程 与普通方程的转化，二是极坐标方程的简单应用，难度较小． 年份 题目及答案 22. 22.（本小题满分 10 分）[选修 4-4：坐标系与参考方程] 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），直线 的参数方程 为 （ 为参数）． 23. （1）若 ，求 与 的交点坐标； （2）若 上的点到 距离的最大值为 ，求 ． 24.解：（1） 时，直线 的方程为 ． 曲线 的标准方程是 ， 联立方程 ，解得： 或 ， 则 与 交点坐标是 和 （2）直线 一般式方程是 ． 设曲线 上点 ． 则 到 距离 ，其中 ． 依题意得： ，解得 或 1 4 2 0 0 1 4 2 ' 1 2 l 1 2 0 l 0 0 0 1 ( )2y y x x x− = − 2 0 02 2 0x x y y x− + − = l 2 0 0 2 0 | 2 | 4 y xd x −= + 2 0 0 1 24y x= − 2 0 2 02 2 0 0 1 4 1 42 ( 4 ) 2,24 4 x d x x x + = = + + ≥ + + 2 0x l xOy C 3cos sin x y θ θ =  = ， ， θ l 4 1 x a t y t = +  = − ， ， t 1a = − C l C l 17 a 1a = − l 4 3 0x y+ − = C 2 2 19 x y+ = 2 2 4 3 0 19 x y x y + − = + = 3 0 x y =  = 21 25 24 25 x y  = −  = C l ( )3 0， 21 24 25 25  −  ， l 4 4 0x y a+ − − = C ( )3cos sinp θ θ， P l ( )5sin 43cos 4sin 4 17 17 aad θ ϕθ θ + − −+ − −= = 3tan 4 ϕ = 17maxd = 16a = − 8a = 2016 年 （23）（本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程 在直线坐标系 xoy 中，曲线 C1 的参数方程为 （t 为参数，a＞0） 在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2： . （I）说明 C1 是哪种曲线，并将 C1 的方程化为极坐标方程； （II）直线 C3 的极坐标方程为 ，其中满足 =2，若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上，求 ． 解:(I) （ 均为参数）,∴ ① ∴ 为以 为圆心， 为半径的圆．方程为 ∵ ,∴ 即为 的极坐标方程 （II） 两边同乘 得 即 ② ：化为普通方程为 由题意： 和 的公共方程所在直线即为 ①—②得： ，即为 ∴ ,∴ 2015 年 （23）（本小题满分 10 分）选修 4-4；坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，直线 : ，圆 ，以坐标原点为极 点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求 ，C2 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线 C3 的极坐标为 = （ρ R）,设 C2 与 C3 的交点为 M，N,求△C2MN 的面 积． cos , 1 sin , x a t y a t =  = + cosaρ θ= 0 θ α= 0tanα 0 α cos 1 sin x a t y a t =  = + t ( )22 21x y a+ − = 1C ( )0 1， a 2 2 22 1 0x y y a+ − + − = 2 2 2 sinx y yρ ρ θ+ = =， 2 22 sin 1 0aρ ρ θ− + − = 1C 2 4cosC ρ θ=： ρ 2 2 2 24 cos cosx y xρ ρ θ ρ ρ θ= = + = ， 2 2 4x y x∴ + = ( )2 22 4x y− + = 3C 2y x= 1C 2C 3C 24 2 1 0x y a− + − = 3C 21 0a− = 1a = xOy 1C 2x = − 2 2 