高考数学题难题巧解思路与方法 30页

高考数学题难题巧解思路与方法 一、定义法求解 所谓定义法，就是直接用数学定义解题。选择题的命题侧重于对圆锥曲线定义的考查，凡题目中涉及焦半径、通径、准线、离心率及离心率的取值范围等问题，用圆锥曲线的第一和第二定义解题，是一种重要的解题策略。‎ ‎【例1】（2008年，山东卷，理10）设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26. 若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为（ ）‎ ‎ （A） （B）‎ ‎ （C） （D）‎ ‎【巧解】由题意椭圆的半焦距为，双曲线上的点满足　∴点的轨迹是双曲线，其中，，∴，故双曲线方程为，∴选（A）‎ 巧练一：（2008年，陕西卷）双曲线的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ 巧练二：（2008年，辽宁卷）已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）‎ ‎ （A） （B）3 （C） （D）‎ ‎【例2】（2009年高考福建卷，理13）过抛物线的焦点F作倾斜角为450的直线交抛物线于A、B两点，线段AB的长为8，则 ．‎ ‎【巧解】依题意直线的方程为，由消去得：‎ ‎，设，，∴，根据抛物线的定义。‎ ‎，，∴，∴，‎ 故本题应填2。‎ 二、代入法求解 若动点依赖于另一动点而运动，而点的轨迹方程已知（也可能易于求得）且可建立关系式，，于是将这个点的坐标表达式代入已知（或求得）曲线的方程，化简后即得点的轨迹方程，这种方法称为代入法，又称转移法或相关点法。‎ ‎【例1】（2009年高考广东卷）已知曲线：与直线：交于两点和，且，记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D.设点是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合.若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程；‎ ‎【巧解】联立与得，则中点，‎ 设线段 的中点坐标为，则，‎ 即，又点在曲线上，‎ ‎∴化简可得，又点是上的任一点，‎ 且不与点和点重合，则，即，‎ ‎∴中点的轨迹方程为（）.‎ ‎【例2】（2008年，江西卷）设 在直线上，过点作双曲线的两条切线、，切点为、，定点M。 过点A作直线的垂线，垂足为N，试求的重心G所在的曲线方程。‎ ‎【巧解】设，由已知得到，且，，（1）垂线的方程为：，‎ 由得垂足，设重心 所以 解得 ‎ 由 可得 ‎ 即为重心所在曲线方程 巧练一：（2005年，江西卷）如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.，求△APB的重心G的轨迹方程.‎ 巧练二：（2006年，全国I卷）在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P 处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量，求点M的轨迹方程 三、直接求解法 直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，从而确定选择支的方法叫直接法。从近几年全国各地的高考数学试题来看，绝大大部分选择题的解答用的是此法。但解题时也要“盯住选项特点”灵活做题，一边计算，一边对选项进行分析、验证，或在选项中取值带入题设计算，验证、筛选而迅速确定答案。‎ ‎【例1】（2009年高考全国II卷）已知双曲线的右焦点为F，过F且斜率为的直线交C于A、B两点。若，则C的离心率为（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎【巧解】设，，，由，得 ‎∴，设过点斜率为的直线方程为，‎ 由消去得：，‎ ‎∴ ， 将 代入得化简得 ‎ ，∴，‎ 化简得：，∴，，即。