2020版高中数学 第二章 随机变量及其分布章末检测试卷 新人教A版选修2-3 10页

第二章 随机变量及其分布 章末检测试卷(二)‎ ‎(时间：120分钟　满分：150分)‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)‎ ‎1．设由“‎0”‎“‎1”‎组成的三位数组中，若用A表示“第二位数字为‘‎0’‎的事件”，用B表示“第一位数字为‘‎0’‎的事件”，则P(A|B)等于(　　)‎ A. B. C. D. 考点　条件概率 题点　直接利用公式求条件概率 答案　C 解析　∵P(B)＝＝，P(AB)＝＝，‎ ‎∴P(A|B)＝＝.‎ ‎2．10张奖券中只有3张有奖，若5个人购买，每人1张，则至少有1个人中奖的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 考点　排列与组合的应用 题点　排列、组合在概率中的应用 答案　D 解析　设事件A为“无人中奖”，即P(A)＝＝，‎ 10‎ 则至少有1个人中奖的概率P＝1－P(A)＝1－＝.‎ ‎3．张老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，他预估做对第一道题的概率是0.80，做对两道题的概率是0.60，则预估做对第二道题的概率是(　　)‎ A．0.80 B．‎0.75 C．0.60 D．0.48‎ 考点　相互独立事件的性质及应用 题点　独立事件与互斥事件的综合应用 答案　B 解析　设事件Ai(i＝1,2)表示“做对第i道题”，A1，A2相互独立，‎ 由已知得：P(A1)＝0.8，P(A‎1A2)＝0.6，‎ 由P(A‎1A2)＝P(A1)·P(A2)＝0.8×P(A2)＝0.6，‎ 解得P(A2)＝＝0.75.‎ ‎4．设随机变量X等可能地取值1,2,3，…，10.又设随机变量Y＝2X－1，则P(Y<6)的值为(　　)‎ A．0.3 B．‎0.5 C．0.1 D．0.2‎ 考点　离散型随机变量分布列的性质及应用 题点　根据分布列的性质求概率 答案　A 解析　由Y＝2X－1<6，得X<3.5，∴P(Y<6)＝P(X<3.5)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.3.‎ ‎5．设随机变量X～N(μ，σ2)且P(X<1)＝，P(X>2)＝p，则P(02)，‎ 所以P(02)＝－p.‎ ‎6．已知离散型随机变量X的分布列如下：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 10‎ P a ‎4a ‎5a 则均值E(X)与方差D(X)分别为(　　)‎ A．1.4,0.2 B．0.44,1.4‎ C．1.4,0.44 D．0.44,0.2‎ 考点　均值、方差的综合应用 题点　求随机变量的均值与方差 答案　C 解析　由离散型随机变量的性质知a＋‎4a＋‎5a＝1，∴a＝0.1.∴P(X＝0)＝0.1，P(X＝1)＝0.4，P(X＝2)＝0.5，∴均值E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.5＝1.4；方差D(X)＝(0－1.4)2×0.1＋(1－1.4)2×0.4＋(2－1.4)2×0.5＝0.196＋0.064＋0.18＝0.44.‎ ‎7．若在甲袋内装有8个白球，4个红球，在乙袋内装有6个白球，6个红球，今从两袋里各任意取出1个球，设取出的白球个数为X，则下列概率中等于的是(　　)‎ A．P(X≤1) B．P(X≤2)‎ C．P(X＝1) D．P(X＝2)‎ 考点　超几何分布 题点　利用超几何分布求概率 答案　C 解析　P(X＝1)＝.‎ ‎8．某人一周晚上值2次班，在已知他周日一定值班的条件下，他在周六晚上值班的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 考点　条件概率的定义及计算公式 题点　直接利用公式求条件概率 答案　A 解析　设事件A为“周日值班”，事件B为“周六值班”，则P(A)＝，P(AB)＝，故P(B|A)＝＝.‎ ‎9．设随机变量X服从二项分布B，则函数f(x)＝x2＋4x＋X存在零点的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 10‎ 考点　二项分布的计算及应用 题点　利用二项分布求概率 答案　D 解析　∵函数f(x)＝x2＋4x＋X存在零点，‎ ‎∴方程x2＋4x＋X＝0存在实数根，‎ ‎∴Δ＝16－4X≥0，∴X≤4，‎ ‎∵随机变量X服从二项分布B，‎ ‎∴P(X≤4)＝1－P(X＝5)＝1－＝，故选D.‎ ‎10．一头猪服用某药品后被治愈的概率是90%，则服用这种药的5头猪中恰有3头被治愈的概率为(　　)‎ A．0.93 B．1－(1－0.9)3‎ C．C×0.93×0.12 D．C×0.13×0.92‎ 考点　二项分布的计算及应用 题点　利用二项分布求概率 答案　C 解析　5头猪中恰有3头被治愈的概率为C×0.93×0.12.‎ ‎11．