2020高中数学 课时分层作业4 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）新人教A版选修2-2 5页

课时分层作业(四)　基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)‎ ‎(建议用时：40分钟)‎ ‎[基础达标练]‎ 一、选择题 ‎1．下列函数不是复合函数的是(　　)‎ A. y＝－x3－＋1　 B．y＝cos C．y＝ D．y＝(2x＋3)4‎ A　[A不是复合函数，B、C、D均是复合函数，其中B是由y＝cos u，u＝x＋复合而成；C是由y＝，u＝ln x复合而成；D是由y＝u4，u＝2x＋3复合而成．]‎ ‎2．函数y＝xln(2x＋5)的导数为(　　)‎ ‎ 【导学号：31062032】‎ A．ln(2x＋5)－ B．ln(2x＋5)＋ C．2xln(2x＋5) D． B　[∵y＝xln(2x＋5)，∴y′＝ln(2x＋5)＋.]‎ ‎3．函数y＝(ex＋e－x)的导数是(　　)‎ A．(ex－e－x) B．(ex＋e－x)‎ C．ex－e－x D．ex＋e－x A　[y′＝(ex＋e－x)′＝(ex－e－x)．]‎ ‎4．当函数y＝(a＞0)在x＝x0处的导数为0时，那么x0等于(　　)‎ A．a B．±a C．－a D．a2‎ B　[y′＝′＝＝，‎ 由x－a2＝0得x0＝±a.]‎ ‎5．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．－1 D．－2‎ 5‎ B　[设切点坐标是(x0，x0＋1)，‎ 依题意有 由此得x0＋1＝0，x0＝－1，a＝2.]‎ 二、填空题 ‎6．f(x)＝且f′(1)＝2，则a的值为________. ‎ ‎【导学号：31062033】‎ ‎[解析]　∵f(x)＝(ax2－1)，‎ ‎∴f′(x)＝(ax2－1) (ax2－1)′＝.‎ 又f′(1)＝2，∴＝2，∴a＝2.‎ ‎[答案]　2‎ ‎7．若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．‎ ‎(e，e)　[设P(x0，y0)．∵y＝xln x，‎ ‎∴y′＝ln x＋x·＝1＋ln x.‎ ‎∴k＝1＋ln x0.又k＝2，‎ ‎∴1＋ln x0＝2，∴x0＝e.‎ ‎∴y0＝eln e＝e.‎ ‎∴点P的坐标是(e，e)．]‎ ‎8．点P是f(x)＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－1的最短距离是__________．‎ ‎[解析]　与直线y＝x－1平行的f(x)＝x2的切线的切点到直线y＝x－1的距离最小．设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝2x0＝1，‎ ‎∴x0＝，y0＝.即P到直线y＝x－1的距离最短．∴d＝＝.‎ ‎[答案]　 三、解答题 ‎9．求下列函数的导数.‎ ‎ 【导学号：31062034】‎ ‎(1)y＝ln(ex＋x2)；‎ ‎(2)y＝102x＋3；‎ ‎(3)y＝sin4x＋cos4x.‎ ‎[解]　(1)令u＝ex＋x2，则y＝ln u.‎ 5‎ ‎∴y′x＝y′u·u′x＝·(ex＋x2)′＝·(ex＋2x)＝.‎ ‎(2)令u＝2x＋3，则y＝10u，∴y′x＝y′u·u′x＝10u·ln 10·(2x＋3)′＝2×102x＋3ln 10.‎ ‎(3)y＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2 x·cos2 x＝1－sin2 2x＝1－(1－cos 4x)＝＋cos 4x.‎ ‎∴y′＝－sin 4x.‎ ‎10．曲线y＝esin x在(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程．‎ ‎[解]　∵y＝esin x，∴y′＝esin xcos x，‎ ‎∴y′|x＝0＝1.‎ ‎∴曲线y＝esin x在(0,1)处的切线方程为 y－1＝x，即x－y＋1＝0.‎ 又直线l与x－y＋1＝0平行，故可设为x－y＋m＝0.‎ 由＝得m＝－1或3.‎ ‎∴直线l的方程为：x－y－1＝0或x－y＋3＝0. ‎ ‎[能力提升练]‎ ‎1．曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为(　　)‎ A． B． C． D．1‎ A　[依题意得y′＝e－2x·(－2)＝－2e－2x，y′|x＝0＝‎ ‎－2e－2×0＝－2.‎ 曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线方程是y－2＝－2x，即y＝－2x＋2.在坐标系中作出直线y＝－2x＋2、y＝0与y＝x的图象，因为直线y＝－2x＋2与y＝x的交点坐标是，直线y＝－2x＋2与x轴的交点坐标是(1,0)，结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积等于×1×＝.]‎ ‎2．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　　)‎ 5‎ A. B. C. D. D　[因为y＝，‎ 所以y′＝＝＝.‎ 因为ex>0，所以ex＋≥2，所以y′∈[－1,0)，所以tan α∈[－1,0)．‎ 又因为α∈[0，π)，‎ 所以α∈.]‎ ‎3．函数y＝ln 在x＝0处的导数为________.‎ ‎ 【导学号：31062035】‎ ‎[解析]　y＝ln ＝ln ex－ln(1＋ex)＝x－ln(1＋ex)，‎ 则y′＝1－.当x＝0时，y′＝1－＝.‎ ‎[答案]　 ‎4．已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________．‎ ‎[解析]　(1)设x＞0，则－x＜0，f(－x)＝ln x－3x，又f(x)为偶函数，f(x)＝ln x－3x，f′(x)＝－3，f′(1)＝－2，切线方程为y＝－2x－1.‎ ‎[答案]　y＝－2x－1‎ ‎5．(1)已知f(x)＝eπxsin πx，求f′(x)及f′；‎ ‎(2)在曲线y＝上求一点，使过该点的切线平行于x轴，并求切线方程．‎ ‎[解]　(1)∵f(x)＝eπxsin πx，‎ ‎∴f′(x)＝πeπxsinπx＋πeπxcos πx ‎＝πeπx(sin πx＋cos πx)．‎ ‎∴f′＝πe ‎＝πe.‎ 5‎ ‎(2)设切点的坐标为P(x0，y0)，由题意可知y′|x＝x0＝0.‎ 又y′＝，‎ ‎∴y′|x＝x0＝＝0.‎ 解得x0＝0，此时y0＝1.‎ 即该点的坐标为(0,1)，切线方程为y－1＝0.‎ 5‎