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- 2021-06-25 发布
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安徽省池州市2020届高三上学期期末考试
数学(理)试题
一、单选题
1.已知集合,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据集合和集合所表示的意义,根据集合的交集运算,得到答案.
【详解】
因为集合
集合表示满足的点的集合,即直线的图像,
集合表示满足的点的集合,即直线的图像,
所以表示两条直线的交点,
解,得
所以.
故选:C.
【点睛】
本题考查集合的描述法,集合交集的运算,属于简单题.
2.已知复数,则在复平面内对应点所在象限为( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】B
【解析】对复数进行化简,从而得到,再得到在复平面内对应点所在的象限.
【详解】
·25·
,
则,
在复平面内对应点为,在第二象限
故选B.
【点睛】
本题考查复数的计算,共轭复数,复数在复平面对应的点,属于简单题.
3.如图所示,中,,半圆O的直径在边BC上,且与边AB,AC都相切,若在内随机取一点,则此点取自阴影部分(半圆O内)的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据条件得到半圆的半径,然后计算出的面积和半圆的面积,根据几何概型的公式,得到答案.
【详解】
如图所示,,,,
所以的面积,
半圆O的面积,
·25·
根据几何概型公式得:.
故选:A.
【点睛】
本题考查求几何概型-面积型的概率,属于简单题
4.将函数的图象向左平移后得到曲线,再将上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线,若的解析式为,则的解析式为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】将横坐标压缩到原来的一半得到,再向右平移得到函数
【详解】
先将图象上所有点的横坐标压缩到原来的一半得到曲线
,
再将曲线上所有的点向右平移得到
函数.
故选:C.
【点睛】
本题考查根据三角函数的图像变换求变换前的解析式,属于简单题.
5.函数的定义域为( )
·25·
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据函数解析式,得到,解出的取值范围,得到定义域.
【详解】
因为函数有意义,
所以,解得
所以解集为
所以定义域为,
故选:B.
【点睛】
本题考查求具体函数定义域,属于简单题.
6.已知双曲线的两条渐近线均与圆相切,则双曲线C的离心率为( )
A. B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】先得到双曲线的渐近线,然后根据渐近线与圆相切,利用点到直线的距离等于半径,得到和的关系,求出离心率,得到答案.
【详解】
双曲线的渐近线为
·25·
因为两条渐近线均与圆相切,
所以点到直线的距离等于半径
即,
又因为
整理得到,
故双曲线C的离心率为.
故选:B.
【点睛】
本题考查求双曲线渐近线,根据直线与圆相切求参数关系,求双曲线的离心率,属于简单题.
7.已知实数x,y满足不等式,则的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据约束条件画出可行域,目标函数转化为点与连线的斜率,从而求出其最大值.
【详解】
根据约束条件画出可行域,
图中阴影部分为可行域,
·25·
目标函数,
表示可行域中点与连线的斜率,
由图可知点与连线的斜率最大,
故的最大值为,
故选:C.
【点睛】
本题考查线性规划求分式型目标函数的最大值,属于中档题.
8.如图所示,矩形ABCD的边AB靠在墙PQ上,另外三边是由篱笆围成的.若该矩形的面积为4,则围成矩形ABCD所需要篱笆的( )
A.最小长度为8 B.最小长度为 C.最大长度为8 D.最大长度为
【答案】B
【解析】设,得到,所求的篱笆长度为,根据基本不等式,得到最小值.
【详解】
设,
·25·
因为矩形的面积为,所以,
所以围成矩形所需要的篱笆长度为
,
当且仅当即时,等号成立.
故选:B.
【点睛】
本题考查基本不等式求和的最小值,属于简单题.
9.若,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据条件和二倍角公式,先计算出的值,再将所要求的,根据诱导公式进行化简,得到答案.
【详解】
因为,
所以
·25·
.
故选:A.
【点睛】
本题考查三角函数中的给值求值,二倍角公式,诱导公式化简,属于中档题.
10.若,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析:三个对数的底数和真数的比值都是,因此三者可化为的形式,该函数为上的单调增函数,从而得到三个对数的大小关系.
详解:,,,
令,则在上是单调增函数.
又,所以
即.故选D.
点睛:对数的大小比较,要观察不同对数的底数和真数的关系,还要关注对数本身的底数与真数的关系,从而找到合适的函数并利用函数的单调性比较对数值的大小.
11.已知三棱锥中,为中点,平面,,,则下列说法中错误的是( )
A.若为的外心,则
·25·
B.若为等边三角形,则
C.当时,与平面所成角的范围为
D.当时,为平面内动点,若平面,则在三角形内的轨迹长度为
【答案】B
【解析】利用射影相等可知,利用反证法可知不成立,构造线面角,可得其正弦值的范围为,故可判断线面角的范围,利用线面平行的性质可知轨迹为中与边平行的中位线.
