安徽省太和中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学（理）试题 Word版含答案 15页

太和中学2018级高二年级期末考试 数学试题（理科）‎ 考生注意：‎ ‎1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。‎ ‎2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。‎ ‎3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。‎ ‎4．本卷命题范围：高考范围。‎ 一、选择题：本题共12小题。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．复数的虚部为（ ）‎ A． B． C． D．1‎ ‎2．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A．2 B． C．3 D．‎ ‎4．某机构对青年观众是否喜欢跨年晚会进行了调查，人数如下表所示：‎ 不喜欢 喜欢 男性青年观众 ‎30‎ ‎10‎ 女性青年观众 ‎30‎ ‎50‎ 现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了6人，则（ ）‎ A．12 B．16 C．24 D．32‎ ‎5．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的等于（ ）‎ A．4 B．40 C．13 D．41‎ ‎6．已知平面向量，满足，且，，则向量与夹角的余弦值为（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．函数的部分图象如图所示，则当时，的值域是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．函数的部分图象大致是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎10．在中，角，，的对边分别为，，，若，，点是的重心，，则的面积为（ ）‎ A． B．或 C．或 D．‎ ‎11．已知四棱锥，平面，，，，，二面角的大小为．若四面体的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数，若对任意的，恒成立，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本题共4小题。‎ ‎13．二项式的展开式中的系数是______．‎ ‎14．设，满足约束条件，则的最大值是______．‎ ‎15．若，则的取值范围为______．‎ ‎16．已知，是抛物线上任意不同的两点，线段的垂直平分线与轴相交于点，则的取值范围是______．（用表示）‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题。‎ ‎17．已知数列的前项和为，且．‎ ‎（1）证明：数列为等比数列；‎ ‎（2）若，求数列的前项和．‎ ‎18．在四棱锥中，底面是菱形，且，，，，．‎ ‎（1）证明：平面．‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ ‎19．随着科技的发展，网购已经逐渐融入了人们的生活，在家里面不用出门就可以买到自己想要的东西，在网上付款即可，两三天就会送到自己的家门口，如果近的话当天买当天就能送到，或者第二天就能送到，所以网购是非常方便的购物方式．某公司组织统计了近五年来该公司网购的人数（单位：人）与时间（单位：年）的数据，列表如下：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎24‎ ‎27‎ ‎41‎ ‎64‎ ‎79‎ ‎（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数并加以说明（计算结果精确到0.01）．（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）‎ 附：相关系数公式，参考数据．‎ ‎（2）某网购专营店为吸引顾客，特推出两种促销方案．‎ 方案一：每满600元可减100元；‎ 方案二：金额超过600元可抽奖三次，每次中奖的概率都为，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折．‎ ‎①两位顾客都购买了1050元的产品，求至少有一名顾客选择方案二比选择方案一更优惠的概率；‎ ‎@如果你打算购买1000元的产品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案．‎ ‎20．顺次连接椭圆：的四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为的菱形．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2），是椭圆上的两个不同点，若直线，的斜率之积为，（为坐标原点），线段上有一点满足，连接并延长交椭圆于点，求的值．