2 :( 1) ( 2) 1C x y− + − = x 1C θ 4 π ∈ 2014 年 （23）（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知曲线 ，直线 （ 为参数） （1）写出曲线 的参数方程，直线 的普通方程； （2）过曲线 上任意一点 作与 夹角为 30°的直线，交 于点 ，求 的最大值与 最小值． （3）解：(Ⅰ) 曲线 C 的参数方程为： （ 为参数）， 直线 l 的普通方程为： ………5 分 （Ⅱ）（2）在曲线 C 上任意取一点 P (2cos ,3sin )到 l 的距离为 ，则 ，其中 为锐角．且 ．当 时， 取得最大值，最大值为 ； 当 时， 取得最小值，最小值为 ． …………10 分 2013 年 23．（本小题满分 10 分）修 4—4：坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程为 (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴 为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ＝2sin θ． (1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程； (2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)． 解：(1)将 消去参数 t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25， 即 C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0． 194: 22 =+ yxC    −= += ty txl 22 2: t C l C P l l A PA 2cos 3sin x y θ θ =  = θ 2 6 0x y+ − = θ θ 5 4cos 3sin 65d θ θ= + − ( )0 2 5| | 5sin 6sin30 5 dPA θ α= = + − α 4tan 3 α = ( )sin 1θ α+ = − | |PA 22 5 5 ( )sin 1θ α+ = | |PA 2 5 5 4 5cos , 5 5sin x t y t = +  = + 4 5cos , 5 5sin x t y t = +  = + 将 代入 x2＋y2－8x－10y＋16＝0 得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0． 所以 C1 的极坐标方程为 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0． (2)C2 的普通方程为 x2＋y2－2y＝0． 由 解得 或 所以 C1 与 C2 交点的极坐标分别为 ， ． 2012 年 23．（本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程 已知曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程是 ．正方形 ABCD 的顶点 都在 上， 且 A，B，C，D 依逆时针次序排列，点 A 的极坐标为（2， ）． （1)求点 A，B，C，D 的直角坐标； （2）设 为 上任意一点，求 的取值范围． 解:（1）曲线 的参数方程 化为直角坐标方程为 ， 曲线 的极坐标方程 化为直角坐标方程为 ， 因为点 A 的极坐标为（2， ），所以点 B 的极坐标为（2， ）， 点 C 的极坐标为（2， ），点 D 的极坐标为（2， ）， 因此点 A 的直角坐标为（1， ），点 B 的直角坐标为（ ，1）， 点 C 的直角坐标为（－1，－ ），点 D 的直角坐标为（ ，－1）． （2）设 P（ ， ），则 cos , sin x y ρ θ ρ θ =  = 2 2 2 2 8 10 16 0, 2 0 x y x y x y y  + − − + =  + − = 1, 1 x y =  = 0, 2. x y =  = π2, 4      π2, 2      1C    = = ϕ ϕ sin3 cos2 y x ϕ x 2C 