【详解】
若为的外心,则,由射线相等即可知,故A正确;假设,则再根据,得平面,则,与为等边三角形矛盾,故B错误;
当时,,,过作,连结,易知为与平面所成角,,故的范围为,故C正确;
取,分别为,的中点,则平面平面,则线段为在三角形内的轨迹,其长度为,故D正确
【点睛】
本题为立体几何中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断,处理这类问题,可以用已知的定理或性质来证明,也可以用反证法来说明命题的不成立.此类问题通常是中档题.
12.已知双曲线的离心率为,过右焦点F的直线与两条渐近线分别交于A,B,且,则直线AB的斜率为( )
A.或 B.或 C.2 D.
【答案】B
·25·
【解析】根据双曲线的离心率求出渐近线方程,根据,得到为中点,得到与的坐标关系,代入到渐近线方程中,求出点坐标,从而得到的斜率,得到答案.
【详解】
因为双曲线的离心率为,
又,所以,
所以双曲线渐近线为
当点A在直线上,点B在直线上时,
设,
由及B是AF中点可知,
分别代入直线方程,得,解得,
所以,
所以直线AB的斜率,
由双曲线的对称性得,也成立.
故选:B.
【点睛】
本题考查求双曲线渐近线方程,坐标转化法求点的坐标,属于中档题.
·25·
二、填空题
13.等腰直角三角形ABC中,,则有________.
【答案】-2.
【解析】先求出,再根据向量数量积公式,求出的值,得到答案.
【详解】
等腰直角三角形ABC中,,
所以
所以
.
故答案为:
【点睛】
本题考查计算向量的数量积,属于简单题.
14.的值为________.
【答案】.
【解析】根据诱导公式,进行化简,从而得到答案.
【详解】
·25·
故答案为:
【点睛】
本题考查诱导公式化简,特殊角三角函数值,属于简单题.
15.数列的最大项所在的项数为________.
【答案】11.
【解析】,时,,得到关于的不等式组,解得的范围,结合,得到的值,再与时进行比较,得到答案.
【详解】
令,
当时,设为最大项,则
即
解得.
而,所以
又时,有,
所以数列的最大项所在的项数为.
故答案为:
【点睛】
本题考查求数列中的最大项,属于简单题.
16.已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,,则球O的表面积为________.
【答案】
·25·
【解析】将三棱锥补成长方体,根据棱长求出外接球的半径,然后求出外接球的表面积,得到答案.
【详解】
如图所示,将三棱锥补成长方体,
球为长方体的外接球,边长分别为,,,
则,
所以,
所以,
则球的表面积为.
故答案为:.
【点睛】
本题考查求三棱锥外接球的表面积,属于中档题.
三、解答题
17.已知等比数列各项均为正数,是数列的前n项和,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前n项和.
【答案】(1) ;(2) .
·25·
【解析】(1)设等比数列公比,根据,得到关于的方程,解出,从而得到数列的通项公式;(2)写出的通项,根据等差数列的求和公式,得到答案.
【详解】
(1)设等比数列的公比为,
因为,,
所以,
因为各项均为正数
解得(负值舍去),
所以;
(2)由已知得,,
所以为等差数列,
所以.
【点睛】
本题考查等比数列的基本量的计算,等差数列求和公式,属于简单题.
18.如图所示,在中,的对边分别为a,b,c,已知,.
(1)求b和;
(2)如图,设D为AC边上一点,,求的面积.
·25·
【答案】(1),;(2).
【解析】(1)通过正弦定理边化角,整理化简得到的值,再利用余弦定理,求出,根据正弦定理,求出;(2)根据正弦定理得到,即,根据勾股定理得到,根据三角形面积公式,求出的面积.
【详解】
(1)因为,
所以在中,由正弦定理,
得,
因为,所以,
所以,
又,所以,
由余弦定理得,
,
所以,
在中,由正弦定理,
所以;
(2)在中,由正弦定理得,,
因为,所以,
因为,所以,
·25·
而
所以,
由,设,
所以,所以,
所以,
因为,
所以.
【点睛】
本题考查正弦定理边角互化,正弦定理、余弦定理解三角形,属于简单题.
19.如图,三棱锥D-ABC中,,E,F分别为DB,AB的中点,且.
(1)求证:平面平面ABC;
(2)求二面角D-CE-F的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2) .
【解析】(1)取的中点,可得,,从而得到平面,得到,由,,得到,从而得到平面,所以平面
·25·
平面;(2)以为原点,建立空间直角坐标系,利用余弦定理和勾股定理,得到,,得到的法向量,平面的法向量,根据向量夹角的余弦公式,得到二面角的余弦值
【详解】
(1)如图取的中点,连接,,
因为,所以,
因为,所以,
又因为,所以平面,
平面
所以.