‎ ‎21．已知函数．‎ ‎（1）求的单调区间．‎ ‎（2）若方程有两个实数根，，且，证明：．‎ ‎（二）选考题。请考生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，将曲线向左平移2个单位长度得到曲线．‎ ‎（1）求曲线的参数方程 ‎（2）已知为曲线上的动点，，两点的极坐标分别为，，求的最大值．‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若不等式的解集为，且，证明：．‎ ‎2018级高二年级期末考试·数学试题（理科）‎ 参考答案、提示及评分细则 ‎1．D ．‎ ‎2．C 因为，，所以．‎ ‎3．A ，．‎ ‎4．C ，解得．‎ ‎5．B ，；，；，；，，因为，所以输出．‎ ‎6．D 因为，解得．故选D．‎ ‎7．B 由三视图可推知，几何体的直观图如图所示，其中平面平面，，三棱锥的体积为．‎ ‎8．A 由图象可得，那么周期，则，，．而，所以，即．由，得，所以．因为，所以，所以．‎ ‎19．D 因为，所以为奇函数，图象关于原点对称，当时，，当时，．故选D．‎ ‎10．B 由题可知，，则，或．又，延长交于点，所以．因为，所以，即，当时，，所以的面积为；当时，，所以的面积为．‎ ‎11．C 因为，所以，，，四点共圆，直径是．因为平面，，所以为二面角的平面角，即．因为，所以，又，所以，设球的半径为，，解得，该球的表面积为．‎ ‎12．A 令，．当时，，则在上单调递增，又，所以恒成立；当时，因为在上单调递增，故存在，使得，所以在上单调递减，在上单调递增，又，则，这与恒成立矛盾，综上．‎ ‎13． 由已知得，故当时，，于是的系数为．‎ ‎14．5 由题可知，表示点与点连线的斜率，再画出可行域（图略）知．‎ ‎15． 因为．‎ ‎16． 设，的坐标分别为和（x2，v2），因为线段的垂直平分线与轴相交于点，所以不平行于轴，即．又，即，得，因为，是抛物线上的两点，所以，，代入上式得，因为，，，所以，即．‎ ‎17．解：（1）当时，，则．‎ 当时，因为，所以，‎ 则，即．‎ 从而，即，‎ 因为，所以，‎ 所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列．‎ ‎（2）由（1）可得，即．‎ 因为，所以，‎ 则，‎ 故．‎ ‎18．（1）证明：连接，设，连接．‎ 因为底面是菱形，所以，．‎ 因为，，所以．‎ 因为，所以平面．‎ 因为平面，所以．‎ 因为，，所以平面．‎ ‎（2）解：取的中点．‎ 因为平面，所以平面．‎ 故以为原点，，，分别为，，的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，，，．‎ 故，，．‎ 设平面的法向量为，‎ 则，不妨取，则．‎ 设平面的法向量为，‎ 则，不妨取，则．‎ 记二面角的平面角为，易知为锐角，‎ 则．‎ 故二面角的余弦值为．‎ ‎19．解：（1）由题知，，，，，‎ 则 ‎．‎ 故与的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合．‎ ‎（2）①选择方案二比方案一更优惠则需要至少中奖一次，设顾客没有中奖为事件，则 ‎，‎ 故所求概率为．‎ ‎②若选择方案一，则需付款（元），‎ 若选择方案二，设付款元，则可能取值为700，800，900，1000．‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎．‎ 所以（元），‎ 因为，所以选择方案二更划算．‎ ‎20．解：（1）由题可知，，‎ 解得，．‎ 所以椭圆的方程为．‎ ‎（2）设，，，，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，．‎ 又∵，∴，‎ 即，．‎ ‎∵点在椭圆上，∴，‎ 即．（*）‎ ‎∵，在椭圆上，∴，① ，②‎ 又直线，斜率之积为，∴，即，③‎ 将①②③代入（*）得，解得．‎ ‎21．（1）解：当时，显然在上单调递减；‎ 当时，．‎ 当时，，则在上单调递减；‎ 当时，，则在上单调递增．‎ 又，故在上单调递减，在上单调递增．‎ ‎（2）证明：先证两个不等式，①，②．‎ 设，则．‎ 记，则，显然在上单调递增，且，‎ 所以，在上单调递增，又，故恒成立．‎ 易证．‎ 由方程有两个实数根，，且，知．‎ 因为，‎ 若，则，且，当且仅当时，．‎ ‎（ⅰ）当时，，‎ 若，则，且，当且仅当时，．‎ 所以．‎ ‎（ⅱ）当时，，则，‎ 所以，‎ 当且仅当时取等号．‎ 综上可知，．‎ ‎22．解：（1）∵，∴，∴，‎ 则曲线的直角坐标方程为，‎ 易知曲线为圆心是，半径为2的圆，从而得到曲线的直角坐标方程为，‎ 故曲线的参数方程为（为参数）‎ ‎（2），两点的直角坐标分别为，，‎ 依题意可设，‎ 则，，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ 故的最大值为．‎ ‎23．证明：（1）．‎ ‎（2）由得或或，‎ 解得，∴，‎ ‎∵，∴，，∴，即．‎