高考数学专题复习课件：5-2 平面向量基本定理及坐标表示 44页

§ 5.2 　平面向量基本定理及坐标表示 [ 考纲要求 ] 　 1. 了解平面向量基本定理及其意义； 2. 掌握平面向量的正交分解及坐标表示； 3. 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算； 4. 理解用坐标表示的平面向量共线的条件． 1 ．平面向量基本定理 如果 e 1 、 e 2 是同一平面内的两个 _______ 向量，那么对于这一平面内的任意向量 a ， ____________ 一对实数 λ 1 、 λ 2 ，使 a ＝ _____________ ． 其中，不共线的向量 e 1 、 e 2 叫做表示这一平面内所有向量的一组 _______ ． 不共线 有且只有 λ 1 e 1 ＋ λ 2 e 2 基底 【 思考辨析 】 　判断下面结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “ ×” ) (1) 平面内的任何两个向量都可以作为一组基底． ( 　　 ) (2) 若 a ， b 不共线，且 λ 1 a ＋ μ 1 b ＝ λ 2 a ＋ μ 2 b ，则 λ 1 ＝ λ 2 ， μ 1 ＝ μ 2 .( 　　 ) (3) 平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示． ( 　　 ) 【 答案 】 (1) × 　 (2) √ 　 (3) √ 　 (4) × 　 (5) √ 1 ．设 e 1 ， e 2 是平面内一组基底，那么 ( 　　 ) A ．若实数 λ 1 ， λ 2 使 λ 1 e 1 ＋ λ 2 e 2 ＝ 0 ，则 λ 1 ＝ λ 2 ＝ 0 B ．空间内任一向量 a 可以表示为 a ＝ λ 1 e 1 ＋ λ 2 e 2 ( λ 1 ， λ 2 为实数 ) C ．对实数 λ 1 ， λ 2 ， λ 1 e 1 ＋ λ 2 e 2 不一定在该平面内 D ．对平面内任一向量 a ，使 a ＝ λ 1 e 1 ＋ λ 2 e 2 的实数 λ 1 ， λ 2 有无数对 【 答案 】 A 【 答案 】 ( － 3 ，－ 5) 【 答案 】 (1 ， 5) 【 方法规律 】 (1) 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． (2) 用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 【 答案 】 (1)A 　 (2)B 　 (3)( － 3 ，－ 6) 【 方法规律 】 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则． 【 答案 】 (1)D 　 (2)B 题型三　向量共线的坐标表示 命题点 1 　利用向量共线求向量或点的坐标 【 例 3 】 (1) 设向量 a ＝ ( x ， 1) ， b ＝ (4 ， x ) ，且 a ， b 方向相反，则 x 的值是 ( 　　 ) A ． 2 B ．－ 2 C ． ± 2 D ． 0 (2) 已知梯形 ABCD ，其中 AB ∥ CD ，且 DC ＝ 2 AB ，三个顶点 A (1 ， 2) ， B (2 ， 1) ， C (4 ， 2) ，则点 D 的坐标为 ________ ． 【 答案 】 (1)B 　 (2)(2 ， 4) 【 答案 】 1 命题点 3 　求交点坐标 【 例 5 】 已知点 A (4 ， 0) ， B (4 ， 4) ， C (2 ， 6) ，则 AC 与 OB 的交点 P 的坐标为 ________ ． 【 答案 】 (3 ， 3) 【 方法规律 】 平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略 (1) 利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用 “ 若 a ＝ ( x 1 ， y 1 ) ， b ＝ ( x 2 ， y 2 ) ，则 a ∥ b 的充要条件是 x 1 y 2 ＝ x 2 y 1 ” 解题比较方便． (2) 利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量 a 共线的向量时，可设所求向量为 λa ( λ ∈ R) ，然后结合其他条件列出关于 λ 的方程，求出 λ 的值后代入 λa 即可得到所求的向量． (3) 三点共线问题． A ， B ， C 三点共线等价于 AB 与 AC 共线． 【 思维点拨 】 可以建立平面直角坐标系，将向量坐标化，求出点 A ， B 的坐标，用三角函数表示出点 C 的坐标，最后转化为三角函数求最值． 【 温馨提醒 】 本题首先通过建立平面直角坐标系，引入向量的坐标运算，然后用三角函数的知识求出 x ＋ y 的最大值．引入向量的坐标运算使得本题比较容易解决，体现了解析法 ( 坐标法 ) 解决问题的优势，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础 . ► 方法与技巧 1 ．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解． 向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键． 2 ．根据向量共线可以证明点共线；利用两向量共线也可以求点的坐标或参数值．