高考金牌数学复习17推理与证明 30页

第十七章 推理与证明 ★知识网络★ 第 1 讲 合情推理和演绎推理 ★知识梳理★ 1.推理 根据一个或几个事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫推理. 从结构上说,推理一般由两部分组成,一部分是已知的事实(或假设)叫做前提,一部分是由已 知推出的判断,叫结论. 2、合情推理: 根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出的推理叫合情 推理。 合情推理可分为归纳推理和类比推理两类： （1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特 征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、由 个别到一般的推理 （2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另 一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。 3.演绎推理: 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是 由一般到特殊的推理。三段论是演绎推理的一般模式，它包括：（1）大前提---已知的一般 原理；（2）小前提---所研究的特殊情况；（3）结论——根据一般原理，对特殊情况作出的 判断。 ★重难点突破★ 重点:会用合情推理提出猜想,会用演绎推理进行推理论证,明确合情推理与演绎推理的区别与 推 理 与 证 明 推 理 证 明 合情推理 演绎推理 归纳 类比 直接证明 间接证明 数学归纳法 综合法 分析法 反证法 联系 难点:发现两类对象的类似特征、在部分对象中寻找共同特征或规律 重难点：利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明 1、归纳推理关键是要在部分对象中寻找共同特征或某种规律性 问题 1：观察： ； ； ；….对 于任意正实数 ，试写出使 成立的一个条件可以是 ____. 点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为 22，故 2、类比推理关键是要寻找两类对象的类似特征 问题 2：已知抛物线有性质：过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于、两点，则当 与抛物 线的对称轴垂直时， 的长度最短；试将上述命题类比到其他曲线，写出相应的一个真命题 为． 点拨：圆锥曲线有很多类似性质，“通径”最短是其中之一，答案可以填：过椭圆的焦点作一 直线与椭圆交于、两点，则当 与椭圆的长轴垂直时， 的长度最短（ ） 3、运用演绎推理的推理形式(三段论)进行推理 问题 3：定义[x]为不超过 x 的最大整数，则[-2.1]= 点拨：“大前提”是在 找最大整数，所以[-2.1]=-3 ★热点考点题型探析★ 考点 1 合情推理 题型 1 用归纳推理发现规律 [例 1 ] 通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。 ； ； ； 【解题思路】注意观察四个式子的共同特征或规律（1）结构的一致性,（2）观察角的“共性” [解析]猜想： 证明：左边= = =右边 【名师指引】（1）先猜后证是一种常见题型 （2）归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三是“循环型” （周期性） [例 2 ] (09 深圳九校联考) 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂 巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂 巢的截面图. 其中第一个图有 1 个蜂巢，第二个图 7 15 2 11+ < 5.5 16.5 2 11+ < 3 3 19 3 2 11− + + < ,a b 2 11a b+ ≤ 22=+ ba AB AB AB AB 2 22|| a bAB ≥ ],( x−∞ 2 3135sin75sin15sin 020202 =++ 2 3150sin90sin30sin 020202 =++ 2 3165sin105sin45sin 020202 =++ 2 3180sin120sin60sin 020202 =++ 2 3)60(sinsin)60(sin 02202 =+++− ααα 2002200 )60sincos60cos(sinsin)60sincos60cos(sin ααααα +++− 2 3)cos(sin2 3 22 =+ αα 有 7 个蜂巢，第三个图有 19 个蜂巢，按此规律，以 表示第幅图的蜂巢总数.则 =_____; =___________. 【解题思路】找出 的关系式 [解析] 【名师指引】处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系 【新题导练】 1.(2008 佛山二模文、理)对大于或等于的自然数的次方幂有如下分解方式： 根据上述分解规律，则 ,若 的分解中最小的数是 73，则的值 为___. [解析]的分解中，最小的数依次为 3，7，13，…， ，…， 由 得 2.(2008 惠州调研二理)函数 由下表定义： 若 ， ， ，则 4 ． [解析] ， ， ， ， ， ， 点评：本题为循环型 3.(2008 深圳调研)图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含 1 个、5 个、13 个、25 个第二十九届北京 奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第个图形包含 个“福娃迎迎”， 则 ； ．（答案用数字或的解析式表示） [解析] 4. (2008揭阳一模) 设 , 则 =（ ） A. 　　　B. 　　C. 　　D. ( )f n (4)f ( )f n )1()( −− nfnf ,1261)3(,61)2(,1)1( ++=+== fff 37181261)4( =+++=∴ f 133)1(6181261)( 2 +−=−+++++=∴ nnnnf  22 1 3= + 23 1 3 5= + + 24 1 3 5 7= + + + 32 3 5= + 33 7 9 11= + + 34 13 15 17 19= + + + 25 1 3 5 7 9= + + + + 3 *( )m m N∈ 12 +− mm 7312 =+− mm 9=m ( )f x 0 5a = 1 ( )n na f a+ = 0,1,2,n =  2007a = 50 =a 21 =a 12 =a 43 =a ,54 =a nn aa =∴ +4 432007 == aa ( )f n (5)f = ( ) ( 1)f n f n− − = )1(4)1()(,41)5( −=−−= nnfnff 0 1 0 2 1 1( ) cos , ( ) '( ), ( ) '( ), , ( ) '( )n nf x x f x f x f x f x f x f x+= = = = ,n N ∗∈ 2008 ( )f x sin x− cos x− sin x cos x ( )f x [解析] ， ， ， ， ， ， = 题型 2 用类比推理猜想新的命题 [例 1 ] (2008 韶关调研)已知正三角形内切圆的半径是高的 ，把这个结论推广到空间正四面体， 类似的结论是______. 【解题思路】从方法的类比入手 [解析]原问题的解法为等面积法，即 ，类比问题的解法应为等 体积法， 即正四面体的内切球的半径是高 【名师指引】（1）不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比 （2）类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比； 实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等 [例 2 ] 在 中,若 ,则 ,用类比的方法,猜想三棱锥的类似性 质,并证明你的猜想 【解题思路】考虑两条直角边互相垂直如何类比到空间以及两条直角边与斜边所成的角如何 类比到空间 [解析]由平面类比到空间,有如下猜想:“在三棱锥 中，三个侧面 两 两垂直，且与底面所成的角分别为 ，则 ” 证明：设在平面 的射影为，延长 交 于，记 由 得 ，从而 ，又 ， ， 即 【名师指引】（1）找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体 积，平面上的角对应空间角等等；（2）找对应元素的对应关系，如：两条边（直线）垂直对 应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等 【新题导练】 5. (2008 深圳二模文)现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面 内有两个边长都是的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则 这两个正方形重叠部分的面积恒为 ．