‎ 故本题选（A）‎ ‎【例2】（2008年，四川卷）设定义在上的函数满足，若 ‎，则（ ）‎ ‎ （A）13 （B）2 （C） （D）‎ ‎【巧解】∵，∴‎ ‎∴函数为周期函数，且，∴‎ 故选（C）‎ 巧练一：（2008年，湖北卷）若上是减函数，则b的取值范围是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ 巧练二：（2008年，湖南卷）长方体ABCD—A1B‎1C1D1的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=AA1=1，则顶点A、B间的球面距离是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ 四、向量坐标法 向量坐标法是一种重要的数学思想方法，通过坐标化，把长度之间的关系转化成坐标之间的关系，使问题易于解决，并从一定程度上揭示了问题的数学本质。在解题实践中若能做到多用、巧用和活用，则可源源不断地开发出自己的解题智慧，必能收到事半功倍的效果。‎ ‎【例1】（2008年，广东卷）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F. 若=a，=b，则=（ ）‎ A x y O B D C E ‎ A．a +b B．a +b C．a +b D．a +b ‎【巧解】如图所示，选取边长为2的正方形 则，，，，，‎ ‎∴直线的方程为，联立得 ‎∴，设，则 ‎∴解之得，，∴，故本题选B ‎【例2】已知点为内一点，且0，则、、的面积之比等于 （ ）‎ ‎ A．9：4：1 B．1：4：‎9 ‎ C．3：2：1 D．1：2：3‎ A B C x y O ‎【巧解】不妨设为等腰三角形，‎ ‎，建立如图所示的直角坐标系，则点 ‎，，设，‎ ‎∵0，即 ‎∴解之得，，即，又直线的方程为，则点到直线的距离，∵，因此，，，故选C 巧练一：（2008年，湖南卷）设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且（ ）‎ ‎ A．反向平行 B．同向平行 C．互相垂直 D．既不平行也不垂直 巧练二：设是内部一点，且，则与面积之比是 .‎ 五、查字典法 查字典是大家比较熟悉的，我们用类似“查字典”的方法来解决数字排列问题中数字比较大小的问题，避免了用分类讨论法时容易犯的重复和遗漏的错误，给人以“神来之法”‎ 的味道。利用“查字典法”解决数字比较大小的排列问题的思路是“按位逐步讨论法”（从最高位到个位），查首位时只考虑首位应满足题目条件的情况；查前“2”位时只考虑前“２”位中第“2”个数应满足条件的情况；依次逐步讨论，但解题中既要注意数字不能重复，又要有充分的理论准备，如奇、偶问题，3的倍数和5的倍数的特征，0的特性等等。以免考虑不全而出错。‎ ‎【例1】（2007年，四川卷）用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（ ）‎ ‎ （A）288个 （B）240个 （C）144个 （D）126个 ‎【巧解】本题只需查首位，可分3种情况，① 个位为0，即 型，首位是2，3，4，5中的任一个，此时个数为； ②个位为2，即， 此种情况考虑到万位上不为0，则万位上只能排3，4，5，所以个数为；③个位为4， 型，此种特点考虑到万位上不为0，则万位上只能排2，3，5，所以个数为；故共有个。故选（B）‎ ‎【例2】（2004年全国II卷）在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（ ） ‎ ‎ A．56个 B．57个 C．58个 D．60个 ‎【巧解】（1）查首位：只考虑首位大于2小于4的数，仅有1种情况：即型，此特点只需其它数进行全排列即可。有种，‎ ‎（2）查前２位：只考虑前“２”位中比３既大又小的数，有4种情况：‎ ‎，，，型，而每种情况均有种满足条件，故共有种。‎ ‎（3）查前３位：只考虑前“3”位中既比１大又小于5的数，有4种情况：‎ ‎，，，型，而每种情况均有种满足条件，故共有种。‎ ‎（3）查前4位：只考虑前“4”位中既比4大又小于2的数，此种情况只有 ‎ ‎ 23154和43512两种情况满足条件。故共有个，故选C ‎ 巧练一：用数字可以组成没有重复数字，并且不大于4310的四位偶数共有（ ）‎ A．110种 B．109种 C．108种 D．107种 巧练二：（2007年，四川卷）用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字,并且比20000大的五位偶数共有（ ）‎ ‎ （A）48个 （B）36个 （C）24个 （D）18个 六、挡板模型法 挡板模型法是在解决排列组合应用问题中，对一些不易理解且复杂的排列组合问题，当元素相同时，可以通过设计一个挡板模型巧妙解决，否则，如果分类讨论，往往费时费力，同时也难以解决问题。