高考数学专题复习课件：8-3空间点、直线、平面之间的位置关系 48页

§8.3 　空间点、直线、平面之间的位置关系 [ 考纲要求 ] 　 1. 理解空间直线、平面位置关系的定义 .2. 了解可以作为推理依据的公理和定理 .3. 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题． 1 ． 平面的基本性质 (1) 公理 1 ：如果一条直线上的 ______ 在一个平面内，那么这条直线在此平面内． (2) 公理 2 ：过 ____________________ 的三点，有且只有一个平面． 两点 不在一条直线上 (3) 公理 3 ：如果两个不重合的平面有 ______ 公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． (4) 公理 2 的三个推论 推论 1 ：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面； 推论 2 ：经过两条 ______ 直线有且只有一个平面； 推论 3 ：经过两条 ______ 直线有且只有一个平面． 一个 相交 平行 (3) 平行公理：平行于 ____________ 的两条直线互相平行． (4) 定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 _______________ ． 3 ． 直线与平面、平面与平面之间的位置关系 (1) 直线与平面的位置关系有 ______ 、 ______ 、 ________ 三种情况． (2) 平面与平面的位置关系有 _____ 、 ______ 两种情况． 4 ． 等角定理 空间中如果两个角的 _________________ ，那么这两个角相等或互补． 同一条直线 相等或互补 相交 平行 在平面内 平行 相交 两边分别对应平行 【 思考辨析 】 　判断下面结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “ ×” ) (1) 如果两个不重合的平面 α ， β 有一条公共直线 a ，就说平面 α ， β 相交，并记作 α ∩ β ＝ a .( 　　 ) (2) 两个平面 α ， β 有一个公共点 A ，就说 α ， β 相交于过 A 点的任意一条直线． ( 　　 ) (3) 两个平面 α ， β 有一个公共点 A ，就说 α ， β 相交于 A 点，并记作 α ∩ β ＝ A .( 　　 ) (4) 两个平面 ABC 与 DBC 相交于线段 BC .( 　　 ) (5) 经过两条相交直线，有且只有一个平面． ( 　　 ) (6) 没有公共点的两条直线是异面直线． ( 　　 ) 【 答案 】 (1) √ 　 (2) × 　 (3) × 　 (4) × 　 (5) √ 　 (6) × 1 ．下列命题正确的个数为 ( 　　 ) ① 梯形可以确定一个平面； ② 若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行； ③ 两两相交的三条直线最多可以确定三个平面； ④ 如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合． A ． 0 　　　　　　　　　　　　 B ． 1 C ． 2 D ． 3 【 解析 】 ② 中两直线可以平行、相交或异面， ④ 中若三个点在同一条直线上，则两个平面相交， ①③ 正确． 【 答案 】 C 2 ． (2017· 江西七校联考 ) 已知直线 a 和平面 α ， β ， α ∩ β ＝ l ， a ⊄ α ， a ⊄ β ，且 a 在 α ， β 内的射影分别为直线 b 和 c ，则直线 b 和 c 的位置关系是 ( 　　 ) A ．相交或平行 B ．相交或异面 C ．平行或异面 D ．相交、平行或异面 【 解析 】 依题意，直线 b 和 c 的位置关系可能是相交、平行或异面． 【 答案 】 D 3 ． ( 教材改编 ) 两两平行的三条直线可确定 ________ 个平面． 【 解析 】 三直线共面确定 1 个，三直线不共面，每两条确定 1 个，可确定 3 个． 【 答案 】 1 或 3 【 答案 】 45 ° 　 60 ° 【 答案 】 ④ 题型一　平面基本性质的应用 【 例 1 】 如图所示，正方体 ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 中， E ， F 分别是 AB 和 AA 1 的中点．求证： (1) E ， C ， D 1 ， F 四点共面； (2) CE ， D 1 F ， DA 三线共点． 【 证明 】 (1) 如图，连接 EF ， CD 1 ， A 1 B . ∵ E ， F 分别是 AB 、 AA 1 的中点， ∴ EF ∥ BA 1 . 