类比到空间，有两个棱长均 xxf cos)(0 = xxf sin)(1 −= xxf cos)(2 −= xxf sin)(3 = xxf cos)(4 = )()(4 xfxf nn =+ 2008 ( )f x xxf cos)(0 = 1 3 hrarahS 3 1 2 132 1 =⇒×== hrSrShV 4 1 3 143 1 =⇒×== 4 1 ABC∆ 090=∠C 1coscos 22 =+ BA ABCP − PCAPBCPAB ,, γβα ,, 1coscoscos 222 =++ γβα ABC CO AB hPO = PBPCPAPC ⊥⊥ , PABPC 面⊥ PMPC ⊥ α=∠PMC PC hPCO =∠= sincosα PA h=βcos PB h=γcos hPAPCPCPBPBPAPCPBPAV ABCP ⋅⋅+⋅+⋅=⋅⋅=− )cos2 1cos2 1cos2 1(3 1 6 1 γβα 1)coscoscos( =++∴ hPBPAPC γβα 1coscoscos 222 =++ γβα 2 4 a 为的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为． [解析]解法的类比（特殊化），易得两个正方体重叠部分的体积为 6. (2008 梅州一模)已知 的三边长为 ，内切圆半径为（用 ），则 ；类比这一结论有：若三棱锥 的内切球半径为，则三棱锥体积 [解析] 7.(2008 届广东省东莞市高三理科数学高考模拟题（二）) 在平面直角坐标系中，直线一般方程为 ，圆心在 的圆的一般方程为 ； 则 类 似 的 ， 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 ， 平 面 的 一 般 方 程 为 ________________,球心在 的球的一般方程为_______________________. [解析] ； 8.对于一元二次方程，有以下正确命题：如果系数 和 都是非零实数，方程 和 在复数集上的解集分别是和，则“ ” 是“ ”的充分必要条件． 试对两个一元二次不等式的解集写出类似的结果，并加以证明． 解：（3）如果系数 和 都是非零实数，不等式 和 的解集分别是和，则“ ”是“ ”的既不充分也不必 要条件．可以举反例加以说明． 9.已知等差数列的定义为:在一个数列中，从第二项起,如果每一项与它的前一项的差都为同一 个常数，那么这个数叫做等差数列，这个常数叫做该数列的公差． 类比等差数列的定义给出“等和数列”的定义：； 已知数列 是等和数列，且 ，公和为，那么的值为____________．这个数列的前项 和的计算公式为_____________________________________． [解析]在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数叫做等和数 列，这个常数叫做该数列的公和； ； 考点 2 演绎推理 题型:利用“三段论”进行推理 [例 1 ] （07 启东中学模拟）某校对文明班的评选设计了 五个方面的多元评价指标， 8 3a ABC∆ cba ,, 的面积表示 ABCS ABC ∆∆ ABCS∆ )(2 1 cbar ++= BCDA − =−BCDAV )1 (3 ABC ABD ACD BCDR S S S S∆ ∆ ∆ ∆+ + + 0=++ CByAx ),( 00 yx 22 0 2 0 )()( ryyxx =−+− ),,( 000 zyx 0Ax By Cz D+ + + = 2 2 2 2 0 0 0( ) ( ) ( )x x y y z z r− + − + − = 111 ,, cba 222 ,, cba 011 2 1 =++ cxbxa 022 2 2 =++ cxbxa 2 1 2 1 2 1 c c b b a a == BA = 111 ,, cba 222 ,, cba 011 2 1 >++ cxbxa 022 2 2 >++ cxbxa 2 1 2 1 2 1 c c b b a a == BA = { }na 21 =a 318 =a =nS      = − 为偶数 为奇数 nny nn ,2 5 ,2 15 edcba ,,,, 并通过经验公式样 来计算各班的综合得分，S 的值越高则评价效果越好，若某 班在自测过程中各项指标显示出 ，则下阶段要把其中一个指标的值增加 1 个单位，而使得 S 的值增加最多，那么该指标应为．（填入 中的某个字母） 【解题思路】从分式的性质中寻找 S 值的变化规律 [解析]因 都为正数，故分子越大或分母越小时， S 的值越大，而在分子都增加 1 的 前提下，分母越小时，S 的值增长越多， ，所以 c 增大 1 个单位会使 得 S 的值增加最多 【名师指引】此题的大前提是隐含的，需要经过思考才能得到 [例 2 ]（03 上海）已知集合 M 是满足下列性质的函数 f(x)的全体：存在非零常数 T，对任意 x∈ R，有 f(x+T)=T f(x)成立. （1）函数 f(x)= x 是否属于集合 M？说明理由； （2）设函数 f(x)=ax（a>0,且 a≠1）的图象与 y=x 的图象有公共点，证明： f(x)=ax∈M； （3）若函数 f(x)=sinkx∈M ,求实数 k 的取值范围. 【解题思路】函数 f(x)是否属于集合 M，要看 f(x)是否满足集合 M 的“定义”， [解]（1）对于非零常数 T，f(x+T)=x+T, Tf(x)=Tx. 因为对任意 x∈R，x+T= Tx 不能恒成立，所以 f(x)= （2）因为函数 f(x)=ax（a>0 且 a≠1）的图象与函数 y=x 的图象有公共点， 所以方程组： 有解，消去 y 得 ax=x, 显然 x=0 不是方程 ax=x 的解，所以存在非零常数 T，使 aT=T. 于是对于 f(x)=ax 有 故 f(x)=ax∈M. （3）当 k=0 时，f(x)=0，显然 f(x)=0∈M. 当 k≠0 时，因为 f(x)=sinkx∈M，所以存在非零常数 T，对任意 x∈R，有 f(x+T)=Tf(x)成立，即 sin(kx+kT)=Tsinkx . 因为 k≠0，且 x∈R，所以 kx∈R，kx+kT∈R， 于是 sinkx∈[－1，1]，sin(kx+kT)∈[－1，1]， 故要使 sin(kx+kT)=Tsinkx .成立， 只有 T=，当 T=1 时，sin(kx+k)=sinkx 成立，则 k=2mπ, m∈Z . 当 T=－1 时，sin(kx－k)=－sinkx 成立， 即 sin(kx－k+π)= sinkx 成立， ed c b aS 1++= abedc <<<<<0 edcba ,,,, edcba ,,,, abedc <<<<<0 .Mx ∉    = = xy ay x )()( xTfaTaaaTxf xxTTx =⋅=⋅==+ + 则－k+π=2mπ, m∈Z ，即 k=－2(m－1)π, m∈Z . 实数 k 的取值范围是{k|k= mπ, m∈Z} 【名师指引】学会紧扣“定义”解题 【新题导练】 10.(2008 珠海质检理)定义 是向量 a 和 b 的“向量积”，它的长度 为向量 a 和 b 的夹角，若 =. [解析] 11.(2008 深圳二模文)一个质点从出发依次沿图中线段到达、、、、、、、、各点，最后又回到（如 图所示），其中： ， ， ． 欲知此质点所走路程，至少需要测量条线段的长度， 则（　B　） A． B． C． D． [解析]只需测量 3 条线段的长 12.(2008 惠州调研二)为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接受 方由密文明文（解密），已知加密规则为：明文 对应密文 ， 例如，明文 对应密文 ．当接受方收到密文 时，则解密得到的明 文为（ ）． A． 4，6，1，7 B． 7，6，1，4 C． 6，4，1，7 D． 1，6，4，7 [解析]由 得 ，选 C 13.对于任意的两个实数对 和 ，规定： ，当且仅当 ；运算 “”为： ；运算“”为： ，设 ， 若 ，则 ………（ ） A． B． C． D． 解：由题意， ，解得 ，所以正确答案为（B）． 点评：实际上，本题所定义的实数对的两种运算就是复数的乘法与加法运算．