‎ ‎【例1】体育老师把9个相同的足球放入编号为1，2，3的三个箱中，要求每个箱子放球的个数不少于其编号，则不同的放球方法有 （ ）‎ ‎ A．8种 B．10种 C．12种 D．16种 ‎【巧解】先在2号盒子里放1个小球，在3号盒子里放2个小球，余下的6个小球排成一排为：，只需在6个小球的5个空位之间插入2块挡板，如：，每一种插法对应着一种放法，故共有不同的放法为种. 故选B ‎【例2】两个实数集，，若从A到B的映射使得B中每个元素都有原象，且，则这样的映射共有（ ）个 A． B． C． D．‎ ‎【巧解】不妨设两个集合中的数都是从小到大排列，将集合的50个数视为50个相同的小球排成一排为：，然后在50个小球的49个空位中插入24块木板，每一种插法对应着一种满足条件对应方法，故共有不同映射共有种. 故选 B 巧练一：两个实数集合A={a1, a2, a3,…, a15}与B={b1, b2, b3,…, b10}，若从A到B的是映射f使B中的每一个元素都有原象，且f(a1)≤f(a2) ≤…≤f(a10)1）‎ ‎ C.（x<－1） D. （x>1）‎ 巧练二：（2004年，重庆卷）不等式的解集是（ ） ‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ 九、极限化法 极限化法是在解选择题时,有一些任意选取或者变化的元素,我们对这些元素的变化趋势进行研究,分析它们的极限情况或者极端位置,并进行估算,以此来判断选择的结果.这种通过动态变化,或对极端取值来解选择题的方法是一种极限化法.‎ ‎【例1】正三棱锥中，在棱上，在棱上，使，‎ 设为异面直线与所成的角，为异面直线与所成的角，则的值是 （ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎【巧解】当时，，且，从而。因为，排除选择支故选D（或时的情况，同样可排除），所以选D ‎【例2】若，当＞1时，的大小关系是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【巧解】当时，，，，故，所以选B 巧练一：若的大小关系 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．与x的取值有关 巧练二：对于任意的锐角，下列不等关系式中正确的是（ ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D） ‎ 十、整体化法 整体化法是在解选择题时,有时并不需要把题目精解出来,而是从题目的整体去观察,分析和把握,通过整体反映的性质或者对整体情况的估算,确定具体问题的结果,例如,对函数问题,有时只需要研究它的定义域,值域,而不一定关心它的解析示式,对函数图象,有时可以从它的整体变化趋势去观察,而不一定思考具体的对应关系,或者对4个选项进行比较以得出结论,或者从整体,从全局进行估算,而忽略具体的细节等等,都可以缩短解题过程,这是一种从整体出发进行解题的方法.‎ ‎【例1】已知是锐角，那么下列各值中，可能取到的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【巧解】∵，又是锐角，∴‎ ‎，∴，即，故选B ‎【例2】(2002年,全国卷)据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》指出“2001年国内生产总值达到95933亿元,比上一年增长7.3%.”如果“十·五”期间(2001-2005年)每年的国内生产总值按此年增长率增长,那么,到“十·五”末,我国国内生产总值约为（ ）‎ ‎20080523‎ ‎（A）115000亿元 (B)120000亿元 ‎ ‎(C) 127000亿元 (D)135000亿元 ‎【巧解】 注意到已知条件给出的数据非常精确, 2001年国内生产总值达到亿元,精确到亿元,而四个选项提供的数据都是近似值, 精确到千亿元,即后三位都是0,因此,可以从整体上看问题,忽略一些局部的细节.‎ 把亿元近似地视为亿元,又把近似地视为,这样一来,就有 ‎20080523‎ ‎ ‎ O x y ‎2‎ 巧练一： 如图所示为三角函数，（的图象的一部分，则此函数的周期可能是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 巧练二：（全国卷）如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为（ ）‎ ‎（A） （B）5 ‎ ‎（C）6 （D）‎ 十一、参数法 在解题过程中，适当引入一个或几个新变量代替原式中的某些量，使得原式中仅含有这些新变量，以此作为媒介，在进行分析和综合，然后对新变量求出结果，从而解决问题的方法叫参数法。