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  • 2021-05-17 发布

高等数学的教学课件 1-1(函数)

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第一章 函数与极限 第一节 函数 一、常量与变量 二、实数集与绝对值 三、函数概念 四、函数性质 五、由已知函数产生新函数 六、常见函数 七、小结 一、常量与变量 常量 : 在所研究的过程中只取一个定值 变量 : 在所研究的过程中可以取不同的值 常量与变量是 相对的 . 区间 是指介于某两个实数之间的全体实数 . 这两个实数叫做区间的端点 . 称为 开区间 , 称为 闭区间 , 二、实数集与绝对值 有限区间 无限区间 称为 半开半闭区间 . 全体实数的集合 R 也可记作 是无限区间 . 区间长度 : 两端点间的距离 ( 线段的长度 ) 今后在不需要辨明所论区间是否包含 有限区间、 称它为 “ 区间 ” , 常用 I 表示 . 无限区间的场合 , 注 端点、 简单地 绝对值 : 绝对值不等式 : 数集 即 邻域 , 记作 几何表示 邻域 有时简记为 去心 ( 空心 ) 即 在逻辑推理过程中最常用的两个逻辑记号 “ ” 表示 “对每一个” , 或 “任取 ” , 或“任意给定” ; “ ” 表示 “存在 ” , 或“至少存在一个” , 或“能够找到” . 如 实数的阿基米德 ( Archimedes ) 公理 : 任意给定两个正的实数 a , b, 都存在一个 自然数 n, 用逻辑符号 将 阿基米德 公理改写 : 练习 逻辑符号 三、函数的概念 定义 设数集 自变量 因变量 定义域 (domain) 定义中 , 按对应法则 f , 总有 唯一 确定的值 y 与之对应 , 这个值称为函数 f 在 x 处的 函数值 , 记作 函数值 全体组成的集合称为 range 记作 即 函数 f 的 值域 , 记为 注 (2) 函数的记号 : 除常用的 f 外 , 如 相应地 , 函数可记作 : 等 , 等 , 也可记作 : 在同一个问题中 , 讨论到几个不同的函数时 , 要用不同的函数符号 . 构成函数的 是 两个不同的函数 . ( 因为定义域不同 ). 如 与对应法则 f . 定义域 两个要素 : (1) (4) 对应的函数值 y 总是唯一的 , 否则称为 如 是多值函数 , 它的两个单值支是 : 单值函数 , 多值函数 . 约定 : 今后 无特别说明 时 , 函数是指单值函数 . 这种函数称为 含义的区别 : 自变量 x 和因变量 y 之间的对应法则 ; 与自变量 x 对应的函数值 ; 为由它所确定的函数 f . (3) 即 简称函数表示法的 (5) 而与用什么字母无关 , 无关特性 , 函数的表示法只与定义域和对应法则有关 , 定义域 一般有两种 : (1) 实际定义域 自变量所能取的使算式有意义的 定义区间 . 由问题的实际意义所确定 . (2) 自然定义域 函数的定义域常用区间来表示 , 又可称为 : 一切实数组成的集合 . 例 解 常用的函数关系表示法 列表法 ; 主要有 三种形式 公式法 ( 解析法 ). 各种表示法 , 都有其 优点和不足 . 图象法 ; 公式法 ( 解析法 ) 图象法 列表法 今后以公式法为主 , 便于进行理论分析和计算 ; 形象直观 , 富有启发性 , 便于记忆 ; 便于查找函数值 , 但它常常是不完全的 . 也可用语言描述 . 配合使用图形法和表格法 . 取自变量在横轴上 变化 , 在平面直角坐标系中 , 因变量在纵轴上变化 , 则函数的图形是指 平面点集 : 通常是一条或几条 曲线 ( 包括直线 ). 中的集合 函数的图形 ( 图象 ) 四、函数的简单性态 增量 注: 注: 1. 均匀性 均匀变化问题的广泛性: 物理上: 数学上: 经济上: 均匀变化 都可以用 线性函数 来表示 . 定理 1. 单调 如果对 恒有 monotone 2. 单调性 (monotonicity) 增加 ; increasing 减少 ; decreasing 注 2. 应指明单调区间 , 否则会产生错误 , 例 : 解 . >0 >0? <0? 容易看出 : 不难验证 : 3. 有界性 (bounded) 定义 . 例 . 注 有界的几何意义如左下图 . 有界 无界 : 无界 定理 2. 注 : 显然 , 有界等同于既有上界又有下界 . 偶函数的图形 称 f ( x ) 为 偶函数 (even function); 4. 奇偶性 奇函数的图形 称 f ( x ) 为 奇函数 (odd function). 注 (1) 不要把奇偶函数当作两个完全相反的 概念 . (2) 奇偶性是对称区间而言的 , 否则无从谈 奇、偶 . 的 周期 . 周期函数 (period function). 如果存在一个 正数 且总有 称为 f ( x ) 通常称周期函数的 周期 是指 最小正周期 . 周期为 的周期函数 设函数 f ( x ) 的定义域为 D , 则称 f ( x ) 是 5. 周期性 (periodicity) 例 狄利克雷 (Dirichlet) 函数 狄利克雷 ( 德 )1805-1859 有理数点 无理数点 • 1 x y o ( 当 x 是有理函数时 ) ( 当 x 是无理函数时 ) 这是一个 周期函数 , 任何正有理数 r 都是它 的 周期 . 因为不存在最小的正有理数 , 所以没有 最小正 周期 . 五、由已知函数产生新函数 1. 函数的四则运算 类似地 , 可以定义两个函数的差、积、商, 多个 函数的和、差、积、商 . 也可以 推广 到 2. 复合函数 注 例 . 3. 反函数 ( inverse function) 定义 . 注 ( 减 ) , 而且反函数也是 单调递增 ( 减 ). 在什么条件下 , ? 一个函数存在反函数 反函数存在定理 若直接函数 在 D 上单调递增 单射 于是函数 f : 则它必存在反函数 六、常见函数 1) 幂函数 (power function) (basic elementary function) (1) 基本初等函数 2) 指数函数 (exponential function) 定义域为 值域为 3) 对数函数 (logarithm function) 定义域为 值域为 4) 三角函数 (trigonometric function) 正弦函数 定义域为 值域为 余弦函数 定义域为 值域为 正切函数 余切函数 定义域 值域 定义域 值域 5) 反三角函数 (inverse trigonometric function) 定义域 值域 主值 反正弦函数 定义域 值域 主值 反余弦函数 主值 定义域 值域 反正切函数 反余切函数 主值 定义域 值域 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为 基本初等函数 . (2) 初等函数 (elementary function) 及其分解 初等函数 . 如 都是初等函数 . 不是初等函数 . 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算 ( 加、减、乘、除 ) 和有限次的函数复合步骤所构 成并可用 一个式子表示 的函数 , 称为 初等函数的分解: 分解由外到内 (3) 分段函数 七、小结 反函数 , 初等函数 . 函数 函数的几种特性 复合函数 , 均匀性 , 有界性 , 单调性 , 奇偶性 , 周期性 . 集合 集合概念 , 集合的运算 , 区间 , 邻域 函数的 定义 , 定义域 对应法则 函数的两要素