2=ρ 2C 3 π P 1C 2222 |||||||| PDPCPBPA +++ 1C    = = ϕ ϕ sin3 cos2 y x 2 2 14 9 x y+ = 2C 2=ρ 2 2 4x y+ = 3 π 5 6 π 4 3 π 11 6 π 3 3− 3 3 2cosϕ 3sinϕ 2222 |||||||| PDPCPBPA +++ 2 2 2 2(2cos 1) (3sin 3) (2cos 3) (3sin 1)ϕ ϕ ϕ ϕ= − + − + + + − 2 2 2 2(2cos 1) (3sin 3) (2cos 3) (3sin 1)ϕ ϕ ϕ ϕ+ + + + + − + + 2 2 2 2(2cos 1) (3sin 3) (2cos 3) (3sin 1)ϕ ϕ ϕ ϕ= − + − + + + − 2 2 2 2(2cos 1) (3sin 3) (2cos 3) (3sin 1)ϕ ϕ ϕ ϕ+ + + + + − + + ． 因为 ，因此 的取值范围为[32，52]． 2011 年 23．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，曲线 的参数方程为 为参数），M 为 上的 动点，P 点满足 ，点 P 的轨迹为曲线 ． （I）求 的方程； （II）在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 与 的异于极 点的交点为 A，与 的异于极点的交点为 B，求|AB|． 解：（I）设 P(x，y)，则由条件知 M( )．由于 M 点在 C1 上，所以 即 从而 的参数方程为 （ 为参数） （Ⅱ）曲线 的极坐标方程为 ，曲线 的极坐标方程为 ． 射线 与 的交点 的极径为 ， 射线 与 的交点 的极径为 ． 所以 ． 二十一、不等式大题： 7 年 7 考，而且是作为 2 个选做大题之一出现的，主要考绝对值不等式的解法（出现频 率太高了，应当高度重视），偶尔也考基本不等式．全国卷很少考不等式小题，如果说考的话， 可以认为在其它小题中考一些解法之类的问题．不等式作为一种工具，解题经常用到，不单独 命小题显然也是合理的．不等式的证明一般考在函数导数综合题中出现． 年份 题目及答案 2017 年 23.[选修 4-5：不等式选讲] 已 已知函数 （1）当 时，求不等式 f（x）≥g（x）的解集； 220sin 32ϕ= + [32,52]∈ 20 sin 1ϕ≤ ≤ 2222 |||||||| PDPCPBPA +++ 1C 2cos (2 2sin x y α αα =  = + 1C 2OP OM=  2C 2C 3 πθ = 1C 2C 2,2 YX 2cos ,2 2 2sin2 x y α α  =  = + 4cos 4 4sin x y α α =  = + 2C 4cos 4 4sin x y α α =  = + α 1C 4sinρ θ= 2C 8sinρ θ= 3 πθ = 1C A 1 4sin 3 πρ = 3 πθ = 2C B 2 8sin 3 πρ = 2 1| | | | 2 3AB ρ ρ−= = 2( ) 4, ( ) | 1| | 1|f x x ax g x x x= − + + = + + − 1a = （2）若不等式 f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求 a 的取值范围. 解：（1）当 时， 等价于 ， 当 时， ，无解； 当 时， ，解得 ； 当 时， ， 解得 ． 综上所述， 解集为 ． （2）依题意得： 在 恒成立． 即 在 恒成立． 则只须 ，解出： ． 故 取值范围是 ． 2016 年 （24）（本小题满分 10 分），选修 4—5：不等式选讲 已知函数 . （I）画出 的图像； （II）求不等式 的 解集． 24．