我们可以把该 题还原为：已知复数满足 ，则 _____________． ★抢分频道★ *a b  | * | | | | | sin ,a b a b θ θ= ⋅ ⋅    其中 (2,0), (1, 3), | *( ) |u u v u u v= − = − +     则 =+∗∴>=+<=+= |)(|2 1,sin),3,3(),3,1( vuuvuuvuv 2 3 AB BC⊥ / / / / / / / /AB CD EF HG IJ / / / /BC DE / / / /FG HI JA GHBCAB ,, dcba ,,, ddccbba 4,32,2,2 +++ 1,2,3,4 5,7,18,16 14,9,23,28       = =+ =+ =+ 164 1832 72 52 d dc cb ba       = = = = 7 1 4 6 d c b a ( , )a b ( , )c d ( , ) ( , )a b c d= ,a c b d= = ( , ) ( , ) ( , )a b c d ac bd bc ad⊗ = − + ( , ) ( , ) ( , )a b c d a c b d⊕ = + + ,p q R∈ (1,2) ( , ) (5,0)p q⊗ = (1,2) ( , )p q⊕ = (4,0) (2,0) (0,2) (0, 4)−    =+ =− 02 52 qp qp    −= = 21 1p 5)21( =+ zi =++ zi)21( 基础巩固训练 1、对于集合 A,B,定义运算 ，则 =（ ） A.B B.A C. D. [解析]D [用图示法] 2、命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题， 推理错误的原因是 A．使用了归纳推理 B．使用了类比推理 C．使用了“三段论”，但大前提错误 D．使用了“三段论”，但小前提错误 [解析]大前提是特指命题，而小前提是全称命题，故选 C 3、（华南师大附中 2007—2008 学年度高三综合测试（三）） 给出下面类比推理命题（其中 Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集）： ①“若 ”类比推出“ ” ②“若 ”类比推出 “ ” ③ “ 若 ” 类 比 推 出 “ 若 ” ④“若 ”类比推出“若 ” 其中类比结论正确的个数有 （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]类比结论正确的只有① 4、如图第 n 个图形是由正ｎ＋２边形“扩展”而来,（ｎ＝１，２，３，…）。则第 n－2 个图形中共有个顶点。 [ 解析] 设 第 n 个 图 中 有 个 顶 点 ， 则 ， ， ， 5、如果函数 在区间上是凸函数，那么对于区间内的任意，，…，， 都有 .若 在区间 上是凸 函数，那么在 中， 的最大值是________________. }|{ BxAxxBA ∉∈=− 且 )( BAA −− BA ∪ BA ∩ babaRba =⇒=−∈ 0，则、 babaCca =⇒=−∈ 0,则、 dbcadicbiaRdcba ==⇒+=+∈ ,，则复数、、、 dbcadcbaQdcba ==⇒+=+∈ ,22，则、、、 babaRba >⇒>−∈ 0，则、、 babaCba >⇒>−∈ 0,则、 111|| <<−⇒<∈ xxRx ，则 111|| <<−⇒<∈ zzCz ，则 3331 ×+=a 4442 ×+=a nnnan ⋅+=, 232)2( 22 2 +−=−+−=− nnnnan )(xf )()()()( 2121 n xxxfn xfxfxf nn +++≤+++  xy sin= (0, )π ABC CBA sinsinsin ++ [解析] 6、类比平面向量基本定理:“如果 是平面内两个不共线的向量，那么对于平面内任一向 量，有且只有一对实数 ，使得 ”，写出空间向量基本定理是： [解析] 如果 是空间三个不共面的向量，那么对于空间内任一向量，有且只有一对实数 ，使得 综合提高训练 7、(2008 汕头一模)设 P 是 内一点， 三边上的高分别为、、，P 到三边的距 离依次为、、，则有 ______________；类比到空间，设 P 是四面体 ABCD 内一点，四顶点到对面的距离分别是、、、，P 到这四个面的距离依次是、、、，则有 _________________。 [解析]用等面积法可得， 1，类比到空间有 8、(2008 惠州一模)设 ，又记 则 （ ） A． ； B． ； C．； D． ； [解析]C ， ， ， ， 9、（1）已知等差数列 ， （ ），求证： 仍为等差数列； （2）已知等比数列 ， （ ），类比上述性质，写出一个真命题并加以证 明． [解析]（1） ， ， 为等差数列 为常数，所以 仍为等差数列； （2）类比命题：若 为等比数列， （ ）， ，则 为等比数列 证明： ， 为常数， 为等比数列 ==++≤++ 3sin33sin3sinsinsin πCBACBA 3 3 2 21,ee 21,λλ 2211 eea λλ += 321 ,, eee 321 ,, λλλ 332211 eeea λλλ ++= ABC∆ ABC∆ a b c A B C l l l h h h + + = a b c A B C l l l h h h + + = 1=+++ D d C c B b A a h l h l h l h l ( ) 1 1 xf x x += − ( ) ( ) ( ) ( )( )1 1, , 1,2, ,k kf x f x f x f f x k+= = =  ( )2008f x = 1 1 x x + − 1 1 x x − + 1 x − x xxf − += 1 1)(1 xxf 1)(2 −= 1 1)(3 + −= x xxf xxf =)(4 )()(4 xfxf nn =∴ + xxfxf == )()( 42008 { }na n aaab n n +++= 21 Nn ∈ { }nb { }nc 0>nc Nn ∈ 2 2 )( 1 1 n n n aa n aan b += + = 2 1 1 nn nn aabb −=− + + { }na 22 1 1 daabb nn nn =−=−∴ + + { }nb { }nc 0>nc *Nn ∈ n nn cccd ⋅⋅⋅= 21 { }nd n n n nn ccccd 1 2 1 )( =⋅= qc c d d n n n n == ++ 11 { }nd 10 、 我 们 将 具 有 下 列 性 质 的 所 有 函 数 组 成 集 合 M ： 函 数 ， 对 任 意 均满足 ，当且仅当 时等号成立。 （1）若定义在(0，＋∞)上的函数 ∈M，试比较 与 大小. （2）设函数 g(x)＝－x2，求证：g(x)∈M. [解析](1)对于 ，令 得 < (2) ,所以 g(x)∈M 第 2 讲 直接证明与间接证明 ★知识梳理★ 三种证明方法的定义与步骤： 1.综合法是由原因推导到结果的证明方法，它是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理 等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法。 2. 分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直 到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、公理、定理等） 为止的证明方法。 3.假设原命题的结论不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,由此说明假设错误,从而证明了 原命题成立,这样的方法叫反证法；它是一种间接的证明方法.用这种方法证明一个命题的一 般步骤：(1)假设命题的结论不成立； (2)根据假设进行推理,直到推理中导出矛盾为止 (3) 断言假设不成立(4) 肯定原命题的结论成立 ★重难点突破★ 重点：能熟练运用三种证明方法分析问题或证明数学命题 难点：运用三种方法提高分析问题和解决问题的能力 重难点：在函数、三角变换、不等式、立体几何、解析几何等不同的数学问题中，选择好证 明方法并运用三种证明方法分析问题或证明数学命题 1.从命题的特点、形式去选择证明方法 ①一般地，结论中出现“至多”“至少”“唯一”等词语，或否定性命题，或要讨论的情况很 复杂的，可以考虑用反证法②一般地，含分式、根式的不等式，或从条件出发思路不明显的 命题，可以考虑用分析法③命题的结论有明确的证明方向的，适宜用综合法 问题 1：对于任意非零实数 ，等式 总不成立 点拨：从命题的形式特点看，适合用反证法证明 2.比较复杂的命题，有时需要多种证明方法综合运用，各取所长。 ★热点考点题型探析★ 考点 1 综合法 题型：用综合法证明数学命题 [例 1 ] (东莞 2007—2008 学年度第一学期高三调研测试) 对于定义域为 的函数 ，如果同时满足以下三条：①对任意的 ，总有 ( )( )y f x x D= ∈ , , 2 x yx y D + ∈ 1( ) [ ( ) ( )]2 2 x yf f x f y + ≥ + x y= ( )f x (3) (5)f f+ 2 (4)f 1( ) [ ( ) ( )]2 2 x yf f x f y + ≥ + 5,3 == yx (3) (5)f f+ 2 (4)f 24 )()]()([2 1)2( 2 2 2 1 2 21 21 21 xxxxxgxgxxg +++−=+−+ 04 )( 2 21 ≥+= xx )]()([2 1)2( 21 21 xgxgxxg +≥+∴ )(, yxyx −≠ yxyx +=+ 111 [ ]0,1 ( )f x [ ]0,1x∈ ；② ；③若 ，都有 成立， 则称函数 为理想函数． (1)若函数 为理想函数，求 的值； (2)判断函数 （ ）是否为理想函数，并予以证明； 【解题思路】证明函数 （ ）满足三个条件 [解析]（1）取 可得 ． 又由条件① ，故 ． （2）显然 在[0，1]满足条件① ； 也满足条件② ．若 ， ， ，则 ，即满足条件③， 故 理想函数． 【名师指引】紧扣定义，逐个验证 【新题导练】 1.(2008 年佛山)证明:若 ,则 [解析]当 时， ， 两边取对数，得 ， 又 当 时 2.在锐角三角形 中,求证: [解析] 为锐角三角形， ， 在 上是增函数， 同理可得 ， ( ) 0f x ≥ (1) 1f = 1 2 1 20, 0, 1x x x x≥ ≥ + ≤ 1 2 1 2( ) ( ) ( )f x x f x f x+ ≥ + ( )f x ( )f x (0)f ( ) 2 1xg x = − ]1,0[∈x ( ) 2 1xg x = − ]1,0[∈x 021 == xx 0)0()0()0()0( ≤⇒+≥ ffff 0)0( ≥f 0)0( =f 12)( −= xxg 0)( ≥xg 1)1( =g 01 ≥x 02 ≥x 121 ≤+ xx )]12()12[(12)]()([)( 2121 2121 −+−−−=+−+ + xxxxxgxgxxg 0)12)(12(1222 122121 ≥−−=+−−= + xxxxxx )(xg 0, >ba 2 lglg 2lg baba +≥+ 0, >ba abba ≥+ 2 abba lg2lg ≥+ 2 lglg 2 lglg baabab +=== 0, >ba 2 lglg 2lg baba +≥+ ABC CBACBA coscoscossinsinsin ++>++ ABC∆ BABA −>∴>+∴ 22 ππ xy sin= )2,0( π BBA cos)2sin(sin =−>∴ π CB cossin > AC cossin > CBACBA coscoscossinsinsin ++>++∴ 个 个 3..已知数列 中各项为：12、1122、111222、……、 ……,证明这个数 列中的每一项都是两个相邻整数的积. [解析] 记：A = , 则 A= 为整数 = A (A+1) ， 得证 考点 2 分析法 题型：用分析法证明数学命题 [例 2 ]已知 ,求证 [解析]要证 ，只需证 即 ，只需证 ，即证 显然 成立，因此 成立 【名师指引】注意分析法的“格式”是“要证---只需证---”，而不是“因为---所以---” 【新题导练】 4.若 且 ，求证： [解析]要证 ，只需证 即 ，因 ，只需证 即 ， 设 ，则 成立，从而 成立 5. 已知 ，求证： [解析] ， 显然成立，故 成立 { }na 11 1 n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅  22 2 n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅  1 2(10 1) 10 (10 1)9 9 n n n na = − ⋅ + ⋅ − 1 (10 1) (10 2)9 n n= − ⋅ + 10 1 10 1( ) ( 1)3 3 n n− −= ⋅ + 10 1 3 n − 33 3 n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅  0>> ba baba −<− baba −<− 22 )()( baba −<− baabba −<−+ 2 abb < ab < ab < baba −<− 0>>>> dcba cbda +=+ cbad +<+ cbad +<+ 22 )()( cbad +<+ bccbadda 22 ++<++ cbda +=+ bcad < bcad < tcbda =+=+ 0))(()()( <−+−=−−−=− tdcdccctddtbcad bcad <∴ cbad +<+ 1,, =+∈ baRba 2 25)2()2( 22 ≥+++ ba 2 25)2()2( 22 ≥+++ ba 2 258)(422 ≥++++⇔ baba 2 122 ≥+⇔ ba 2 1)1( 22 ≥−+⇔ aa 0)2 1( 2 ≥−⇔ a 0)2 1( 2 ≥−a 2 25)2()2( 22 ≥+++ ba 个 考点 2 反证法 题型：用反证法证明数学命题或判断命题的真假 [例 3 ]已知 ，证明方程 没有负数根 【解题思路】“正难则反”，选择反证法，因涉及方程的根，可从范围方面寻找矛盾 [解析]假设是 的负数根，则 且 且 ，解得 ，这与 矛盾， 故方程 没有负数根 【名师指引】否定性命题从正面突破往往比较困难，故用反证法比较多 【新题导练】 6.（08 江西 5 校联考）某个命题与正整数有关，若 时该命题成立，那么可推 得 时该命题也成立，现在已知当 时该命题不成立，那么可推得 A.当 时，该命题不成立 B.当 时，该命题成立 C.当 时，该命题不成立 D.当 时，该命题成立 [解析]用反证法，可证当 时，该命题不成立 7.设 a、b、c 都是正数，则 、 、 三个数 A.都大于 2 B.都小于 2 C. 至少有一个大于 2 D.至少有一个不小于 2 [解析] ，举反例可排除 A、B、C，故选 D 8.已知 a、b、c 成等差数列且公差 ，求证： 、 、 不可能成等差数列 [解析]a、b、c 成等差数列， 假设 、 、 成等差数列，则 ， 从而 与 矛盾， 、 、 不可能成等差数列 9.（广东省深圳市宝安中学、翠园中学 2009 届高三第一学期期中联合考试） 下列表中的对数值有且仅有一个是错误的： 3 5 8 9 15 请将错误的一个改正为= [解析] ，所以 3 和 9 的对数值正确，若 正确，则 )1(1 2)( >+ −+= ax xaxf x 0)( =xf 0)( =xf 00  ba 1++ 61 ≥++ ac 0≠d a 1 b 1 c 1 cab +=∴2 a 1 b 1 c 1 0)(4)(112 22 =−⇒=+⇒+= caaccacab ca =∴ 0=d 0≠d a 1∴ b 1 c 1 xlg ba −2 ca + ca 333 −− ba 24 − 13 ++− cba 3lg29lg = 1315lg ++−= cba ca +≠5lg 从而 ，即 ，矛盾。 故 15 的对数值错误，应改正为 ★抢分频道★ 基础巩固训练 1.（2008 年华师附中）用反证法证明命题：“三角形内角和至少有一个不大于”时，应假设 （ ） A.三个内角都不大于 B.三个内角都大于 C.三个内角至多有一个大于 D. 三个内角至多有两个大于 [解析] B 2.已知 ，关于 的取值范围的说法正确的是（ ） A.不大于 B.不大于 2 C.不小于 2 D.不小于 [解析] B 3.若三角形能剖分为两个与自己相似的三角形，那么这个三角形一定是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 [解析] B 4.要证明不等式 成立，只需证明： [解析] 5.已知 与 的大小关系是 [解析] （注意：不能取等号）[用平均值不等式] 6.(07 年惠州第一问)已知数列 满足 , ， ． 求证： 是等比数列； [解析]由 an＋1＝an＋6an－1，an＋1＋2an＝3(an＋2an－1) (n≥2) ∵a1＝5，a2＝5　　∴a2＋2a1＝15 故数列{an＋1＋2an}是以 15 为首项，3 为公比的等比数列 综合提高训练 7.（金山中学 2009 届高三期中考）已知表中的对数值有且只有两个是错误的： x 1.5 3 5 6 8 9 12 lgx 3a-b+c 2a-b a+c 1+a-b-c 3(1-a-c） 2(2a-b) 1-a+2b 请你指出这两个错误．（答案写成如 lg20≠a＋b－c 的形式） [解析]若 错误，则 也错误，反之亦然，此时其他对数值都正确， 但 ， 、 且 ， )5lg1(38lg −≠ ca 3338lg −−≠ cba +−= 315lg 233 =+ qp qp + 22 22 52276 +>+ 22 )522()76( +>+ 2 22 2 2 +++ aa 22 2 22 2 2 +++ aa 22> { }na 1 5a = 2 5a = 1 16 ( 2)n n na a a n+ −= + ≥ { }1 2n na a+ + ba += 23lg )2(29lg ba += 9lg2416lg5.1lg ≠−+=+ ba ba +=∴ 23lg )2(29lg ba += cba +−≠ 35.1lg 若 错误，则 也错误， 正确 若 错 误 ， 也 能 导 出 错 误 ， 正 确 ， 正确， ， 综上 ， 8.