因为,分别为,的中点,所以.
因为,即,
则.
又因为,
所以平面,
又因为平面DAB,
所以平面平面.
(2)因为平面,则以为坐标原点,
过点与垂直的直线为轴,为轴,AD为轴,
建立如下图所示的空间直角坐标系.
·25·
因为,
在中,
,
所以.
在中,,
所以点,,
.
设平面的法向量为
.
所以,即,
可取.
设平面的法向量为
.
·25·
所以,即,
可取,
则
因为二面角为钝二面角,所以二面角的余弦值为.
【点睛】
本题考查线面垂直的性质和判定,面面垂直的判定,利用空间向量求二面角的夹角余弦值,属于中档题.
20.高三年级某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,成绩分组区间为:.其中a,b,c成等差数列且.物理成绩统计如表.(说明:数学满分150分,物理满分100分)
分组
频数
6
9
20
10
5
(1)根据频率分布直方图,请估计数学成绩的平均分;
(2)根据物理成绩统计表,请估计物理成绩的中位数;
(3)若数学成绩不低于140分的为“优”,物理成绩不低于90分的为“优”,已知本班中至少有一个“优”
·25·
同学总数为6人,从此6人中随机抽取3人,记X为抽到两个“优”的学生人数,求X的分布列和期望值.
【答案】(1)(分);(2)75分;(3)见解析.
【解析】(1)根据频率之和等于,a,b,c成等差数列,,解出的值,利用频率分布直方图,求出平均分;(2)根据物理成绩统计表,得到中位数所在的成绩区间,得到答案;(3)根据数学成绩“优”和物理成绩“优”,得到两科均为“优”的人数,计算出每种情况的概率,写出分布列,得到期望值.
【详解】
(1)根据频率分布直方图得,
又因,
解得,
故数学成绩的平均分
(分),
(2)总人数50分,由物理成绩统计表知,中位数在成绩区间,
所以物理成绩的中位数为75分.
(3)数学成绩为“优”的同学有4人,物理成绩为“优”有5人,
因为至少有一个“优”的同学总数为6名同学,
故两科均为“优”的人数为3人,
故X的取值为0、1、2、3.
·25·
.
所以分布列为:
X
0
1
2
3
P
期望值为:
.
【点睛】
本题考查频率分布直方图的特点,根据频率分布直方图求平均值,根据统计表求中位数,求随机变量的分布列和数学期望,属于简单题.
21.已知函数,为的导函数.
(1)求在处的切线方程;
(2)求证:在上有且仅有两个零点.
【答案】(1);(2)证明见解析.
【解析】(1)对求导,得到,代入得到切线斜率,利用切点,点斜式写出切线方程,得到答案;(2)根据解析式,得到为偶函数,且,对求导,得到,判断出的正负,得到的单调性,结合,由零点存在定理得到在上有且仅有一个零点,从而得到在上有且仅有两个零点.
【详解】
(1),
又,所以切点为.
·25·
故在处的切线方程为;
(2)因为为偶函数,且,
则只需证明在上有且仅有一个零点即可.
,
当时,
故在上单调递减,
因为,,
由零点存在定理,可知存在使得,
所以在上有且仅有一个零点,
因此在上有且仅有两个零点.
【点睛】
本题考查通过导数的几何意义,求函数图像上在一点的切线,利用导数研究函数的单调性和零点,零点存在定理,属于中档题.
22.已知圆,圆,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)设不经过点的直线l与曲线C相交于A,B两点,直线QA与直线QB的斜率均存在且斜率之和为-2,证明:直线l过定点.
【答案】(1);(2)证明见解析.
·25·
【解析】(1)根据动圆P与圆M外切并且与圆N内切,得到,,从而得到,得到,从而求出椭圆的标准方程;(2)直线l斜率存在时,设,代入椭圆方程,得到,,表示出直线QA与直线QB的斜率,根据,得到,的关系,得到直线所过的定点,再验证直线l斜率不存在时,也过该定点,从而证明直线过定点.
【详解】
(1)设动圆P的半径为r,
因为动圆P与圆M外切,所以,
因为动圆P与圆N内切,所以,
则,
由椭圆定义可知,曲线C是以为左、右焦点,长轴长为8的椭圆,
设椭圆方程为,
则,,故,
所以曲线C的方程为.
(2)①当直线l斜率存在时,设直线,,
联立,
得,
设点,则,
·25·
,
所以,
即,
得.
则,
因为,所以.
即,
直线,
所以直线l过定点.
②当直线l斜率不存在时,设直线,且,
则点
,
解得,
所以直线也过定点.
综上所述,直线l过定点.
·25·
【点睛】
本题考查圆与圆的位置关系,椭圆的定义,求椭圆标准方程,直线与椭圆的位置关系,椭圆中直线过定点问题,属于中档题.
·25·
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