‎ ‎【例1】（2008年，安徽卷）设椭圆过点，且左焦点为 ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）当过点的动直线与椭圆相交于两不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上。‎ ‎【巧解】(1)由题意： ，解得，所求椭圆方程为 ‎ ‎(2) 由得：设点Q、A、B的坐标分别为。由题设知均不为零，记,则且，又A，P，B，Q四点共线，从而，‎ 于是 ， ， ， ‎ 从而 ，① ，②‎ 又点A、B在椭圆C上，即 ‎ ③ ④‎ ‎ ①②并结合③，④得,即点总在定直线上。‎ ‎【例2】（2004年，辽宁卷）设椭圆方程为，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程；‎ ‎【巧解】直线l过点M（0，1）设其斜率为k，则l的方程为 记、由题设可得点A、B的坐标、是方程组 ‎②‎ ‎①‎ ‎ 的解.‎ 将①代入②并化简得，，所以 于是 设点P的坐标为则 消去参数k得 ③‎ 当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P的轨迹方程为 巧练一：（2008年，全国I卷）直线通过点，则有 （ ）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ 巧练二： 如图，已知直线l与抛物线相切于点P(2，1)，且与x轴交于点A，O为坐标原点，定点B的坐标为（2，0）.‎ ‎ （I）若动点M满足，求点M的轨迹C；‎ ‎ （II）若过点B的直线l′（斜率不等于零）与（I）中的轨迹C交于不同的两点E、F（E在B、F之间），试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围.‎ 十二、交轨法 如果所求轨迹是两条动曲线（包括直线）的交点所得，其一般方法是恰当地引进一个参数，写出两条动曲线的方程，消去参数，即得所求的轨迹方程，所以交轨法是参数法的一种特殊情况。‎ ‎【例1】已知椭圆C： ,短轴一个端点到右焦点的距离为.‎ ‎ （Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎ （Ⅱ）设直线经过椭圆的焦点F交椭圆C交于A、B两点,分别过A、B作椭圆的两条切线，A、B为切点，求两条切线的交点的轨迹方程。‎ ‎【巧解】（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，依题意解之得 ‎，所求椭圆方程为．‎ ‎（Ⅱ）由（I）知，设，，，对椭圆 求导：，即，则过A点的切线方程为 整理得 ① 同理过B点的切线方程为 ②，又在两切线、上，∴‎ ‎，因此，，两点在均在直线上，‎ 又∵在直线上，∴，即为交点的轨迹方程 ‎【例2】过抛物线C：上两点M，N的直线交y轴于点P（0，b）.‎ ‎ （Ⅰ）若∠MON是钝角（O为坐标原点），求实数b的取值范围；‎ ‎ （Ⅱ）若b=2，曲线C在点M，N处的切线的交点为Q.证明：点Q必在一条定直线上 运动.‎ ‎【巧解】（Ⅰ）设点M，N坐标分别为由题意可设直线方程为y=kx+b,‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）当b=2时，由（Ⅰ）知 ‎∵函数y=x2的导数y′=2x，‎ 抛物线在两点处切线的斜率分别为∴在点M，N处的切线方程分别为 巧练一：已知定点A（1，0）和定直线上的两个动点E、F，满足，动点P满足（其中O为坐标原点）.‎ ‎ （Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；‎ ‎ （Ⅱ）设直线经过点与轨迹C交于A、B两点,分别过A、B作轨迹C的两条切线，A、B为切点，求两条切线的交点的轨迹方程。‎ 巧练二：如图，在以点O为圆心，|AB|=4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点，∠POB=30°. 曲线C是满足||MA|－|MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.‎ ‎ （Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；‎ ‎ （Ⅱ）设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F.