高考数学专题复习课件：4-5 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 46页

§4.5 　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 [ 考纲要求 ] 　 1. 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式 .2. 能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式 .3. 能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系 .4. 能运用上述公式进行简单的恒等变换 ( 包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆 ) ． 1 ．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos( α － β ) ＝ cos α cos β ＋ sin α sin β 　 (C ( α － β ) ) cos( α ＋ β ) ＝ ________________________ 　 (C ( α ＋ β ) ) sin( α － β ) ＝ _________________________ 　 (S ( α － β ) ) sin( α ＋ β ) ＝ ________________________ 　 (S ( α ＋ β ) ) cos α cos β － sin α sin β sin α cos β － cos α sin β sin α cos β ＋ cos α sin β 【 思考辨析 】 　判断下面结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “ ×” ) (1) 存在实数 α ， β ，使等式 sin( α ＋ β ) ＝ sin α ＋ sin β 成立． ( 　　 ) (2) 在锐角 △ ABC 中， sin A sin B 和 cos A cos B 大小不确定． ( 　　 ) 【 答案 】 (1) √ 　 (2) × 　 (3) × 　 (4) √ 　 (5) √ 【 答案 】 B 【 答案 】 B 【 答案 】 A 4 ． (2017· 南昌二中模拟 ) 在 △ ABC 中，如果 cos( B ＋ A ) ＋ 2sin A sin B ＝ 1 ，那么 △ ABC 的形状是 ________ ． 【 解析 】 ∵ cos( B ＋ A ) ＋ 2sin A sin B ＝ 1 ， ∴ cos A cos B ＋ sin A sin B ＝ 1 ， ∴ cos( A － B ) ＝ 1 ，在 △ ABC 中， A － B ＝ 0 ⇒ A ＝ B ，所以此三角形是等腰三角形． 【 答案 】 等腰三角形 【 方法规律 】 (1) 使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征． (2) 使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值． 【 答案 】 (1)A 　 (2)C 【 答案 】 (1)B 　 (2)C 【 方法规律 】 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如 tan α ＋ tan β ＝ tan( α ＋ β )·(1 － tan α tan β ) 和二倍角的余弦公式的多种变形等．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力． 【 答案 】 (1)A 　 (2)B 【 方法规律 】 (1) 解决三角函数的求值问题的关键是把 “ 所求角 ” 用 “ 已知角 ” 表示． ① 当 “ 已知角 ” 有两个时， “ 所求角 ” 一般表示为两个 “ 已知角 ” 的和或差的形式； ② 当 “ 已知角 ” 有一个时，此时应着眼于 “ 所求角 ” 与 “ 已知角 ” 的和或差的关系，然后应用诱导公式把 “ 所求角 ” 变成 “ 已知角 ” ． 【 温馨提醒 】 在解决三角函数式的求值问题时，要注意题目中角的范围的限制，特别是进行开方运算时一定要注意所求三角函数值的符号．另外，对题目隐含条件的挖掘也是容易忽视的问题，解题时要加强对审题深度的要求与训练，以防出错 . 2 ．重视三角函数的 “ 三变 ” ： “ 三变 ” 是指 “ 变角、变名、变式 ” ；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求 ( 或所证明 ) 问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形． ► 失误与防范 1 ．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意 “ 1” 的各种变通． 2 ．在三角函数求值时，一定不要忽视题中给出的或隐含的角的范围．