解:(I) 如图所示： （II） 当 ， ，解得 或 当 ， ， 解 得 或 或 当 ， ，解得 或 ( ) | 1| | 2 3|f x x x= + − − ( )y f x= | ( ) | 1f x > ( ) 4 1 33 2 1 2 34 2 x x f x x x x x   − − = − − < <   − ， ≤ ， ， ≥ ( ) 1f x > 1x −≤ 4 1x − > 5x > 3x < 1x −∴ ≤ 31 2x− < < 3 2 1x − > 1x > 1 3x < 11 3x− < <∴ 31 2x< < 3 2x≥ 4 1x− > 5x > 3x < 1a = ( ) ( )f x g x≥ 2 1 1 4 0x x x x− + + + − − ≤ 1x < − 2 3 4 0x x− − ≤ 1 1x− ≤ ≤ 2 2 0x x− − ≤ 1 1x− ≤ ≤ 1x > 2 4 0x x+ − ≤ 1 171 2x − +< ≤ ( ) ( )f x g x≥ 1 17{ |1 }2x x − +< ≤ 2 4 2x ax− + + ≥ [ ]1 1− ， 2 2 0x ax− − ≤ [ ]1 1− ， ( ) ( ) 2 2 1 1 2 0 1 1 2 0 a a  − ⋅ − − − − − ≤ ≤ 1 1a− ≤ ≤ a [ ]1 1− ， 或 综上， 或 或 ，解集为 2015 年 （24）（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ， ． （Ⅰ）当 时，求不等式 的解集； （Ⅱ）若 的图象与 轴围成的三角形面积大于 6，求 的取值范围． 2014 年 （24）（本小题满分 10 分）选修 4-5；不等式选讲 若 且 （I）求 的最小值； （II）是否存在 ，使得 ？并说明理由． 解：(Ⅰ) 由 ，得 ，且当 时等号成立， 故 ，且当 时等号成立， 3 32 x <∴ ≤ 5x > 1 3x < 1 3x< < 5x > ( ) 1f x >∴ ( ) ( )1 1 3 53  −∞ + ∞    ， ， ， ( ) | 1| 2 | |f x x x a= + − − 0a > 1a = ( ) 1f x > ( )f x x a ,0,0 >> ba abba =+ 11 33 ba + ba, 632 =+ ba 1 1 2ab a b ab = + ≥ 2ab ≥ 2a b= = 3 3 3 33 4 2a b a b+ ≥ = 2a b= = ∴ 的最小值为 ． ………5 分 （Ⅱ）由 ，得 ，又由(Ⅰ)知 ，二者矛盾， 所以不存在 ，使得 成立． ……………10 分 2013 年 24．(本小题满分 10 分)选修 4—5：不等式选讲 已知函数 f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3． (1)当 a＝－2 时，求不等式 f(x)＜g(x)的解集； (2)设 a＞－1，且当 x∈ 时，f(x)≤g(x)，求 a 的取值范围． 解：(1)当 a＝－2 时，不等式 f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0． 设函数 y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3， 则 y＝ 其图像如图所示．从图像可知，当且仅当 x ∈ (0,2) 时，y＜0． 所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}． (2)当 x∈ 时，f(x)＝1＋a． 不等式 f(x)≤g(x)化为 1＋a≤x＋3． 所以 x≥a－2 对 x∈ 都成立．故 ≥a－2，即 a≤ ． 从而 a 的取值范围是 ． 2012 年 24．（本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲 已知函数 ． （1)当 时，求不等式 的解集； （2）若 的解集包含[1，2]，求 的取值范围． 解:（1）当 时， ． 所以不等式 可化为 3 3a b+ 4 2 6 2 3 2 6a b ab= + ≥ 3 2ab ≤ 2ab ≥ ,a b 2 3 6a b+ = 1[ , )2 2 a− 15 , ,2 12, 1,2 3 6, 1. x x x x x x − < − − ≤ ≤  − >  1,2 2 a −   1,2 2 a −   2 a− 4 3 41, 3  −   ( ) | | | 2 |f x x a x= + + − 3−=a 3)( ≥xf |4|)( −≤ xxf a 3−=a 5 2 ( 2) ( ) | 3| | 2 | 1 (2 3) 2 5 ( 3) x x f x x x x x x − < = − + − = ≤ ≤  − > 3)( ≥xf ，或 ，或 ． 