设函数 为奇函数. （Ⅰ）求实数的值； （Ⅱ）用定义法判断 在其定义域上为增函数 [解析]（Ⅰ）依题意，函数 的定义域为 R ∵ 是奇函数 ∴ ∴ ∴ （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 设 且 ，则 ∴ ∴ 在 R 上是增函数 9.已知 证明： [解析]即证： 设 . ca +=5lg cba −−+=−+= 15lg3lg16lg ca +=∴ 5lg cba −−+=16lg ca +=5lg cba −−+=∴ 16lg )1(3)3lg6(lg38lg ca −−=−=∴ ba 2112lg +−≠∴ cba +−≠ 35.1lg ba 2112lg +−≠ 12 22)( + −+⋅= x x aaxf )(xf )(xf )(xf )()( xfxf −=− 12 22 12 22 + −+⋅−=+ −+⋅ − − x x x x aaaa 0)12)(1(2 =+− xa 1=∴a 12 12)( + −= x x xf 1 2x x< 1 2,x x R∈ 2 1( ) ( )f x f x− 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 x x x x − −= − + + 2 1 2 21 1 2 1 2 1x x    = − − −   + +    0 )12)(12( )22(2 12 12 > ++ −= xx xx )()( 12 xfxf > )(xf xxf ln)( = )1()1( −>≤+ xxxf 0)1ln( ≤−+ xx 111 1)(,)1ln()( + −=−+=′−+= x x xxkxxxk 则 当 x∈（-1，0）时，k′(x)>0，∴k(x)为单调递增函数； 当 x∈（0，∞）时，k′(x)<0，∴k(x)为单调递减函数； ∴x=0 为 k(x)的极大值点， ∴k(x)≤k(0)=0. 即 10.已知函数 ， ， 的最小值恰好是方 程 的三个根，其中 ．求证： ； [解析]三个函数的最小值依次为， ， ， 由 ，得 ∴ ， 故方程 的两根是 ， ． 故 ， ． ， 即 ∴ ． 参考例题： 1.设 为非零向量，且 不平行，求证 ， 不平行 [解析]假设 ，则 ， 不平行， ，因方程组无解，故假设不成立，即原命题成立 2.已知为锐角，且 ， 函数 ，数列{an}的首项 . ⑴ 求函数 的表达式； ⑵ 求证： ； ⑶ 求证： 0)1ln( ≤−+ xx )1()1( −>≤+∴ xxxf | | 1y x= + 2 2 2y x x t= − + + 1 1( )2 ty x x −= + ( 0)x > 3 2 0x ax bx c+ + + = 0 1t< < 2 2 3a b= + 1 t+ 1 t− (1) 0f = 1c a b= − − − 3 2 3 2( ) ( 1)f x x ax bx c x ax bx a b= + + + = + + − + + 2( 1)[ ( 1) ( 1)]x x a x a b= − + + + + + 2 ( 1) ( 1) 0x a x a b+ + + + + = 1 t− 1 t+ 1 1 ( 1)t t a− + + = − + 1 1 1t t a b− ⋅ + = + + 2 2( 1 1 ) ( 1)t t a− + + = + 22 2( 1) ( 1)a b a+ + + = + 2 2 3a b= + ba, ba, ba + ba − ba + )( ba −= λ 0)1()1( =++− ba λλ ba,    =+ =−∴ 01 01 λ λ 12tan −=α )42sin(2tan)( 2 παα +⋅+= xxxf )(,2 1 11 nn afaa == + )(xf nn aa >+1 ),2(21 1 1 1 1 11 * 21 Nnnaaa n ∈≥<++++++<  [解析]⑴ 又∵为锐角 ∴ ∴ ⑵ ∵ ∴ 都大于 0 ∴ ∴ ⑶ ∴ ∴ ∵ , , 又∵ ∴ ∴ ∴ 第 3 讲 数学归纳法 ★知识梳理★ 1.运用数学归纳法证明命题要分两步,第一步是归纳奠基(或递推基础),第二步是归纳递推 (或归纳假设),两步缺一不可 2.用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题，其中包括恒等式、不等式、数列通 项公式、整除性问题、几何问题等 ★重难点突破★ 重点：领会两个步骤的作用，运用数学归纳法证明一些简单的数学命题 难点：对不同类型的数学命题，完成从 k 到 k+1 的递推 重难点：了解数学归纳法的原理、正确运用数学归纳法 1.没有运用归纳假设的证明不是数学归纳法 问题 1 用数学归纳法证明： 错证：（1）当 n=1 时，左=右= 1，等式成立 1 )12(1 )12(2 tan1 tan22tan 22 = −− −=−= α αα 42 πα = 1)42sin( =+ πα xxxf += 2)( nnn aaa +=+ 2 1 2 1 1 =a naaa ,, 32 02 >na nn aa >+1 nnnnnnn aaaaaaa +−=+=+= + 1 11 )1( 111 2 1 1 11 1 1 + −=+ nnn aaa 1322121 111111 1 1 1 1 1 1 + −++−+−=++++++ nnn aaaaaaaaa  111 1211 ++ −=−= nn aaa 4 3 2 1)2 1( 2 2 =+=a 14 3)4 3( 2 3 >+=a nn aan >≥ +12 131 >≥+ aan 2121 1 <−< +na 21 1 1 1 1 11 21 <++++++< naaa  22 43 1 3 1 4 1 4 1 4 1 ⋅−=+++ n 4 1 （2）假设当 n=k 时等式成立， 那么当 n=k+1 时， 综合（1）（2），等式对所有正整数都成立 点拨：错误原因在于只有数学归纳法的形式，没有数学归纳法的“实质”即在归纳递推中， 没有运用归纳假设 2.归纳起点未必是 1 问题 2：用数学归纳法证明：凸 n 边形的对角线条数为 点拔：本题的归纳起点 3.“归纳——猜想——证明”是一种重要的思维模式 问题 3：在数列 中， ，求数列 的通项公式 点拨：本题有多种求法，“归纳——猜想——证明”是其中之一 解析： 猜想 下面用数学归纳法证明：（1）当 n=1 时， ，猜想成立 （2）假设当 n=k 时猜想成立，则 当 n=k+1 时猜想也成立 综合（1）（2），对 猜想都成立 ★热点考点题型探析★ 考点 1 数学归纳法 题型：对数学归纳法的两个步骤的认识 [例 1 ]已知 n 是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设 n=k（ 且为偶数）时命题为 真，，则还需证明（ ） A.n=k+1 时命题成立 B.n=k+2 时命题成立 C. n=2k+2 时命题成立 D.n=2（k+2）时命题成立 [解析]因 n 是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立，因 k 的下一个偶数是 k+2，故选 B 【名师指引】用数学归纳法证明时，要注意观察几个方面：（1）n 的范围以及递推的起点 （2）观察首末两项的次数（或其它），确定 n=k 时命题的形式 （3）从 和 的差异，寻找由 k 到 k+1 递推中，左边要加（乘）上的式子 2 1 12 43 1 3 1 4 11 ])4 1(1[4 1 4 1 4 1 4 1 ⋅−= − − =+++ + + k k 2 32 nn − 30 =n }{ na 3 3,2 1 11 +== + n n n a aaa }{ na ,7 3,6 3 2 1 21 === aa ,9 3,8 3 23 == aa 5 3 += nan 2 1 51 3 1 =+=a 5)1( 3 35 3 5 33 3 3 1 ++= ++ +⋅ =+=+ k k k a aa k k k ∗∈ Nn 2≥k )(kf )1( +kf )(kf 【新题导练】 1.用数学归纳法证明 ，在验证 n=1 时，左边计算 所得的式子是（ ） A. 1 B. C. D. [解析]n=1 时，左边的最高次数为 1，即最后一项为，左边是 ，故选 B 2.