2020高考数学二轮复习 专题五 函数与导数 第2讲 函数与方程学案 15页

第2讲　函数与方程 ‎[考情考向分析]　求函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以选择题、填空题的形式出现．‎ 热点一　函数的零点 ‎1．零点存在性定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．‎ ‎2．函数的零点与方程根的关系 函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．‎ 例1　(1)已知f(x)＝＋x－，则y＝f(x)的零点个数是(　　)‎ A．4 B．‎3 C．2 D．1‎ 答案　C 解析　令＋x－＝0，化简得2|x|＝2－x2，画出y1＝2|x|，y2＝2－x2的图象，由图可知，图象有两个交点，即函数f(x)有两个零点．‎ 15‎ ‎(2)关于x的方程(x2－2x)2e2x－(t＋1)(x2－2x)ex－4＝0(t∈R)的不等实根的个数为(　　)‎ A．1 B．‎3 C．5 D．1或5‎ 答案　B 解析　设f(x)＝(x2－2x)ex，则f′(x)＝(x＋)(x－)ex，所以函数f(x)在(－∞，－)，(，＋∞)上单调递增，在(－，)上单调递减，且当x→－∞时，f(x)→0，f(－)＝(2＋2)‎ f(0)＝0，f()＝(2－2)当x→＋∞，f(x)→＋∞，由此画出函数y＝f(x)的草图，如图所示．‎ 关于x的方程(x2－2x)2e2x－(t＋1)(x2－2x)ex－4＝0，‎ 令u＝f(x)，则u2－(t＋1)u－4＝0，Δ＝(t＋1)2＋16>0，故有两个不同的解u1，u2，‎ 又u1u2＝f(－)f()＝－4，‎ 所以不等实根的个数为3.‎ 思维升华　函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有 ‎(1)函数零点大致存在区间的确定．‎ ‎(2)零点个数的确定．‎ ‎(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．‎ 解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解．‎ 跟踪演练1　(1)定义在R上的函数f(x)，满足f(x)＝且f(x＋1)＝f(x－1)，若g(x)＝3－log2x，则函数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)内的零点有(　　)‎ A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 答案　B 解析　由f(x＋1)＝f(x－1)得f(x)的周期为2，作函数f(x)和g(x)的图象，‎ 15‎ 图中，g(3)＝3－log23>1＝f(3)，‎ g(5)＝3－log25<1＝f(5)，‎ 可得有两个交点，所以选B.‎ ‎(2)已知函数f(x)满足：①定义域为R；②∀x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)；③当x∈[－1,1]时，f(x)＝－|x|＋1，则方程f(x)＝log2|x|在区间[－3,5]内解的个数是(　　)‎ A．5 B．‎6 C．7 D．8‎ 答案　A 解析　画出函数图象如图所示，由图可知，共有5个解．‎ 热点二　函数的零点与参数的范围 解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数与方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．‎ 例2　(1)(2018·浙江省重点中学联考)已知a∈R，函数f(x)＝若存在三个互不相等的实数x1，x2，x3，使得＝＝＝－e成立，则a的取值范围是________．‎ 答案　(－∞，－2)‎ 解析　＝＝＝－e成立，等价于方程f(x)＝－ex有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝－ex有三个不同的交点，易知直线y＝－ex与y＝e－x的图象相切，已有一个交点，只需直线y＝－ex与曲线y＝a＋(x>0)有两个不同的交点即可，由－ex＝a＋，得ex2＋ax＋1＝0，∴Δ＝a2－4e>0，解得a>2或a<－2，又方程的两个根之和为正数，故－>0，∴a<0.综上所述，a<－2.‎ ‎(2)(2018·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)‎ A．[－1,0) B．