解得 ，或 ． 因此不等式 的解集为 或 ． （2）由已知 即为 ， 也即 ． 若 的 解 集 包 含 [1 ， 2] ， 则 ， ， 也就是 ， ， 所以 ， ，从而 ， 2011 年 24．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 设函数 ，其中 ． （I）当 a=1 时，求不等式 的解集． （II）若不等式 的解集为｛x| ，求 a 的值． 解：（Ⅰ）当 时， 可化为 ． 由此可得 或 ．故不等式 的解集为 或 ． (Ⅱ) 由 得 此不等式化为不等式组 或 即 或 因为 ，所以不等式组的解集为 由题设可得 = ，故 ． 2 5 2 3 x x <  − ≥ 2 3 1 3 x≤ ≤  ≥ 3 2 5 3 x x >  − ≥ 1x ≤ 4x ≥ 3)( ≥xf { | 1x x ≤ 4}x ≥ |4|)( −≤ xxf | | | 2 | | 4 |x a x x+ + − ≤ − | | | 4 | | 2 |x a x x+ ≤ − − − |4|)( −≤ xxf [1,2]x∀ ∈ | | | 4 | | 2 |x a x x+ ≤ − − − [1,2]x∀ ∈ | | 2x a+ ≤ [1,2]x∀ ∈ 2 2 x a x a + ≥ −  + ≤ 1 2 2 2 a a + ≥ −  + ≤ ( ) | | 3f x x a x= − + 0a > ( ) 3 2f x x≥ + ( ) 0f x ≤ 1}x ≤ − 1a = ( ) 3 2f x x≥ + | 1| 2x − ≥ 3x ≥ 1x ≤ − ( ) 3 2f x x≥ + { | 3x x ≥ 1}x ≤ − ( ) 0f x ≤ 3 0x a x− + ≤ 3 0 x a x a x ≥  − + ≤ 3 0 x a a x x ≤  − + ≤ 4 x a ax ≥ ≤ 2 x a aa ≤ ≤ − 0a > { }| 2 ax x ≤ − 2 a− 1− 2a = 参考资料： 不等式恒成立问题中的参数求法 已知含参数不等式恒成立求其中参数取值范围问题是高考热点，这里汇集了 这类问题的通法和巧法，包括直接求导法、二次求导法、特值压缩法、分离 法、重构函数法、解不等式法、设而不求法等，都是高考压轴题最常用到的方法. 一、 直接求导法 题目：当 时， 恒成立，求 的取值范围. 分 析 ： 注 意 型 函 数 不 分 离 最 好 , 这 里 是 有 理 函 数 , 它 的 导 数 为 ，这里 是有理函数，容易讨论其性质. 解： ， 由 可知，我们可以按照二次函数的讨论要求处理，比较复杂， 于是可以考虑分离参数 ， 即 ， 注 意 到 当 时 ， ， 所 以 当 时 ， ， 是 增 函 数 ， 所 以 ， 当 时， 可解得 ，即当 时， 是减函数， 所以 ，不合题意. 综上， 的取值范围 . 二、二次求导法 题目：当 时， 恒成立，求 的取值范围. ln x (0,1)x∈ 1( ) 11 axxf x ex −+= >− a ( )xe f x ( )f x [ ( )] ( )x xe f x e f x′ = + ( ) [ ( ) ( )]x xe f x e f x f x′ ′= + ( ) ( )f x f x′+ 2 1 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )1 1 (1 ) 1 ax ax ax axx x xf x e e e e ax x x x − − − −+ + +′ ′ ′= + = + −− − − −  2 2 (1 )[ ](1 ) 1 ax a xe x x − += − =− − 2 2 2 2 2 2 (1 ) 2[ ](1 ) (1 ) (1 ) ax axa x ax ae ex x x − −− + −− =− − − 2 2ax a+ − a 2 2 2 2 2 2 2 22 ( 1) 2 ( 1)( ) ( 1)( )1 1ax a a x x a x ax x + − = − + = − + = − −− − (0,1)x∈ 2 2 (2, )1 x ∈ +∞− 2a ≤ ( ) 0f x′ > ( )f x ( ) (0) 1f x f> = 2a > 2 2 2( ) 0(1 ) axax af x ex −+ −′ = <− 20 ax a −< < 20 ax a −< < ( )f x ( ) (0) 1f x f< = a ( ,2]−∞ 0x ≥ 2( ) 1 0xf x e x ax= − − − ≥ a 分析： 型函数一般用到二次求导法. 