排球比赛的规则是5局3胜制(无平局)，在某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率都相等，为，前2局中乙队以2∶0领先，则最后乙队获胜的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 考点　相互独立事件的性质及应用 题点　独立事件与互斥事件的综合应用 答案　B 解析　最后乙队获胜事件含3种情况：(1)第三局乙胜；(2)第三局甲胜，第四局乙胜；(3)第三局和第四局都是甲胜，第五局乙胜．故最后乙队获胜的概率P＝＋×＋2×＝，故选B.‎ ‎12．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的面上的数之积的均值是(　　)‎ A. B. C. .D. 考点　常见的几种均值 题点　相互独立事件的均值 10‎ 答案　D 解析　将小正方体抛掷1次，向上的面上可能出现的数有0,1,2，概率分别为，，，将这个小正方体抛掷2次，可以表示为下表：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎0‎ × × × ‎1‎ × × × ‎2‎ × × × 令ξ为小正方体抛掷2次后向上的面上的数之积，‎ 则积为0的概率P(ξ＝0)＝×＋×＋×＋×＋×＝.‎ 积为1的概率P(ξ＝1)＝×＝.‎ 积为2的概率P(ξ＝2)＝×＋×＝.‎ 积为4的概率P(ξ＝4)＝×＝，‎ 所以向上的面上的数之积的均值E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋4×＝.‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13．已知随机变量ξ～B(n，p)，若E(ξ)＝4，η＝2ξ＋3，D(η)＝3.2，则P(ξ＝2)＝________.‎ 考点　二项分布的计算及应用 题点　利用二项分布的分布列求概率 答案　 解析　由已知np＝4,4np(1－p)＝3.2，‎ ‎∴n＝5，p＝0.8，∴P(ξ＝2)＝Cp2(1－p)3＝.‎ ‎14．某处有水龙头5个，调查表示每个水龙头被打开的可能性均为，则3个水龙头同时被打开的概率为________．‎ 考点　独立重复试验的计算 题点　用独立重复试验的概率公式求概率 答案　0.008 1‎ 10‎ 解析　对5个水龙头的处理可视为做5次独立重复试验，每次试验有2种可能结果：打开或不打开，相应的概率为0.1或0.9，根据题意得3个水龙头同时被打开的概率为C×0.13×0.92＝0.008 1.‎ ‎15．设随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，向量a＝(1,2)与向量b＝(ξ，－1)的夹角为锐角的概率是，则μ＝______.‎ 考点　正态分布的概念及性质 题点　求正态分布的均值或方差 答案　2‎ 解析　由向量a＝(1,2)与向量b＝(ξ，－1)的夹角是锐角，得a·b>0，即ξ－2>0，解得ξ>2，则P(ξ>2)＝.‎ 根据正态分布密度曲线的对称性，可知μ＝2.‎ ‎16．一射手对靶射击，直到第一次中靶或用光子弹为止．若他每次射击中靶的概率是0.9，他有3颗子弹，则射击结束后剩余子弹的数目X的均值E(X)＝________.‎ 考点　常见的几种均值 题点　相互独立事件的均值 答案　1.89‎ 解析　由题意知，X的可能取值是0,1,2，对应的概率分别为P(X＝2)＝0.9，P(X＝1)＝0.1×0.9＝0.09，P(X＝0)＝0.13＋0.12×0.9＝0.01，‎ 由此可得均值E(X)＝2×0.9＋1×0.09＋0×0.01＝1.89.‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分)‎ ‎17．(10分)某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分，100分，200分，答错得0分．假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.7,0.6，且各题答对与否相互之间没有影响．‎ ‎(1)求这名同学得300分的概率；‎ ‎(2)求这名同学至少得300分的概率．‎ 考点　互斥、对立、独立重复试验的综合应用 题点　互斥事件、对立事件、独立事件的概率问题 解　记“这名同学答对第i个问题”为事件Ai(i＝1,2,3)，则P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.7，P(A3)＝0.6.‎ ‎(1)这名同学得300分的概率 P1＝P(A1‎2A3)＋P(‎1A2A3)‎ ‎＝P(A1)P(2)P(A3)＋P(1)P(A2)P(A3)‎ ‎＝0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6＝0.228.‎ 10‎ ‎(2)这名同学至少得300分的概率 P2＝P1＋P(A‎1A2A3)＝0.228＋P(A1)·P(A2)·P(A3)＝0.228＋0.8×0.7×0.6＝0.564.‎ ‎18．(12分)某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令ξ表示走出迷宫所需的时间．‎ ‎(1)求ξ的分布列；‎ ‎(2)求ξ的均值．‎ 考点　均值与方差的综合应用 题点　离散型随机变量的分布列及均值 解　(1)ξ的所有可能取值为1,3,4,6.