高中数学必修1教案第一章 1_1_3 第2课时补集及集合运算的综合应用 7页

第2课时　补集及集合运算的综合应用 ‎[学习目标]　1.了解全集的意义和它的记法．理解补集的概念，能正确运用补集的符号和表示形式，会用图形表示一个集合及其子集的补集.2.会求一个给定集合在全集中的补集，并能解答简单的应用题．‎ ‎[知识链接]‎ 上课前，老师让班长统计班内的出勤情况，班长看看教室里的同学，就知道哪些同学未到，这么短的时间，他是如何做到的呢？‎ ‎[预习导引]‎ ‎1．全集 ‎(1)定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．‎ ‎(2)记法：全集通常记作U.‎ ‎2．补集 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁U A 符号语言 ‎∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}‎ 图形语言 ‎3.补集的性质 ‎∁UU＝∅，∁U∅＝U，∁U(∁U A)＝A.‎ 要点一　简单的补集运算 例1　(1)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则∁U A等于(　　)‎ A．{1,2} B．{3,4,5}‎ C．{1,2,3,4,5} D．∅‎ ‎(2)若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}，则∁U A＝________.‎ 答案　(1)B　(2){x|x＜1}‎ 解析　(1)∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，‎ ‎∴∁UA＝{3,4,5}．‎ ‎(2)由补集的定义，结合数轴可得∁U A＝{x|x＜1}．‎ 规律方法　1.根据补集定义，当集合中元素离散时，可借助Venn图；当集合中元素连续时，可借助数轴，利用数轴分析法求解．‎ ‎2．解题时要注意使用补集的几个性质：∁UU＝∅，∁U∅＝U，A∪(∁U A)＝U.‎ 跟踪演练1　已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3＜x≤4}，则∁U A＝________.‎ 答案　{x|x＝－3，或x＞4}‎ 解析　借助数轴得∁U A＝{x|x＝－3，或x＞4}．‎ 要点二　交集、并集、补集的综合运算 例2　(1)已知集合A、B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩∁UB等于(　　)‎ A．{3} B．{4}‎ C．{3,4} D．∅‎ ‎(2)设集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(∁RS)∪T等于(　　)‎ A．{x|－2＜x≤1} B．{x|x≤－4}‎ C．{x|x≤1} D．{x|x≥1}‎ 答案　(1)A　(2)C 解析　(1)∵U＝{1,2,3,4}，∁U(A∪B)＝{4}，‎ ‎∴A∪B＝{1,2,3}．又∵B＝{1,2}，‎ ‎∴{3}⊆A⊆{1,2,3}．‎ 又∁UB＝{3,4}，‎ ‎∴A∩∁UB＝{3}．‎ ‎(2)因为S＝{x|x＞－2}，所以∁RS＝{x|x≤－2}．‎ 而T＝{x|－4≤x≤1}，‎ 所以(∁RS)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}‎ ‎＝{x|x≤1}．‎ 规律方法　1.集合的交、并、补运算是同级运算，因此在进行集合的混合运算时，有括号的先算括号内的，然后按照从左到右的顺序进行计算．‎ ‎2．当集合是用列举法表示时，如数集，可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时，如不等式形式表示的集合，则可借助数轴求解．‎ 跟踪演练2　设全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，求∁R(A∪B)及(∁RA)∩B.‎ 解　把全集R和集合A、B在数轴上表示如下：‎ 由图知，A∪B＝{x|2＜x＜10}，‎ ‎∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥10}．‎ ‎∵∁RA＝{x|x＜3，或x≥7}，‎ ‎∴(∁RA)∩B＝{x|2＜x＜3，或7≤x＜10}．