解: ， ， 因为 ，所以 ， 当 即 时， ， 是增函数，所以 ，所以 是增函数，所以 ； 当 即 时，则当 时， ， 是减函数，所以 ，所以 是减函数，所以 . 所以 的取值范围 . 三、特值压缩法 题目：当 时， 恒成立，求 的取值范围. 分析：特值法先压缩参数范围，可以大大减少讨论步骤，但是这是一个特殊方法，不被重视. 解：由 得 得 ， ， 当 时，由 得 ， 当 时，显然当 时， ， 为增函数，从而 ， 当 时，则 ，所以 当 时， ， 为减函数， 当 时， ， 为增函数， 所以 的最小值为 2( ) xf x ke ax bx c= + + + ( ) 1 2xf x e ax′ = − − ( ) 2xf x e a′′ = − 0x ≥ 1xe ≥ 2 1a ≤ 1 2a ≤ ( ) 0f x′′ ≥ ( )f x′ ( ) (0) 0f x f′ ′≥ = ( )f x ( ) (0) 0f x f≥ = 2 1a > 1 2a > 0 ln(2 )x a< < ( ) 0f x′′ < ( )f x′ ( ) (0) 0f x f′ ′< = ( )f x ( ) (0) 0f x f< = a 1( , ]2 −∞ 2x ≥ − 2( ) 2 ( 1) 4 2 0xf x ke x x x= + − − − ≥ k 2 2 0 2 ( 2) 2 ( 2 1) ( 2) 4 ( 2) 2 0 (0) 2 (0 1) 0 4 0 2 0 f ke f ke − − = − + − − − × − − ≥  = + − − × − ≥ 22 2 0 2 2 0 ke k −− + ≥  − ≥ 21 k e≤ ≤ ( ) 2 [ ( 1) ] 2 4 2( 2)( 1)x x xf x k e x e x x ke′ = + + − − = + − 21 k e≤ ≤ ( ) 2( 2)( 1) 0xf x x ke′ = + − = 21 1[ ,1] ln [ 2,0]xe e xk k −= ∈ ⇒ = ∈ − 2k e= 2x ≥ − ( ) 0f x′ ≥ ( )f x ( ) ( 2) 0f x f≥ − = 21 k e≤ < 1ln ( 2,0]k ∈ − 1( 2,ln )x k ∈ − ( ) 0f x′ < ( )f x 1(ln , )x k ∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x ( )f x 1ln 21 1 1 1(ln ) 2 (ln 1) (ln ) 4(ln ) 2kf kek k k k = + − − − ， 所以求 的取值范围是 . 四、分离 法 题目：当 且 时， 恒成立，求 的取值范围. 分析：把 分离出来可以使导数非常简单. 解： （这一步的目的是提取因式 ，分离出 ，由于 的符号不确定，所以分类讨论如下） 令设 ，于是原题等价于 ，若是通分，分子是一个关于 的二次函数，讨论比较复杂， 不如再次提取 ，分离参数 ，这样会转化为对号函数，可谓一举两得： 于是 令 ，由对号函数的单调性， 在 单调递减， 当 时， ，从而 ，所以当 ， 即 时， 恒成立，从而 为增函数，所以 恒成立； 当 时， ，所以存在 ，使得当 时， ，从而 为减函数，所以 ，不合题意. 2 21 1 1 1 12(ln 1) (ln ) 4(ln ) 2 (ln ) 2lnk k k k k = + − − − = − − 2 21 1(ln ) 2ln (ln ) 2ln (2 ln )(ln ) 0k k k kk k = − − = − + = − ≥ k 21 k e≤ ≤ ln x 0x > 1x ≠ ln 1 ln 1 1 x x k x x x x + > ++ − k ln x 2 ln ln 1 1 1 1 2 1( ) ( )ln ln1 1 1 1 1 x x k k kx xx x x x x x x x x − − −− − − = − − = −+ − + − − 2 2 2 1 1 1 1[ 2ln ( 1)] [ 