大学课件 高等数学 4-4(几类可积初等函数的不定积分) 31页

有理函数的定义： 两个多项式的商表示的函数称之 . 一、有理函数的积分 假定分子与分母之间没有公因式 这有理函数是 真分式 ； 这有理函数是 假分式 ； 利用多项式除法 , 假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和 . 例 难点 将有理函数化为部分分式之和 . （ 1 ）分母中若有因式 ，则分解后为 有理函数化为部分分式之和的一般规律： 特殊地： 分解后为 （ 2 ）分母中若有因式 ，其中 则分解后为 特殊地： 分解后为 真分式化为部分分式之和的 待定系数法 例 1 代入特殊值来确定系数 取 取 取 并将 值代入 例 2 例 3 整理得 例 4 求积分 解 例 5 求积分 解 例 6 求积分 解 令 说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况： 多项式； 讨论积分 令 则 记 这三类积分均可积出 , 且原函数都是初等函数 . 结论 有理函数的原函数都是初等函数 . 三角有理式的定义： 由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之．一般记为 二、三角函数有理式的积分 令 （万能置换公式） 例 7 求积分 解 由万能置换公式 例 8 求积分 解（一） 解（二） 修改万能置换公式 , 令 解（三） 可以不用万能置换公式 . 结论 比较以上三种解法 , 便知万能置换不一定是最佳方法 , 故三角有理式的计算中先考虑其它手段 , 不得已才用万能置换 . 例 9 求积分 解 讨论类型 解决方法 作代换去掉根号 . 例 10 求积分 解 令 三、简单无理函数的积分 例 11 求积分 解 令 说明 无理函数去根号时 , 取根指数的 最小公倍数 . 例 12 求积分 解 先对分母进行有理化 原式 简单无理式的积分 . 有理式分解成部分分式之和的积分 . （注意：必须化成真分式） 三角有理式的积分 . （万能置换公式） （注意：万能公式并不万能） 四、小结 思考题 将分式分解成部分分式之和时应注意什么？ 思考题解答 分解后的部分分式必须是最简分式 .