用数学归纳法证明不等式 的过程中，由 k 推导到 k+1 时，不 等式左边增加的式子是 [解析]求 即可 当 n=k 时，左边 ， n=k+1 时，左边 , 故左边增加的式子是 ，即 考点 2 数学归纳法的应用 题型 1：用数学归纳法证明数学命题（恒等式、不等式、整除性问题等） [例 2 ]用数学归纳法证明不等式 [解析]（1）当 n=1 时，左=，右=2，不等式成立 （2）假设当 n=k 时等式成立，即 则 当 n=k+1 时， 不等式也成立 综合（1）（2），等式对所有正整数都成立 【名师指引】（1）数学归纳法证明命题，格式严谨，必须严格按步骤进行； （2）归纳递推是证明的难点，应看准“目标”进行变形； （3）由 k 推导到 k+1 时，有时可以“套”用其它证明方法，如：比较法、分析法等，表现出 数学归纳法“灵活”的一面 ),1(1 11 2 2 ∗ + ∈≠− −=++++ Nnaa aaaa n n  a+1 21 aa ++ 421 aaa +++ a+1 24 131 2 1 1 1 >++++++ nnnn  )()1( kfkf −+ kkkk ++++++= 1 2 1 1 1  )1()1( 1 3 1 2 1 ++++++++= kkkk  1 1 22 1 12 1 +−+++ kkk )22)(12( 1 ++ kk 2)1(2 1)1(3221 +<+++⋅+⋅ nnn 2)1(2 1)1(3221 +<+++⋅+⋅ kkk )2)(1()1(2 1)2)(1()1(3221 2 ++++<++++++⋅+⋅ kkkkkkk 02 )2()1()2)(1(2 )2()2)(1()1(2 1 2 2 <+++−++=+−++++ kkkkkkkk 2]1)1[(2 1)2)(1()1(3221 ++<++++++⋅+⋅∴ kkkkk 【新题导练】 3.用数学归纳法证明等式： [解析]（1）当 n=1 时，左= =右，等式成立 （2）假设当 n=k 时等式成立，即 则 当 n=k+1 时，等式也成立 综合（1）（2），等式对所有正整数都成立 4.数列 中， ，用数学归纳法证明： [解析](1)当 n=1 时, ,不等式成立 （2）假设当 n=k 时等式成立，即 ， 则 ， 当 n=k+1 时， 不等式也成立 综合（1）（2），不等式对所有正整数都成立 题型 2 用“归纳——猜想——证明”解决数学问题 [例 3 ]是否存在常数 a、b、c，使等式 对一切正整数 n 都成立？证明你的结论 【解题思路】从特殊入手，探求 a、b、c 的值，考虑到有 3 个未知数，先取 n=1,2,3,列方程组 求得，然后用数学归纳法对一切 ，等式都成立 [解析]把 n=1,2,3 代入得方程组 ，解得 ， 猜想：等式 对一切 都成立 下面用数学归纳法证明：（1）当 n=1 时，由上面的探求可知等式成立 （2）假设 n=k 时等式成立，即 则 nnnnn 2 1 2 1 1 1 2 1 12 1 4 1 3 1 2 11 +++++=−−++−+−  2 1 2 11 =− kkkkk 2 1 2 1 1 1 2 1 12 1 4 1 3 1 2 11 +++++=−−++−+−  )22 1 12 1(2 1 2 1 1 1)22 1 12 1(2 1 12 1 4 1 3 1 2 11 +−+++++++=+−++−−++−+− kkkkkkkkk  22 1 12 1 2 1 2 1 +++++++= kkkk  }{ na )1(2,2 5 2 11 −== + n n n a aaa )( ∗∈ Nn )(2 ∗∈> Nnan 22 5 1 >=a )(2 ∗∈> Nkak 2)1(22 2 1 −−=−+ k k k a aa 0)1(2 )2( 2 >− −= k k a a 21 >∴ +ka )(12 )1()1(3221 2222 cbnannnnn +++=+++⋅+⋅  ∗∈ Nn    =++ =++ =++ 7039 4424 24 cba cba cba    = = = 10 11 3 c b a )10113(12 )1()1(3221 2222 +++=+++⋅+⋅ nnnnnn ∗∈ Nn )10113(12 )1()1(3221 2222 +++=+++⋅+⋅ kkkkkk 所以当 n=k+1 时，等式也成立 综合（1）（2），对 等式都成立 【名师指引】这是一个探索性命题，“归纳——猜想——证明”是一个完整的发现问题和解决 问题的思维模式 【新题导练】 5.在数列 中， ， （1）写出 ；（2）求数列 的通项公式 [解析] ， ，猜想 下面用数学归纳法证明：（1）当 n=1 时，由上面的探求可知猜想成立 （2）假设 n=k 时猜想成立，即 则 所以当 n=k+1 时，猜想也成立 综合（1）（2），对 猜想都成立 ★抢分频道★ 基础巩固训练 1.用数学归纳法证明 ，从“k 到 k+1”左 端需乘的代数式是（ ） A.2k+1 B. C. D. [解析]左端需乘的代数式是 = ，选 B 2.用数学归纳法证明：1+ + + 时，在第二步证明从 n=k 到 n=k+1 成立时，左边增加的项数是（ ） 222222 )2)(1()10113(12 )1()2)(1()1(3221 ++++++=++++++⋅+⋅ kkkkkkkkkk 2)2)(1()2)(53(12 )1( ++++++= kkkkkk )]2(12)53([12 )2)(1( +++++= kkkkk ]10)1(11)1(3[12 )2)(1( 2 ++++++= kkkk ∗∈ Nn }{ na n n n a aaxa − +== + 1 1,tan 11 ,, 21 aa }{ na ,tan1 xa = )4tan(2 xa += π )2tan(2 xa += π ]4)1tan[( xnan +−= π ]4)1tan[( xkak +−= π = +−− +−+ =− +=+ ]4)1tan[(1 ]4)1tan[(1 1 1 1 xk xk a aa k k k π π ]4tan[ xk +⋅ π ∗∈ Nn nnnnn 2)()2)(1( =+++  ))(12(31 ∗∈+⋅⋅⋅⋅ Nnn )12(2 +k 1 12 + + k k 1 32 + + k k 1 )22)(12( + ++ k kk )12(2 +k 2 1 3 1 )1,(,12 1 >∈<−+ ∗ nNnnn A. B. C. D. [解析]项数为 ,选 A 3.凸 n 边形有 f(n)条对角线，则凸 n+1 边形有对角线数 f(n+1)为（ ） A.f(n)+n+1 B.f(n)+n C.f(n)+n-1 D.f(n)+n-2 [解析]C 4.如果命题 对 n=k 成立，则它对 n=k+1 也成立，现已知 对 n=4 不成立，则下列结论 中正确的是（ ） A. 对 成立 B. 对 n>4 且 成立 C. 对 n<4 且 成立 D. 对 n4 且 不成立 [解析]D 5. 设 ， 用 数 学 归 纳 法 证 明 “ ”时，第一步要证的等式是 [解析] 6.若存在正整数，使得 能被整除，则= [解析]36. [ ，猜想：=36] 综合提高训练 7.求证： [证明](1)当 n=1 时，左端=1 ，右端= ，左端=右端，等式成立； (2) 假 设 n=k 时 ， 等 式 成 立 ， 即 ， 则 . 所以，当 n=k+1 时，等式仍然成立 由(1)(2)可知，对于 等式依然成立. 8.证明： 能被 整除 [解析]（1）当 n=1 时， ，能被 整除； （2）假设 n=k 时命题成立，即 能被 整除 则可设 （其中 为 次多项式） 12 −k 12 −k 12 +k )12()12( 1 −−−+ kk )(nP )(nP )(nP ∗∈ Nn )(nP ∗∈ Nn )(nP ∗∈ Nn )(nP ∗∈ Nn )1()2()1()( −++++= nfffnnf  )()1()2()1( nnfnfffn =−++++  )2(2)1(2 ff =+ )(93)72()( ∗∈+−= Nnnnf n 36)1( =f 636)2( ×=f 1036)3( ×=f 6 )12)(1(21 222 ++=+++ nnnn 16 )12)(11(1 =++⋅ 6 )12)(1(21 222 ++=+++ kkkk 6 ]1)1(2][1)1)[(1()1(6 )12)(1()1(21 22222 +++++=++++=+++++ kkkkkkkkk ∗∈∀ Nn )(,)3(1 ∗∈+− Nnx n 2+x )2()3(1 +−=+− xx 2+x )( ∗∈ Nk kx )3(1 +− 2+x )()2()3(1 xfxx k +=+− )(xf 1−k 当当 n=k+1 时， 能被 整除 所以，当 n=k+1 时，命题仍然成立 由(1)(2)可知，对于 命题依然成立. 9.在数列 中， ，其中 ，求数列 的 通项公式 [解析] ， ， . 由此可猜想出数列 的通项公式为 . 以下用数学归纳法证明：(1)当 n=1 时， ,等式成立. (2) 假 设 当 n=k 时 等 式 成 立 ， 即 . 则 当 n=k+1 时 ， .这就是说，当 n=k+1 时等式也成立。由(1)(2)可知数列 的通项公式 10.数列 满足 且 . 用数学归纳法证明： ； [证明](1)①当 n=2 时， ，不等式成立. ②假设当 n=k 时不等式成立，即 （ ， 那么 . 