又 A 1 B ∥ D 1 C ， ∴ EF ∥ CD 1 ， ∴ E ， C ， D 1 ， F 四点共面． (2) ∵ EF ∥ CD 1 ， EF < CD 1 ， ∴ CE 与 D 1 F 必相交， 设交点为 P ，如图所示，则由 P ∈ CE ， CE ⊂ 平面 ABCD ， 得 P ∈ 平面 ABCD . 同理 P ∈ 平面 ADD 1 A 1 . 又平面 ABCD ∩ 平面 ADD 1 A 1 ＝ DA ， ∴ P ∈ 直线 DA . ∴ CE ， D 1 F ， DA 三线共点． 【 方法规律 】 公理 1 是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理 2 及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理 3 是证明三线共点或三点共线的依据． (1) 证明：四边形 BCHG 是平行四边形； (2) C ， D ， F ， E 四点是否共面？为什么？ 题型二　判断空间两直线的位置关系 【 例 2 】 (1)(2015· 广东 ) 若直线 l 1 和 l 2 是异面直线， l 1 在平面 α 内， l 2 在平面 β 内， l 是平面 α 与平面 β 的交线，则下列命题正确的是 ( 　　 ) A ． l 与 l 1 ， l 2 都不相交 B ． l 与 l 1 ， l 2 都相交 C ． l 至多与 l 1 ， l 2 中的一条相交 D ． l 至少与 l 1 ， l 2 中的一条相交 (2) (2017· 福建六校联考 ) 设 a ， b ， c 是空间中的三条直线，下面给出四个命题： ① 若 a ∥ b ， b ∥ c ，则 a ∥ c ； ② 若 a ⊥ b ， b ⊥ c ，则 a ∥ c ； ③ 若 a 与 b 相交， b 与 c 相交，则 a 与 c 相交； ④ 若 a ⊂ 平面 α ， b ⊂ 平面 β ，则 a ， b 一定是异面直线． 上述命题中正确的命题是 ________( 写出所有正确命题的序号 ) ． (3) 在图中， G ， N ， M ， H 分别是正三棱柱 ( 两底面为正三角形的直棱柱 ) 的顶点或所在棱的中点，则表示直线 GH ， MN 是异面直线的图形有 ________ ． ( 填上所有正确答案的序号 ) 【 解析 】 (1) 若 l 与 l 1 ， l 2 都不相交，则 l ∥ l 1 ， l ∥ l 2 ， ∴ l 1 ∥ l 2 ，这与 l 1 和 l 2 异面矛盾， ∴ l 至少与 l 1 ， l 2 中的一条相交． (2) 由公理 4 知 ① 正确；当 a ⊥ b ， b ⊥ c 时， a 与 c 可以相交、平行或异面，故 ② 错；当 a 与 b 相交， b 与 c 相交时， a 与 c 可以相交、平行，也可以异面，故 ③ 错； a ⊂ α ， b ⊂ β ，并不能说明 a 与 b “ 不同在任何一个平面内 ” ，故 ④ 错． (3) 图 ① 中，直线 GH ∥ MN ； 图 ② 中， G ， H ， N 三点共面，但 M ∉ 面 GHN ， 因此直线 GH 与 MN 异面； 图 ③ 中，连接 MG ， GM ∥ HN ，因此 GH 与 MN 共面； 图 ④ 中， G ， M ， N 共面，但 H ∉ 面 GMN ， 因此 GH 与 MN 异面．所以图 ②④ 中 GH 与 MN 异面． 【 答案 】 (1)D 　 (2) ① 　 (3) ②④ 【 方法规律 】 空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定．对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形 ( 梯形 ) 中位线的性质、公理 4 及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决． 跟踪训练 2 (2017· 浙江金丽衢十二校二联 ) 已知 a ， b ， c 为三条不同的直线，且 a ⊂ 平面 α ， b ⊂ 平面 β ， α ∩ β ＝ c . ① 若 a 与 b 是异面直线，则 c 至少与 a ， b 中的一条相交； ② 若 a 不垂直于 c ，则 a 与 b 一定不垂直； ③ 若 a ∥ b ，则必有 a ∥ c ； ④ 若 a ⊥ b ， a ⊥ c ，则必有 α ⊥ β . 其中正确的命题的个数是 ( 　　 ) A ． 0 　　　　　　　　　　　　　 B ． 1 C ． 2 D ． 3 【 解析 】 ① 中若 a 与 b 是异面直线，则 c 至少与 a ， b 中的一条相交，故 ① 正确； ② 中平面 α ⊥ 平面 β 时，若 b ⊥ c ，则 b ⊥ 平面 α ，此时不论 a ， c 是否垂直，均有 a ⊥ b ，故 ② 错误； ③ 中当 a ∥ b 时，则 a ∥ 平面 β ，由线面平行的性质定理可得 a ∥ c ，故 ③ 正确； ④ 中若 b ∥ c ，则 a ⊥ b ， a ⊥ c 时， a 与平面 β 不一定垂直，此时平面 α 与平面 β 也不一定垂直，故 ④ 错误，所以正确命题的个数是 2. 