[0，＋∞)‎ C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)‎ 答案　C 解析　令h(x)＝－x－a，‎ 则g(x)＝f(x)－h(x)．‎ 在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)图象的示意图，如图所示．‎ 15‎ 若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象可知，当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点，‎ 此时1＝－0－a，a＝－1.‎ 当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a<－1时，仅有1个交点，不符合题意；‎ 当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a>－1时，有2个交点，符合题意．‎ 综上，a的取值范围为[－1，＋∞)．‎ 故选C.‎ 思维升华　(1)方程f(x)＝g(x)根的个数即为函数y＝f(x)和y＝g(x)图象交点的个数．‎ ‎(2)关于x的方程f(x)－m＝0有解，m的范围就是函数y＝f(x)的值域．‎ 跟踪演练2　(1)已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是(　　)‎ A．(0,1] B．[1，＋∞)‎ C．(0,1)∪(1,2) D．(－∞，1)‎ 答案　A 解析　∵函数f(x)＝(a∈R)在R上有两个零点，且x＝是函数f(x)的一个零点，‎ ‎∴方程2x－a＝0在(－∞，0]上有一个解，‎ 再根据当x∈(－∞，0]时，0<2x≤20＝1，可得00时，f(x)＝，则f′(x)＝(x>0)，‎ 故f(1)＝为f(x)在(0，＋∞)上的最大值．‎ 设t＝f(x)，t2－(m＋1)t＋1－m＝0 有两个根t1，t2，‎ 由图可知，对应两个x值的t值只有一个，‎ 故可设t1对应一个x值，t2对应3个x值．‎ 情况为或 当属于第一种情况时，将0代入方程得m＝1，‎ 此时二次方程t2－(m＋1)t＋1－m＝0的根是确定的，一个为0，一个为2>，不符合第一种情况的要求；‎ 当属于第二种情况时， 即0，x∈R)．若f(x)在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是______________．‎ 答案　∪ 解析　f(x)＝＋sin ωx－ ‎＝(sin ωx－cos ωx)＝sin.‎ 因为函数f(x)在区间(π，2π)内没有零点，‎ 所以>2π－π，所以>π，所以0<ω<1.‎ 当x∈(π，2π)时，ωx－∈，若函数f(x)在区间(π，2π)内有零点，‎ 则ωπ－1时，0<<1，如图②，‎ 要使f(x)与g(x)的图象在[0,1]上只有一个交点，‎ 只需g(1)≤f(1)，即1＋m≤(m－1)2，‎ 解得m≥3或m≤0(舍去)．‎ 综上所述，m∈(0,1]∪[3，＋∞)．‎ ‎3．(2017·江苏)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，f(x)＝其中集合D＝，则方程f(x)－lg x＝0的解的个数是________．‎ 答案　8‎ 解析　由于f(x)∈[0,1)，则只需考虑1≤x<10的情况，在此范围内，当x∈Q，且x∉Z时，设x＝，p，q∈N*，p≥2且p，q互质．若lg x∈Q，则由lg x∈(0,1)，可设lg x＝，m，n∈N*，m≥2且m，n互质．因此＝，‎ 则10n＝m，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾．因此lg x∉Q，因此lg x不可能与每个周期内x∈D对应的部分相等，只需考虑lg x与每个周期内x∉D部分的交点，画出函数草图．图中交点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期内x∉D部分，且x 15‎ ‎＝1处(lg x)′＝＝<1，则在x＝1附近仅有1个交点，因此方程解的个数为8.‎ 押题预测 ‎1．f(x)＝2sin πx－x＋1的零点个数为(　　)‎ A．4 B．5‎ C．6 D．7‎ 押题依据　函数的零点是高考的一个热点，利用函数图象的交点确定零点个数是一种常用方法．‎ 答案　B 解析　令2sin πx－x＋1＝0，则2sin πx＝x－1，令h(x)＝2sin πx，g(x)＝x－1，则f(x)＝2sin πx－x＋1的零点个数问题就转化为两个函数h(x)与g(x)图象的交点个数问题．