高考数学专题复习课件：9-3 圆的方程 48页

§9.3 　圆的方程 [ 考纲要求 ] 　 1. 掌握确定圆的几何要素 .2. 掌握圆的标准方程与一般方程． 1 ．圆的定义 在平面内，到 _____ 的距离等于 _____ 的点的 ______ 叫圆． 2 ．确定一个圆最基本的要素是 _____ 和 ______ ． 3 ． 圆的标准方程 ( x － a ) 2 ＋ ( y － b ) 2 ＝ r 2 ( r >0) ，其中 ______ 为圆心， __ 为半径． 定长 定点 集合 圆心 半径 ( a ， b ) r 5 ．确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为 (1) 根据题意，选择标准方程或一般方程； (2) 根据条件列出关于 a ， b ， r 或 D ， E ， F 的方程组； (3) 解出 a ， b ， r 或 D ， E ， F 代入标准方程或一般方程． 6 ．点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种． 圆的标准方程 ( x － a ) 2 ＋ ( y － b ) 2 ＝ r 2 ，点 M ( x 0 ， y 0 ) (1) 点在圆上： ______________________ ； (2) 点在圆外： ______________________ ； (3) 点在圆内： _______________________ ． ( x 0 － a ) 2 ＋ ( y 0 － b ) 2 ＝ r 2 ( x 0 － a ) 2 ＋ ( y 0 － b ) 2 > r 2 ( x 0 － a ) 2 ＋ ( y 0 － b ) 2 < r 2 【 思考辨析 】 　判断下面结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “ ×” ) (1) 确定圆的几何要素是圆心与半径． ( 　　 ) (2) 已知点 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ，则以 AB 为直径的圆的方程是 ( x － x 1 )( x － x 2 ) ＋ ( y － y 1 )( y － y 2 ) ＝ 0.( 　　 ) (3) 方程 Ax 2 ＋ Bxy ＋ Cy 2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0 表示圆的充要条件是 A ＝ C ≠ 0 ， B ＝ 0 ， D 2 ＋ E 2 － 4 AF >0.( 　　 ) 【 答案 】 (1) √ 　 (2) √ 　 (3) √ 　 (4) × 　 (5) × 　 (6) √ 1 ． ( 教材改编 ) x 2 ＋ y 2 － 4 x ＋ 6 y ＝ 0 的圆心坐标是 ( 　　 ) A ． (2 ， 3) 　　　　　　　　　　 B ． ( － 2 ， 3) C ． ( － 2 ，－ 3) D ． (2 ，－ 3) 【 答案 】 D 【 答案 】 D 3 ． (2015· 北京 ) 圆心为 (1 ， 1) 且过原点的圆的方程是 ( 　　 ) A ． ( x － 1) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 1 　　 B ． ( x ＋ 1) 2 ＋ ( y ＋ 1) 2 ＝ 1 C ． ( x ＋ 1) 2 ＋ ( y ＋ 1) 2 ＝ 2 D ． ( x － 1) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 2 【 答案 】 D 4 ． ( 教材改编 ) 圆 C 在圆心在 x 轴上，并且过点 A ( － 1 ， 1) 和 B (1 ， 3) ，则圆 C 的方程为 ________ ． 【 解析 】 设圆心坐标为 C ( a ， 0) ， ∵ 点 A ( － 1 ， 1) 和 B (1 ， 3) 在圆 C 上， ∴ | CA | ＝ | CB | ， 【 答案 】 ( x － 2) 2 ＋ y 2 ＝ 10 5 ． (2015· 湖北 ) 如图，已知圆 C 与 x 轴相切于点 T (1 ， 0) ，与 y 轴正半轴交于两点 A ， B ( B 在 A 的上方 ) ，且 | AB | ＝ 2. (1) 圆 C 的标准方程为 ____________________________ ； (2) 圆 C 在点 B 处的切线在 x 轴上的截距为 ________ ． (2) 根据下列条件，求圆的方程． ① 经过 P ( － 2 ， 4) ， Q (3 ，－ 1) 两点，并且在 x 轴上截得的弦长等于 6 ； ② 圆心在直线 y ＝－ 4 x 上，且与直线 l ： x ＋ y － 1 ＝ 0 相切于点 P (3 ，－ 2) ． 由 ① 、 ② 、 ④ 解得 D ＝－ 2 ， E ＝－ 4 ， F ＝－ 8 ， 或 D ＝－ 6 ， E ＝－ 8 ， F ＝ 0. 故所求圆的方程为 x 2 ＋ y 2 － 2 x － 4 y － 8 ＝ 0 ，或 x 2 ＋ y 2 － 6 x － 8 y ＝ 0. ② 方法一 如图，设圆心 ( x 0 ，－ 4 x 0 ) ， 【 方法规律 】 (1) 直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2) 待定系数法 ① 若已知条件与圆心 ( a ， b ) 和半径 r 有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于 a ， b ， r 的方程组，从而求出 a ， b ， r 的值； ② 若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于 D 、 E 、 F 的方程组，进而求出 D 、 E 、 F 的值． 