‎ P(ξ＝1)＝，‎ P(ξ＝3)＝×＝，‎ P(ξ＝4)＝×＝，‎ P(ξ＝6)＝2××1＝，‎ ξ的分布列为 ξ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎6‎ P ‎(2)E(ξ)＝1×＋3×＋4×＋6×＝.‎ ‎19．(12分)从1,2,3，…，9这9个自然数中，任取3个数．‎ ‎(1)求这3个数恰有1个偶数的概率；‎ ‎(2)记X为3个数中两数相邻的组数，例如取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数1,2和2,3，此时X的值为2，求随机变量X的分布列及均值E(X)．‎ 考点　均值与方差的综合应用 题点　离散型随机变量的分布列及均值 解　(1)设Y表示“任取的3个数中偶数的个数”，‎ 则Y服从N＝9，M＝4，n＝3的超几何分布，‎ ‎∴P(Y＝1)＝＝.‎ ‎(2)X的取值为0,1,2，‎ 10‎ P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝，‎ P(X＝0)＝1－P(X＝1)－P(X＝2)＝.‎ ‎∴X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝.‎ ‎20．(12分)某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示，据统计，随机变量ξ的分布列如下表：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.1‎ ‎0.3‎ ‎2a a ‎(1)求a的值和ξ的均值；‎ ‎(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．‎ 考点　互斥、对立、独立重复试验的概率问题 题点　互斥事件、对立事件、独立事件的概率问题 解　(1)由分布列的性质得0.1＋0.3＋‎2a＋a＝1，‎ 解得a＝0.2，‎ ‎∴ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.1‎ ‎0.3‎ ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎∴E(ξ)＝0×0.1＋1×0.3＋2×0.4＋3×0.2＝1.7.‎ ‎(2)设事件A表示“两个月内共被投诉2次”；事件A1表示“两个月内有一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次”；事件A2表示“两个月均被投诉1次”．‎ 则由事件的独立性得 P(A1)＝CP(ξ＝2)P(ξ＝0)＝2×0.4×0.1＝0.08，‎ P(A2)＝[P(ξ＝1)]2＝0.32＝0.09.‎ ‎∴P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝0.08＋0.09＝0.17.‎ 10‎ 故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17.‎ ‎21．(12分)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．‎ ‎(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；‎ ‎(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列和均值．‎ 考点　均值与方差的应用 题点　离散型随机变量的分布列及均值 解　(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A.‎ P(A)＝＝.‎ ‎(2)X的可能取值为200,300,400.‎ P(X＝200)＝＝，‎ P(X＝300)＝＝，‎ P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)‎ ‎＝1－－＝＝.‎ 故X的分布列为 X ‎200‎ ‎300‎ ‎400‎ P E(X)＝200×＋300×＋400×＝350.‎ ‎22．(12分)某单位招聘面试，每次从试题库中随机调用一道试题，若调用的是A类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A类型试题和一道B类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是B类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束．试题库中现共有(n＋m)道试题，其中有n道A类型试题和m道B类型试题，以X表示两次调题工作完成后，试题库中A类型试题的数量．‎ ‎(1)求X＝n＋2的概率；‎ ‎(2)设m＝n，求X的分布列和均值．‎ 解　以Ai表示第i次调题调用到A类型试题，i＝1,2.‎ 10‎ ‎(1)P(X＝n＋2)＝P(A‎1A2)＝· ‎＝.‎ ‎(2)X的可能取值为n，n＋1，n＋2.‎ P(X＝n)＝P(12)＝·＝，‎ P(X＝n＋1)＝P(A12)＋P(‎1A2)＝·＋·＝，‎ P(X＝n＋2)＝P(A‎1A2)＝·＝.‎ 从而X的分布列为 X n n＋1‎ n＋2‎ P 所以E(X)＝n×＋(n＋1)×＋(n＋2)×＝n＋1.‎ 10‎