2ln ( 1)( )]1 1 kx x x k xx x x x −= − − × − = − − − −− − 2 1 1x − ln x 2 1 1x − 1( ) 2ln ( 1)( )g x x k x x = − − − − ( ) 0, (1, ) ( ) 0, (0,1) g x x g x x > ∀ ∈ +∞  < ∀ ∈ 2 2 1( ) ( 1)(1 )g x kx x ′ = − − − + x 2 1(1 )x + k 2 2 2 2 1 1 2 1( ) ( 1)(1 ) (1 )[ ( 1)]11 g x k kx x x x x ′ = − − − + = + − × − − + 2 2 1 2 1 2(1 )[ ( 1)] (1 ) ( 1)1 1k kx xx xx x    = + − − − = + − − −   + +  2( ) 1h x x x = + ( )h x (1, )+∞ 1x > 1 2x x + > ( ) (0,1)h x ∈ ( 1) 1k− − ≥ 0k ≤ ( ) 0g x′ ≥ ( )g x ( ) (1) 0g x g> = 0k > ( 1) 1k− − < 0 1x > 0(1, )x x∈ ( ) 0g x′ < ( )g x ( ) (1) 0g x g< = 同理可讨论当 时， 仍然是 时， 恒成立，从而 为增函数，所以 恒成立； 当 时， ，所以存在 ，使得当 时， ，从而 为减函数，所 以 ，不合题意. 综上， 五、重构函数法 题目： 恒成立,求 的最大值. 分析：构造以参数为自变量的函数是经常考的常规题型. 解:令 ,则 （1）当 时, , 在 R 上单调递增，当 时， ，不合题意. （2）当 时，则当 时， ， 是减函数， 当 时， ， 是增函数， 所以当 时， ， 所以 ，所以 ，其中 ， 令 ，则 ， 当 时， ， 是增函数， 当 时， ， 是减函数， 所以当 时， ， 所以 的最大值是 . 六、解不等式法 题目：设函数 ． （1）证明： 在 单调递减，在 单调递增； （2）若对于任意 ，都有 ，求 m 的取值范围． 分析：求参数范围时，把参数看成未知数，解不等式． 0 1x< < 0k ≤ ( ) 0g x′ ≥ ( )g x ( ) (1) 0g x g< = 0k > ( 1) 1k− − < 0 (0,1)x ∈ 0( ,1)x x∈ ( ) 0g x′ < ( )g x ( ) (1) 0g x g> = 0k ≤ ( 1) 0xe a x b− + − ≥ ( 1)a b+ ( ) ( 1)xf x e a x b= − + − ( ) ( 1)xf x e a′ = − + 1 0a + ≤ ( ) 0f x′ ≥ ( )f x x → −∞ ( )f x → −∞ 1 0a + > ln( 1)x a< + ( ) 0f x′ < ( )f x ln( 1)x a> + ( ) 0f x′ > ( )f x ln( 1)x a= + min( ) (ln( 1)) 1 ( 1)ln( 1) 0f x f a a a a b= + = + − + + − ≥ 1 ( 1)ln( 1)b a a a≤ + − + + 2 2( 1) ( 1) ( 1) ln( 1)a b a a a+ ≤ + − + + 1 0a + > 2 2( ) ln ( 0)g x x x x x≤ − > ( ) 2 (2 ln ) (1 2ln )g x x x x x x x′ = − + = − 0 x e< < ( ) 0g x′ > ( )g x x e> ( ) 0g x′ < ( )g x x e= max 1( ) ( ) 2 2 eg x g e e e= = − × = ( 1)a b+ 2 e 2( ) mxf x e x mx= + − ( )f x ( ,0)−∞ (0, )+∞ 1 2, [ 1,1]x x ∈ − 1 2| ( ) ( ) | 1f x f x e− ≤ − 解：（1） ， ， 因为 ，所以 在 上是增函数，注意到 ，所 以当 时， ，当 时， ，所以 在 单调递减，在 单调递增. （2）由（1）可知， 在 上的最小值为 ， 的最大值是 和 ，所以 的最大值为 或 ， 所以只要 或 ， 令 ，则 ， 当 时， ， 是减函数， 当 时， ， 是增函数， 而 ， ，且 ，所以存在 ，使得 ，所以由 即 可得 ，其中 ① 而 即 ，所以 ， 即 ，其中 ，② 由①、②得 . 