【 答案 】 (1)D 　 (2)( x － 2) 2 ＋ y 2 ＝ 5 命题点 2 　截距型最值问题 【 例 3 】 在例 2 条件下，求 y － x 的最小值和最大值． 命题点 3 　距离型最值问题 【 例 4 】 在例 2 条件下，求 x 2 ＋ y 2 的最大值和最小值． 【 方法规律 】 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略 (1) 与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解． 跟踪训练 2 (1) (2016· 重庆四校模拟 ) 设 P 是圆 ( x － 3) 2 ＋ ( y ＋ 1) 2 ＝ 4 上的动点， Q 是直线 x ＝－ 3 上的动点，则 | PQ | 的最小值为 ( 　　 ) A ． 6 　　　　　　　　　　　　　 B ． 4 C ． 3 D ． 2 【 解析 】 | PQ | 的最小值为圆心到直线的距离减去半径．因为圆的圆心为 (3 ，－ 1) ，半径为 2 ，所以 | PQ | 的最小值 d ＝ 3 － ( － 3) － 2 ＝ 4. 【 答案 】 B 题型三　与圆有关的轨迹问题 【 例 5 】 设定点 M ( － 3 ， 4) ，动点 N 在圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 4 上运动，以 OM 、 ON 为两边作平行四边形 MONP ，求点 P 的轨迹． 【 解析 】 如图所示，设 P ( x ， y ) ， N ( x 0 ， y 0 ) ， 【 方法规律 】 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： ① 直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． ② 定义法：根据圆、直线等定义列方程． ③ 几何法：利用圆的几何性质列方程． ④ 代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等． 跟踪训练 3 已知圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 4 上一定点 A (2 ， 0) ， B (1 ， 1) 为圆内一点， P ， Q 为圆上的动点． (1) 求线段 AP 中点的轨迹方程； (2) 若 ∠ PBQ ＝ 90 ° ，求线段 PQ 中点的轨迹方程． 【 解析 】 (1) 设 AP 的中点为 M ( x ， y ) ，由中点坐标公式可知， P 点坐标为 (2 x － 2 ， 2 y ) ． 因为 P 点在圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 4 上， 所以 (2 x － 2) 2 ＋ (2 y ) 2 ＝ 4 ， 故线段 AP 中点的轨迹方程为 ( x － 1) 2 ＋ y 2 ＝ 1. (2) 设 PQ 的中点为 N ( x ， y ) ，连接 BN . 在 Rt △ PBQ 中， | PN | ＝ | BN |. 设 O 为坐标原点，连接 ON ，则 ON ⊥ PQ ， 所以 | OP | 2 ＝ | ON | 2 ＋ | PN | 2 ＝ | ON | 2 ＋ | BN | 2 ， 所以 x 2 ＋ y 2 ＋ ( x － 1) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 4. 故线段 PQ 中点的轨迹方程为 x 2 ＋ y 2 － x － y － 1 ＝ 0. 思想与方法系列 19 利用几何性质巧设方程求半径 【 典例 】 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 y ＝ x 2 － 6 x ＋ 1 与坐标轴的交点都在圆 C 上，求圆 C 的方程． 【 思维点拨 】 本题可采用两种方法解答，即代数法和几何法． 【 规范解答 】 一般解法 ( 代数法 ) 曲线 y ＝ x 2 － 6 x ＋ 1 与 y 轴的交点为 (0 ， 1) ， 【 温馨提醒 】 (1) 一般解法 ( 代数法 ) ：可以求出曲线 y ＝ x 2 － 6 x ＋ 1 与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式． (2) 巧妙解法 ( 几何法 ) ：利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算．显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题 . ► 方法与技巧 1 ．确定一个圆的方程，需要三个独立条件． “ 选形式、定参数 ” 是求圆的方程的基本方法，是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数． 2 ．解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算． ► 失误与防范 1 ．求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程． 2 ．过圆外一定点，求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况 .