‎ 要点三　补集的综合应用 例3　已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜－1}，B＝{x|2a＜x＜a＋3}，且B⊆∁R A，求a的取值范围．‎ 解　由题意得∁RA＝{x|x≥－1}．‎ ‎(1)若B＝∅，则a＋3≤2a，即a≥3，满足B⊆∁RA.‎ ‎(2)若B≠∅，则由B⊆∁RA，得2a≥－1且2a＜a＋3，‎ 即－≤a＜3.‎ 综上可得a≥－.‎ 规律方法　1.与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情况；‎ ‎2．不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集．‎ 跟踪演练3　已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x＜－1，或x＞0}，若A∩(∁RB)＝∅，求实数a的取值范围．‎ 解　∵B＝{x|x＜－1，或x＞0}，‎ ‎∴∁RB＝{x|－1≤x≤0}，‎ 因而要使A∩(∁RB)＝∅，结合数轴分析(如图)，‎ 可得a≤－1.‎ ‎1．若全集M＝{1,2,3,4,5}，N＝{2,4}，则∁MN等于(　　)‎ A．∅ B．{1,3,5}‎ C．{2,4} D．{1,2,3,4,5}‎ 答案　B 解析　∁MN＝{1,3,5}，所以选B.‎ ‎2．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则B∩∁UA等于(　　)‎ A．{2} B．{3,4}‎ C．{1,4,5} D．{2,3,4,5}‎ 答案　B 解析　∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，‎ ‎∴∁UA＝{3,4,5}，‎ ‎∴B∩∁UA＝{2,3,4}∩{3,4,5}＝{3,4}．‎ ‎3．已知M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M ∩N，则P的子集共有(　　)‎ A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 答案　B 解析　∵P＝{1,3}，∴子集有22＝4个．‎ ‎4.已知全集U＝Z，集合A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，则图中阴影部分所表示的集合为(　　)‎ A．{－1,2} B．{－1,0}‎ C．{0,1} D．{1,2}‎ 答案　A 解析　图中阴影部分表示的集合为(∁UA)∩B，因为A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，所以(∁UA)∩B＝{－1,2}．‎ ‎5．若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，则∁UA＝________.‎ 答案　{x|0＜x＜1}‎ 解析　∵A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，‎ ‎∴∁UA＝{x|0＜x＜1}．‎ ‎1.对集合中含参数的元素，要由条件先求出参数再作集合的运算．‎ ‎2．集合是实数集的真子集时，其交、并、补运算要结合数轴进行．‎ ‎3．有些较复杂的集合的运算可以先化简再进行．如(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)，计算等号前的式子需三次运算，而计算等号后的式子需两次运算．‎ 一、基础达标 ‎1．已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)等于(　　)‎ A．{1,3,4} B．{3,4} C．{3} D．{4}‎ 答案　D 解析　∵A＝{1,2}，B＝{2,3}，∴A∪B＝{1,2,3}，‎ ‎∴∁U(A∪B)＝{4}．‎ ‎2．已知A＝{x|x＋1＞0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(∁RA)∩B等于(　　)‎ A．{－2，－1} B．{－2}‎ C．{－1,0,1} D．{0,1}‎ 答案　A 解析　因为集合A＝{x|x＞－1}，‎ 所以∁RA＝{x|x≤－1}，‎ 则(∁RA)∩B＝{x|x≤－1}∩{－2，－1,0,1}‎ ‎＝{－2，－1}．‎ ‎3．设U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，则A∩(∁UB)等于(　　)‎ A．{x|0≤x＜1} B．