这就是说，当 n=k+1 时不等式成立.根据①②可知： 对所有 成立. 第十九章综合检测 一.选择题:（以下题目从 4 项答案中选出一项，每小题 5 分，共 40 分） 1.集合 P={1, 4, 9, 16…}，若 a∈P, b∈P 则 ab∈P，则运算可能是 A．加法 B．减法 C．除法 D．乘法 [解析]D. 2.若平面四边形 满足 , ,则该四边形一定是 )2(])3(1)[3()3)(3(1)3(1 1 +−+−+=++−=+− + xxxxxx kkk ]1)()3)[(2()2()()2)(3( −++=+−++= xfxxxxfxx 2+x ∗∈∀ Nn { }na )(2)2(,2 1 11 ∗+ + ∈−++== Nnaaa nn nn λλλ 0>λ }{ na 222 21 22)2(2,2 +=−++== λλλλaa 332322 3 222)2()2( +=−+++= λλλλλa 443433 4 232)2()22( +=−+++= λλλλλa { }na nn n na 2)1( +−= λ 21 =a kk k ka 2)1( +−= λ [ ] 11111 1 21)1(222)1(2)2( +++++ + +−+=−+++−=−++= kkkkkkkkk kk kkaa λλλλλλλλλ { }na nn n na 2)1( +−= λ { }na 11 =a nnn anna 2 1)11( 21 +++=+ )1( ≥n 2≥na )2( ≥n 222 ≥=a )2( ≥k 2≥ka )2≥k 22 1))1( 11(1 ≥+++=+ kkk akka 2≥ka 2≥n ABCD 0AB CD+ =   ( ) 0AB AD AC− ⋅ =   A．直角梯形 B．矩形 C．正方形 D．菱形 [解析]D.[AB//CD,BDAC] 3. （2008·珠海市高三教学质量检测）给出下面类比推理命题（其中 Q 为有理数集，R 为实数 集，C 为复数集）： ①“若 a,b ”类比推出“若 a,b ”； ②“若 a,b,c,d ”类比推出“若 a,b,c,d 则 ”； ③“若 a,b ” 类比推出“若 a,b ”； 其中类比结论正确的个数是 （ ） (A).0 (B).1 (C).2 (D).3 [解析]B.[正确命题①] 4.(09 深圳九校)平面向量也叫二维向量，二维向量的坐标表示及其运算可以推广到 维 向量，维向量可用 表示.设 , ,规定 向量与夹角的余弦为 .当 , 时， = A． B． C． D． [解析] [ ] 5.下列函数中，在区间 上为增函数且以为周期的函数是 A． B． C． D． [解析]D 6.若一系列函数的解析式相同、值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,那 么函数解析式为 y=x2、值域为{0,4}的“同族函数”共有( )个. A. 2 B. 3 C. 4 D.无数 [解析]3. [定义域可以是以下 3 种情况：{0，2}、{0，-2}、{0，2，-2}] 7.（08 南昌调研）对于使 成立的所有常数 M 中，我们把 M 的最小值叫做 babaR =⇒=−∈ 0,则 babaC =⇒=−∈ 0,则 dbcadicbiaR ==⇒+=+∈ ,,则复数 ,Q∈ dbcadcba ==⇒+=+ ,22 babaR >⇒>−∈ 0,则 babaC >⇒>−∈ 0,则 ( 3)n n ≥ 1 2 3( , , , , )nx x x x 1 2 3( , , , , )na a a a a=  1 2 3( , , , , )nb b b b b=  ∑ ∑ ∑ = = == n i n i ii n i ii ba ba 1 1 22 1 ))(( cosθ (1,1,1, 1)a =  ( 1, 1,1, 1)b = − −  cosθ n n 1− n n 3− n n 2− n n 4− n n 2− = ⋅ −= nn n 2cosθ n n 2− 0 2 π   ， sin 2 xy = siny x= tany x= − cos2y x= − 2 2x x M− + ≤ 的上确界,若 ，则 的上确界为 A． B． C． D． [解析]B ， ， 的上确界为 8.(2008 深圳二模)如图，圆周上按顺时针方向标有 五个点。一只青蛙按顺时针方 向绕圆从一个点跳到另一点。若它停在奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上， 则跳两个点。该青蛙从这点跳起，经 2008 次跳后它将停在的点是（　　） A.B．C．D． [解析]A [每两次跳 3 个点，每跳 10 次回到 5 这个点， 故跳 2010 次后它停在 5 这个点，跳 2008 次后它将停在的点是 1] 二.填空题:（本大题共 7 小题，每小题 5 分，满分 30 分．其中 13～15 题是选做题，考生只能 选做二题，三题全答的，只计算前两题得分） 9.(2008 中山一模)观察下列的图形中小正方形的个数，则第 6 个图中有_______个小正方形， 第 n 个图中有个小正方形. [解析]28， .设第 n 个图中有个小正方形. ， ， ， 10.在数列 中，满足 设 则 合情推理推出 =____________ ,.=_______________. [解析] ； 11.(2008 江苏模拟)已知 ,猜想 的表达式为 [解析] .[ , , , ] 12.(2008 韶关一模)在实数集上定义运算： ，若不等式 对任意 实数都成立，则实数的取值范围是 2 2x x− + , , 1a b R a b+∈ + =且 1 2 2a b − − 9 2 9 2 − 4 1 1 2 2a b − − 2 9)2 22 5()2 2 1)(( −≤++−=++−= b a a b baba 2 9−≥∴M 1 2 2a b − − 9 2 − 1, 2 , 3, 4 , 5 2 )2)(1( ++ nn 211 +=a 3212 ++=a 43213 +++=a =++++++=∴ )1(4321 nan  2 )2)(1( ++ nn { }na ,,),2( 2111 baaanaaa nnn ==≥−= −+ ,21 nn aaas ++= 100a aa −=100 abs −= 2100 2 ( )( 1) , (1) 1( ) 2 f xf x ff x + = =+ *x N∈（ ） (f x） 1 2)( += xxf 1)1( =f 3 2)2( =f 4 2)3( =f 1 2)(, += xxf )1( yxyx −=⊗ 1)()( <+⊗− axax 2 34 5 1 [解析] . [ ， ] 13.(济宁市 2007—2008 学年度高三复习第一阶段质量检测) 设等边 的边长为,是 内任意一点,且到三边 、 、的距离分别为、、,则 有 为定值 ;由以上平面图形的特性类比到空间图形:设正四面体 的棱 长为,是正四面体 内任意一点,且到平面 、平面 、平面 、平面 的 距离分别为、、，则有 为定值.[解析] 14.（07 韶关调研）设是等比数列 的前项和,　对于等比数列 ,有命题若 成 等差数列,则 成等差数列成立；对于命题：若 成等差数列, 则 ________________成等差数列.请将命题补充完整,使它也是真命题.(只要一个符合要求的答案 即可) [解析] 开放题，答案不唯一 15.(2008 深圳调研)在 中，两直角边分别为、，设为斜边上的高，则 ，由 此类比：三棱锥 中的三条侧棱、、两两垂直，且长度分别为、、，设棱锥底面 上 的高为，则． [解析] 三.解答题: 16. 证明：要证 需证 ……………4 分 ……………6 分 )2 3 2 1( ，− 1)()( <+⊗− axax 011)1)(( 22 >++−−⇔<−−−⇔ aaxxaxax 2 3 2 10344 2 <<−⇒<−−=∆ aaa ABC∆ ABC∆ AB BC 321 ddd ++ a2 3 ABCD ABCD ABC ABD ACD BCD 321 hhh ++ a3 6 { }na { }na 3 9 6, ,S S S 2 8 5, ,a a a , ,m n lS S S , , ( )m k n k l ka a a k N ∗ + + + ∈ Rt ABC∆ 2 2 2 1 1 1 h a b = + S ABC− ABC 2 2 2 2 1 1 1 1 h a b c = + + 2121,0 2 2 −+≥−+> aaaaa 求证：若 2121 2 2 −+≥−+ aaaa 2121 2 2 ++≥++ aaaa 2)1(22214141 2 2 2 2 2 2 +++++≥++++ aaaaaaaa需证 ……………8 分 ……………10 分 ……12 分 17.设函数 ,问是否存在 , 使 恒成立？证明你的结论. [解析] ，它的最小正周期为。……………4 分 假设存在 ，使 恒成立， 则 是它的周期.……………8 分 ，∴ ，这与它的最小正周期为相矛盾！