七、设而不求法 已知函数 ，（1）设 ，当 时， ，求 的最大值， （2）已知 ，估计 ln2 的近似值（精确到 0.001） 分析：设而不求那些不容易求出的极值点. 解：（1） ， ， 令 ，则 ， 所以 ， ( ) 2mxf x me x m′ = + − 2( ) 2mxf x m e′′ = + 2( ) 2 0mxf x m e′′ = + > ( ) 2mxf x me x m′ = + − R (0) 0f ′ = 0x < ( ) (0) 0f x f′ ′< = 0x > ( ) (0) 0f x f′ ′> = ( )f x ( ,0)−∞ (0, )+∞ ( )f x [ 1,1]− (0) 1f = ( )f x (1) 1mf e m= + − ( 1) 1mf e m−− = + + 1 2| ( ) ( ) |f x f x− me m− me m− + 1m ee m ≤ −− 1m ee m− ≤ −+ ( ) mg m e m= − ( ) 1mg m e′ = − 0m < ( ) 0g m′ < ( )g m 0m > ( ) 0g m′ > ( )g m (1) 1g e= − 1( 1) 1g e − = + (1) ( 1)g g> − 0 1m < − 0( ) (1)g m g= 1m ee m ≤ −− ( ) (1)g m g< 0 1m m< < 0 1m < − 1m ee m− ≤ −+ ( ) (1)g m g− ≤ 0 1m m< − < − 01 m m− < < − 0 1m < − 1 1m− < < ( ) 2x xf x e e x−= − − ( ) (2 ) 4 ( )g x f x bf x= − 0x > ( ) 0g x > b 1.4142 2 1.4143< < 2 2( ) 4 4 ( 2 )x x x xg x e e x b e e x− −= − − − − − ( ) 2 22( 2) 4 ( 2)x x x xg x e e b e e− −′ = + − − + − x xe e t−+ = 2 2 2 2x xe e t−+ = − 2( ) 2( 4) 4 ( 2) ( 2)( 2 2 ) ( 2)[ (2 2)]g x t b t t t b t t b′ = − − − = − + − = − − − 注意到 ， 所以当 即 时， ， 为增函数，所以 ， 当 时，存在 ，当 时， ， 为减函数，所以 ，不合题意， 所以 的最大值 2. （2）考虑 ， 由（1）知道，当 时， ， 所以 ， 那么，下一步如何再取 的值呢？这是不可以随意取的，我们不得不考虑第二问中的 这个分界点满足的条件，可以考虑 满足 ，考虑到满足等号成立的 的值， ，解得 ，则由（1）知， 当 时， ， 所以 ， 所以 ，所以 . 2 2( 0)x x x xt e e e e x− −= + > = > 2 2 2b − ≤ 2b ≤ ( ) 0g x′ ≥ ( )g x ( ) (0) 0g x g> = 2b > 0 0x > 0(0, )x x∈ ( ) 0g x′ < ( )g x ( ) (0) 0g x g< = b 2ln 2 2ln 2 ln 2 ln 2(ln 2) 4ln 2 4 ( 2ln 2)g e e b e e− −= − − − − − 2 312 2ln 2 4 ( 2 ln 2) 2 2 (4 2)ln 22 2 2b b b= − − − − − = − + − 2b = 3(ln 2) 2 2 2 (4 2 2)ln 2 02g = − × + × − > 4 2 1.5 4 1.4142 1.5ln 2 0.69286 6 − × −> > = b 0x x= ln 2x = (2 2) 0x xe e b−+ − − ≤ b ln 2 ln 2 (2 2) 0e e b−− − − = 3 2 14b = + 3 2 14b = + 3 2 3 23(ln 2) 2 2 ( 1) [4 ( 1) 2]ln 2 02 4 4g = − × + + × + − < 18 2 18 1.4143ln 2 0.693428 28 + +< = = 0.6928 ln 2 0.6934< < ln 2 0.693=