【 答案 】 C 【 解析 】 (1) 取 A 1 C 1 的中点 E ，连接 B 1 E ， ED ， AE ， 【 答案 】 (1)60 ° 　 (2)A 【 方法规律 】 (1) 求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点 ( 线段的端点或中点 ) 作平行线平移；补形平移． (2) 求异面直线所成的角的三步曲：即 “ 一作、二证、三求 ” ． 其中空间选点任意，但要灵活，经常选择 “ 端点、中点、等分 点 ” ，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解． 跟踪训练 3 (1) (2017· 济南一模 ) 在正四棱锥 V ABCD 中，底面正方形 ABCD 的边长为 1 ，侧棱长为 2 ，则异面直线 VA 与 BD 所成角的大小为 ________ ． (2) 直三棱柱 ABC A 1 B 1 C 1 中，若 ∠ BAC ＝ 90 ° ， AB ＝ AC ＝ AA 1 ，则异面直线 BA 1 与 AC 1 所成的角等于 ( 　　 ) A ． 30 ° B ． 45 ° C ． 60 ° D ． 90 ° 【 解析 】 (1) 如图，设 AC ∩ BD ＝ O ，连接 VO ，因为四棱锥 V ABCD 是正四棱锥，所以 VO ⊥ 平面 ABCD ，故 BD ⊥ VO . ∴ AC 1 ∥ BD 1 . ∴ BA 1 与 AC 1 所成角的大小为 ∠ A 1 BD 1 . 又易知 △ A 1 BD 1 为正三角形， ∴∠ A 1 BD 1 ＝ 60 ° . 即 BA 1 与 AC 1 成 60 ° 的角． 思想与方法系列 15 构造模型判断空间线面位置关系 【 典例 】 已知 m ， n 是两条不同的直线， α ， β 为两个不同的平面，有下列四个命题： ① 若 m ⊥ α ， n ⊥ β ， m ⊥ n ，则 α ⊥ β ； ② 若 m ∥ α ， n ∥ β ， m ⊥ n ，则 α ∥ β ； ③ 若 m ⊥ α ， n ∥ β ， m ⊥ n ，则 α ∥ β ； ④ 若 m ⊥ α ， n ∥ β ， α ∥ β ，则 m ⊥ n . 其中所有正确的命题是 ( 　　 ) A ． ①④ B ． ②④ C ． ① D ． ④ 【 思维点拨 】 构造一个长方体模型，找出适合条件的直线与平面，在长方体内判断它们的位置关系． 【 解析 】 借助于长方体模型来解决本题，对于 ① ，可以得到平面 α ， β 互相垂直，如图 (1) 所示，故 ① 正确；对于 ② ，平面 α 、 β 可能垂直，如图 (2) 所示，故 ② 不正确；对于 ③ ，平面 α 、 β 可能垂直，如图 (3) 所示，故 ③ 不正确；对于 ④ ，由 m ⊥ α ， α ∥ β 可得 m ⊥ β ，因为 n ∥ β ，所以过 n 作平面 γ ，且 γ ∩ β ＝ g ，如图 (4) 所示，所以 n 与交线 g 平行，因为 m ⊥ g ，所以 m ⊥ n ，故 ④ 正确． 【 答案 】 A 【 温馨提醒 】 (1) 构造法实质上是结合题意构造合题意的直观模型，然后将问题利用模型直观地作出判断，这样减少了抽象性，避免了因考虑不全面而导致解题错误； (2) 对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断 . ► 方法与技巧 1 ．主要题型的解题方法 (1) 要证明 “ 线共面 ” 或 “ 点共面 ” 可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内 ( 即 “ 纳入法 ” ) ． (2) 要证明 “ 点共线 ” 可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理 3 可知这些点在交线上，因此共线． 2 ．判定空间两条直线是异面直线的方法 (1) 判定定理：平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过点 B 的直线是异面直线． (2) 反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面． 3 ．求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决．根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上 ( 线面的端点或中点 ) 利用三角形求解．