………10 分 ∴不存在 ,使 恒成立.……………12 分 18. 如 图 ， 点 为 斜 三 棱 柱 的 侧 棱 上 一 点 ， 交 于 点 ， 交 于点. (1) 求证： ； (2) 在任意 中有余弦定理： . 拓展到空间，类比三角形的余弦定理， 写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中 两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明. (1) 证明： ；………5 分 (2) 解：在斜三棱柱 中，有 ，其中为 平面 与平面 所成的二面角. ………………7 分 上述的二面角为 ,在 中， ，…………10 分 由于 )1(2 21 2 2 aaaa +≥+需证 2)1(2 11 2 2 2 2 ++≥+ aaaa需证 212121 2 2 2 2 成立此式显然成立，故需证 −+≥−+≥+ aaaaaa xxxf sincos)( += )2,0( πα ∈ )3()( αα +=+ xfxf )4sin(2)( π+= xxf )2,0( πα ∈ )3()( αα +=+ xfxf α2=T )2,0( πα ∈ ),0(2 πα ∈=T )2,0( πα ∈ )3()( αα +=+ xfxf 111 CBAABC − 1BB 1BBPM ⊥ 1AA 1BBPN ⊥ 1CC MNCC ⊥1 DEF∆ DFEEFDFEFDFDE ∠⋅−+= cos2222 MNCCPMNCCPNCCPMCCBBCC ⊥⇒⊥∴⊥⊥⇒ 111111 ,,// 平面 111 CBAABC − αcos2 1111111111 222 AACCBBCCAACCBBCCAABB SSSSS ⋅−+= BBCC 11 AACC 11 ∴⊥ ,1 PMNCC 平面 MNP∠ PMN∆ cos2222 ⇒∠⋅−+= MNPMNPNMNPNPM MNPCCMNCCPNCCMNCCPNCCPM ∠⋅⋅⋅−+= cos)()(2 11111 222222 1111 11111 ,, BBPMSCCMNSCCPNS AABBAACCBBCC ⋅=⋅=⋅= ∴有 .………………14 分 19.比较与的大小 [解析]当 n=1 时,<;当 n=2 时,=;当 n=3 时,>; 当 n=4 时,=;当 n=5 时,<;当 n=6 时,< 猜想：当 时,<…………………………………………………………6 下面下面用数学归纳法证明： （1）当 n=5 时，由上面的探求可知猜想成立……………………………………..7 分 （2）假设 n=k（ ）时猜想成立，即 ………………………………..8 分 则 ， ，当 时 ，从而 所以当 n=k+1 时，猜想也成立…………………………………………………………13 分 综合（1）（2），对 猜想都成立…………………………………………………14 分 20.（广东实验中学 2008 学年高三第一次阶段测试）对于定义域为的函数 ，若同时 满足：① 在内单调递增或单调递减；②存在区间[ ] ，使 在 上的值 域为 ；那么把函数 （ ）叫做闭函数． (1) 求闭函数 符合条件②的区间 ； (2) 若 是闭函数，求实数的取值范围． [解析]（1）由题意， 在[ ]上递增，则 ，……………………2 分 解得 或 或 …………………………………………………4 分 所以，所求的区间为[-1，0]或[-1，1]或[0，1] .………………………………5 分 （2）若 是闭函数，则存在区间[ ]，在区间[ ]上， 函数 的值域为[ ]…………………………………………6 分 容易证明函数 在定义域内单调递增， ∴ …………………………………………………………………7 分 αcos2 1111111111 222 AACCBBCCAACCBBCCAABB SSSSS ⋅−+= ,,2  n 5≥n 5≥k 22 kk > 2222 kk >⋅ 2)1(12)1(2 2222 −−=−−=+− kkkkk 5≥k 02)1( 2 >−−k 22 )1(2 +>∴ kk 21 )1(2 +>+ kk ∗∈ Nn )(xfy = )(xf ba, D⊆ )(xf ],[ ba ],[ ba )(xfy = Dx ∈ 3 1 xy = ],[ ba kxy −+= 2 3 1 xy = ba,         > = = ab aa bb 3 1 3 1    = −= 0 1 b a    = −= 1 1 b a    = = 1 0 b a kxy −+= 2 ba, ba, )(xfy = ba, kxy −+= 2    −+= −+= kbb kaa 2 2 ∴ 为方程 的两个实数根. ………………………………9 分 即方程 有两个不相等的实根. 或 ………………………………………12 分 解得 ，综上所述， ……………………………………………………14 分 21、已知函数 (其中 ) , 点 从左到右依次是函数 图象上三点,且 . (Ⅰ) 证明: 函数 在上是减函数； (Ⅱ) 求证：⊿ 是钝角三角形; (Ⅲ)试问,⊿ 能否是等腰三角形?若能,求⊿ 面积的最大值;若不能,请说明理由． 解：(Ⅰ) ………………………… 所以函数 在 上是单调减函数.…………………………4 分 (Ⅱ) 证明:据题意 且 x1f (x2)>f (x3), x2= …………………………6 分 …………………8 分 即⊿ 是钝角三角形……………………………………..9 分 (Ⅲ)假设⊿ 为等腰三角形，则只能是 即 ba, kxx −+= 2 ( )kx20452 ≥≥=++− 且xkxx    ≥++⋅− >−−=∆ ≤ ∴ 04254 041625 0 k k k        ≥++− >−−=∆ << 045 041625 2 52 kkk k k 2 92 <≤ k )4 9,2[∈k ( ) ln(1 ) ( 1) ,xf x a e a x= + − + 0a > 1, 1 2 2 3 3( ( )), ( , ( )), ( , ( ))A x f x B x f x C x f x ( )y f x= 2 1 32x x x= + ( )f x ABC ABC ABC ( ) ln(1 ) ( 1) ,xf x a e a x= + − + ( 1)( ) ( 1) 01 1 x x x x ae a ef x ae e − + −′∴ = − + = <+ + 恒成立, ( )f x ( , )−∞ +∞ 1, 1 2 2 3 3( ( )), ( , ( )), ( , ( ))A x f x B x f x C x f x 2 31 xx + 1 2 1 2 3 2 3 2( , ( ) ( )), ( , ( ) ( )BA x x f x f x BC x x f x f x∴ = − − = − −  1 2 3 2 1 2 3 2( )( ) [ ( ) ( )][ ( ) ( )]BA BC x x x x f x f x f x f x∴ ⋅ = − − + − −  1 2 3 2 1 2 3 20, 0, ( ) ( ) 0, ( ) ( ) 0x x x x f x f x f x f x− < − > − > − < 0, ( , )2BA BC B π π∴ ⋅ < ∴∠ ∈  ABC ABC BA BC=  2 1 32 ( ) ( ) ( )f x f x f x= + 32 1 2 1 32 ln(1 ) 2( 1) [ln(1 )(1 ) ( 1)( )xx xa e a x a e e a x x⇔ + − + = + + − + + 32 1 2 22 ln(1 ) 2( 1) [ln(1 )(1 ) 2( 1)xx xa e a x a e e a x⇔ + − + = + + − + 2 2 2 2 1 2 1 2 3 2 3 2( ) [ ( ) ( )] ( ) [ ( ) ( )]x x f x f x x x f x f x− + − = − + −即： 2 2 2 1 3 2 1 2 3 2[ ( ) ( )] [ ( ) ( )]x x x x f x f x f x f x− = − ∴ − = − ①…………………………………………..12 分 而事实上, ② 由于 ,故(2)式等号不成立.这与式矛盾. 所以⊿ 不可能为等腰三角形..14 分是否 存在常数 a,b 使等式： 对于一切 都成立。 [解析] 32 12ln(1 ) ln(1 )(1 )xx xe e e⇔ + = + + 3 1 3 32 1 2 2 122(1 ) (1 )(1 ) 2x x x xx x x x xe e e e e e e e+⇔ + = + + ⇔ + = + + 32 12 xx xe e e⇔ = + 3 1 31 22 2x x xx xe e e e++ ≥ = 31 xxe e< ABC 2)12)(12(53 2 31 1 2222 + +=+−++⋅+⋅ bn nan nn n  ∗∈ Nn