{x|0＜x≤1}‎ C．{x|x＜0} D．{x|x＞1}‎ 答案　B 解析　∁UB＝{x|x≤1}，∴A∩(∁UB)＝{x|0＜x≤1}．‎ ‎4．设全集U是实数集R，M＝{x|x＜－2，或x＞2}，N＝{x|1≤x≤3}．如图所示，则阴影部分所表示的集合为(　　)‎ A．{x|－2≤x＜1} B．{x|－2≤x≤3}‎ C．{x|x≤2，或x＞3} D．{x|－2≤x≤2}‎ 答案　A 解析　阴影部分所表示的集合为∁U(M∪N)＝(∁UM)∩(∁UN)＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x＜1或x＞3}＝{x|－2≤x＜1}．故选A.‎ ‎5．已知集合A＝{x|0≤x≤5}，B＝{x|2≤x＜5}，则∁AB＝________.‎ 答案　{x|0≤x＜2，或x＝5}‎ 解析　如图：‎ 由数轴可知：∁AB＝{x|0≤x＜2，或x＝5}．‎ ‎6．设全集U＝R，集合A＝{x|x≥0}，B＝{y|y≥1}，则∁UA与∁UB的包含关系是________．‎ 答案　∁UA∁UB 解析　∵∁UA＝{x|x＜0}，∁UB＝{y|y＜1}＝{x|x＜1}．‎ ‎∴∁UA∁UB.‎ ‎7．已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x≤2}，B＝{x|－1＜x≤3}，P＝，‎ ‎(1)求A∩B；‎ ‎(2)求(∁UB)∪P；‎ ‎(3)求(A∩B)∩(∁UP)．‎ 解　(1)A∩B＝{x|－1＜x≤2}．‎ ‎(2)∵∁UB＝{x|x≤－1，或x＞3}，‎ ‎∴(∁UB)∪P＝.‎ ‎(3)∵∁UP＝，‎ ‎∴(A∩B)∩(∁UP)＝{x|－1＜x≤2}∩＝{x|0＜x≤2}．‎ 二、能力提升 ‎8．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A∪(∁RB)＝R，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．a≤1 B．a＜1‎ C．a≥2 D．a＞2‎ 答案　C 解析　如图所示，若能保证并集为R，则只需实数a在数2的右边(含端点2)，所以a≥2.‎ ‎9．如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是(　　)‎ A．(M∩P)∩S B．(M∩P)∪S C．(M∩P)∩(∁IS) D．(M∩P)∪(∁IS)‎ 答案　C 解析　依题意，由题干图知，阴影部分对应的元素a具有性质a∈M，a∈P，a∈∁IS, 所以阴影部分所表示的集合是(M∩P)∩(∁IS)，故选C.‎ ‎10．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．‎ 答案　12‎ 解析　设两项运动都喜欢的人数为x，画出Venn图得到方程 ‎15－x＋x＋10－x＋8＝30‎ ‎⇒x＝3，‎ 所以，喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15－3＝12(人)．‎ ‎11．已知A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x|m≤x＜1＋3m}．‎ ‎(1)当m＝1时，求A∪B；‎ ‎(2)若B⊆∁RA，求实数m的取值范围．‎ 解　(1)m＝1，B＝{x|1≤x＜4}，‎ A∪B＝{x|－1＜x＜4}．‎ ‎(2)∁RA＝{x|x≤－1，或x＞3}．‎ 当B＝∅时，即m≥1＋3m得m≤－，满足B⊆∁RA，‎ 当B≠∅时，使B⊆∁RA成立，‎ 则或解得m＞3.‎ 综上可知，实数m的取值范围是 .‎ 三、探究与创新 ‎12．已知集合A＝{x|－4≤x≤－2}，集合B＝{x|x－a≥0}．‎ ‎(1)若A⊆B，求a的取值范围；‎ ‎(2)若全集U＝R，且A⊆(∁UB)，求a的取值范围．‎ 解　∵A＝{x|－4≤x≤－2}，B＝{x|x≥a}，‎ ‎(1)由A⊆B，结合数轴(如图所示)‎ 可知a的范围为a≤－4.‎ ‎(2)∵U＝R，∴∁UB＝{x|x＜a}，要使A⊆∁UB，‎ 须a＞－2.‎ ‎13．若集合A＝{x|ax2＋3x＋2＝0}中至多有一个元素，求实数a的取值范围．‎ 解　假设集合A中含有2个元素，即ax2＋3x＋2＝0有两个不相等的实数根，则解得a＜且a≠0，则a的取值范围是{a|a＜，且a≠0}．‎ 在全集U＝R中，集合{a|a＜，且a≠0}的补集是{a|a≥，或a＝0}，‎ 所以满足题意的a的取值范围是{a|a≥，或a＝0}．‎