h(x)＝2sin πx的最小正周期为T＝＝2，画出两个函数的图象，如图所示，因为h(1)＝g(1)，h>g，g(4)＝3>2，g(－1)＝－2，所以两个函数图象的交点一共有5个，所以f(x)＝2sin πx－x＋1的零点个数为5.‎ ‎2．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．[－1,1) B．[0,2]‎ C．(－2,2] D．[－1,2)‎ 押题依据　利用函数零点个数可以得到函数图象的交点个数，进而确定参数范围，较好地体现了数形结合思想．‎ 答案　D 解析　g(x)＝f(x)－2x＝要使函数g(x)恰有三个不同的零点，只需g(x)＝0恰有三个不同的实数根，‎ 所以或 15‎ 所以g(x)＝0的三个不同的实数根为x＝2(x>a)，‎ x＝－1(x≤a)，x＝－2(x≤a)．‎ 再借助数轴，可得－1≤a<2.‎ 所以实数a的取值范围是[－1,2)，故选D.‎ ‎3．已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，且当0≤x≤2时，f(x)＝min{－x2＋2x,2－x}，若方程f(x)－mx＝0恰有两个实根，则m的取值范围是(　　)‎ A.∪ B.∪ C.∪ D.∪ 押题依据　在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，先研究特殊位置，结合函数的性质，利用数形结合法，构建关于参数的不等式(组)求解．‎ 答案　C 解析　当0≤x<1时，－x2＋2x<2－x，当1≤x≤2时，－x2＋2x≥2－x，所以f(x)＝又因为f(x)是偶函数，且是以4为周期的周期函数，作出函数f(x)的图象(图略)，直线y＝mx与y＝－x2＋2x的图象相切时，m＝2，直线y＝mx经过点(3,1)时，与函数f(x)的图象有三个交点，此时m＝，故x≥0时，要使方程f(x)－mx＝0恰有两个实根，则0，f ＝－>0，f ＝－<0，f f <0，‎ 所以函数f(x)在区间内必有零点，故选B.‎ ‎2．(2018·绍兴市柯桥区模拟)已知x0是函数f(x)＝e－x＋的零点，若x1∈(0，x0)，x2∈(x0,2)，则(　　)‎ A．f(x1)<0，f(x2)<0‎ B．f(x1)<0，f(x2)>0‎ C．f(x1)>0，f(x2)<0‎ D．f(x1)>0，f(x2)>0‎ 答案　C 解析　函数f(x)的定义域为{x|x≠2}，又e－x>0，且x<2时，<0，故f(x)的零点x0∈(－∞，2)，求导得f′(x)＝－e－x－<0，则函数f(x)在区间(－∞，2)，(2，＋∞)上单调递减，由0f(x0)>f(x2)，即f(x1)>0，f(x2)<0，故选C.‎ ‎3．已知定义在R上的奇函数f(x)满足当x>0时，f(x)＝2x＋2x－4，则f(x)的零点个数是(　　)‎ A．2 B．‎3 C．4 D．5‎ 答案　B 解析　由于函数f(x)是定义在R上的奇函数，‎ 故f(0)＝0.‎ 由于f ·f(2)<0，‎ 而函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，‎ 故当x>0时有1个零点，根据奇函数的对称性可知，‎ 当x<0时，也有1个零点．故一共有3个零点．‎ ‎4．已知函数f(x)＝x2＋2x－(x<0)与g(x)＝x2＋log2(x＋a)的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－) B．(－∞，)‎ C. D. 15‎ 答案　B 解析　f(x)＝x2＋2x－(x<0)，‎ 当x>0时，－x<0，f(－x)＝x2＋2－x－(x>0)，‎ 所以f(x)关于y轴对称的函数为h(x)＝f(－x)＝x2＋2－x－(x>0)，‎ 由题意得x2＋2－x－＝x2＋log2(x＋a)在x>0时有解，作出函数的图象如图所示，‎ 当a≤0时，函数y＝2－x－与y＝log2(x＋a)的图象在(0，＋∞)上必有交点，符合题意，‎ 若a>0，若两函数在(0，＋∞)上有交点，则log‎2a<，‎ 解得00)，最多有1个解，‎ 即有x＝≥π，解得00，y单调递增，‎ 则ymin＝1－ln＝1＋ln 2>0，‎ 则当x∈(0，＋∞)时，恒有2x－ln x>0，‎ 令g′(x)＝0，得x＝1或x＝e，‎ 且x∈(0,1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；‎ x∈时，g′(x)>0，g(x)单调递增；‎ x∈时，g′(x)<0，g(x)单调递减，‎ 则g(x)的极小值为g(1)＝1，‎ g(x)的极大值为g(e)＝－，‎ 当x→0时，g(x)→＋∞，‎ 当x→＋∞时，g(x)→1.‎ 结合函数图象(图略)可得，‎ 当10时，由对称性知，‎ x2＋x3＝2,0