‎ ‎ 分别过E、F.作轨迹C的两条切线，E、F.为切点，‎ 求两条切线的交点的轨迹方程。‎ 十三、几何法 利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律，然后得出题目结论的方法叫做几何法。‎ ‎【例1】(2008年，浙江卷)已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足 的最大值是（ ）‎ ‎ （A）1 （B）2 （C） （D）‎ O x y C ‎【巧解】不妨设以、所在直线为轴，轴，且，，‎ 由已知得，‎ 整理得 即，所以向量的坐标是以为圆心，‎ 为半径的一个圆且过原点，故的最大值即为圆的直径为，故本题选（C）‎ ‎【例2】（2008年，江苏卷）若AB=2，AC=的最大值 .‎ ‎【巧解】建立如图平面直角坐标系，设，，，由 B(2,0)‎ A x y 即，∴，‎ 化简得 配方得，所以点轨迹是以为圆心，‎ 为半径的一个圆（除去与轴的两个交点），所以当点纵坐标绝对值为，即时，有最大值为，所以答案为 巧练一：已知，，其中，则的最小值为 .‎ 巧练二：已知实数、满足，则的最大值等于 .‎ 十四、弦中点轨迹法 有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦重点轨迹。“点差法”解决有关弦中点问题较方便，要点是巧代斜率。‎ ‎【例1】（2009年高考海南、宁夏卷）已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为，直线与抛物线C相交于A，B两点，若AB的中点为（2，2），则直线的方程为 .‎ ‎【巧解】由知抛物线C的方程为，设，，代入抛物线方程则有：，，两式相减有，‎ 即，又，∴，即。‎ 故：，即，∴本题应填 ‎【例2】椭圆与直线交于、两点，若过原点与线段中点的直线的倾斜角为，则的值为 （ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【巧解】设的中点为，，，则 ‎，又，两式相减，得 ‎，‎ 即，∴‎ ‎∴，又，∴，故选（B）‎ 巧练一：若椭圆与直线交于、两点，过原点与线段中点的直线的斜率为，则的值为 .‎ 巧练二：若椭圆的弦被点平分，则此弦所在直线的斜率是为 .‎ 十五、比较法 现实世界的同类量之间，有相等关系，也有不等关系。两个可以比较大小的量和，若，，，则它们分别表示，，，我们把根据两个量的差的正、负或零判断两个量不等或相等的方法叫做差式比较法；当两个量均为正值时，有时我们又可以根据，或来判断，，，这个方法叫做商式比较法。这两种方法在数列与函数、不等式交汇问题中应用广泛。‎ 比较法之一（作差法0步骤：作差——变形——定号——结论 ‎（1）作差：对要比较大小的两个数（或式）作差。‎ ‎（2）变形：常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”。‎ ‎（3）定号：就是确定是大于，还是等于，还是小于，最后下结论。‎ 概括为“三步，一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键。‎ 注意：若两个正数作差比较有困难，可以把式子灵活变形，通过作商或将它们的平方差来比较大小。‎ ‎【例1】已知数列中，，且点在直线上 ‎ （1）求的通项公式；‎ ‎ （2）若函数，求函数的最小值.‎ ‎【巧解】（1）点在直线上，即且 ‎ 数列是以为首项，为公差的等差数列 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ （2），‎ ‎ ‎ ‎ 是单调递增的，故的最小值是 ‎【例2】（Ⅰ）已知函数是数列的前n项和，点（n，Sn）（n∈N*），在曲线上，求an.‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若，且Tn是数列{cn}的前n项和.试问Tn是否存在最大值？若存在，请求出Tn的最大值，若不存在，请说明理由.‎ ‎【巧解】（Ⅰ）点（n，Sn）在曲线上，所以 当n=1时，a1= S1=3，当n≥2时，an= Sn- Sn-1=9-6n，‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）‎ 利用错位相减法， ‎ ‎ ‎ 存在最大值 ‎ 巧练一：（2005年，全国卷）若，则 （ ）‎ ‎ A．a